十重积分解题方法归纳

1、一、重积分的概念、性质重积分的定义是一个黎曼和的形式，对于一些和式的极限问题，有时可根据定义，将其转化为重积分，再利用重积分的计算方法求解. 另外很多考试在选择题或填空题中，直接考查重积分的性质，常考的性质一般有：比较性质、对称性质、中值定理等.例1 （2010年考研 数一、数二）=（ ）解 由于 而 因此 故选.方法技巧 当遇到黎曼和的形式时，经常考查积分的定义式，在积分中，积分变量的符号是任意的，可根据题目的要求选取.例2 设在上连续，又，则时，是的阶无穷小.解 由题意 要确定 中的.由积分中值定理知，存在，使得因此 故 ，即是的3阶无穷小.方法技巧 要将被积函数从积分号内取出时，常会用到

2、积分中值定理，尤其在证明题中经常遇到.二、重积分的计算方法当给定被积函数和积分区域时，重积分是一个确定的数值.对于简单的函数，用性质或几何意义即可求得积分值；对一般函数，需要化为累次积分计算.：(1) 利用重积分的性质计算重积分.(2) 利用重积分的几何意义（针对二重积分）计算重积分.(3) 直角坐标系下计算重积分.(4) 极坐标系、柱面坐标系和球面坐标系下，计算重积分.(5) 利用换元法计算重积分.2. 在具体计算时，常用到如下一些结论：（1）若积分区域关于（或）轴对称，则（或 ）其中是在（或）轴上（或右）方的部分. （2）若积分区域关于直线对称，则其中是在直线上方的部分.（3）若积分区域关

3、于（或）面对称，则（或 ， ）其中是在（或）面上（或前，右）方的部分.（4）若积分区域是（或）型域，即（或），则二重积分（或 ）（5）若极点在积分区域内或边界上，即，则二重积分（6）若极点在积分区域外，即，则二重积分（7）若积分区域（或，）则三重积分（投影法）（或 ）（8）若积分区域（或，）则三重积分（截痕法） （或，）（9）若积分区域（或，）则三重积分（柱面坐标）（或 ）（10）若积分区域则三重积分（球面坐标）（1） 计算重积分的步骤： （1）二重积分画出积分区域的草图；三重积分想象出积分区域的图形； （2）选取坐标系（依据或的形状和被积函数或的形式）； （3）选择积分次序； （4）确定累次

4、积分的上、下限，分别计算定积分.例3 设，若，则=（ ）.解 由于被积函数是球心在原点，半径为的上半个球面，根据二重积分的几何意义知，等于以为底，为顶的立体的体积，即因此 ，故选.方法技巧 当被积函数是我们比较熟悉的曲面时，首先要考虑二重积分的几何意义.本题也可直接利用极坐标计算二重积分.例4 设，计算二重积分.解 积分区域如图10.35所示，它关于轴、轴及原点对称，为在第一象限部分.对于二重积分，由于被积函数对变量和均为偶函数，由二重积分的对称性知 .对于二重积分，由于被积函数对为奇函数，由二重积分的对称性知 .故 方法技巧 当积分区域关于轴或轴对称时，首先要考虑被积函数是否存在对变量和的奇

5、、偶性，若存在，可以先化简，再计算，这样会简化运算过程. 本题也可直接利用直角坐标计算二重积分.例5 设，计算二重积分.解 积分区域如图10.36所示，由于积分区域与圆有关，被积函数中含有，因此采用极坐标.所以 ，故方法技巧 当积分区域与圆（圆、圆环、扇形）有关，被积函数中含有、或时，一般计算二重积分时，会考虑利用极坐标.例6 设，计算二重积分.解 积分区域是由圆周围成的，令，则作变换，将面上的闭区域转化为面上的闭区域，则 因此 又由于关于轴、轴均对称，所以 ，故方法技巧 当复杂的积分区域可经过坐标变换（平移或旋转），变成简单区域时，一般会用二重积分的换元法.例7 设，将三重积分在三种坐标系下

6、化为累次积分.解 积分区域如图10.37所示.在直角坐标系下，先对积分，作平行于轴并与其方向一致的射线穿入，穿进的曲面是变量的下限，穿出的曲面是变量的下限，再将投影到面得闭区域在上将二重积分转化为二次积分，故在柱面坐标系下，将转化为柱面坐标系下的积分区域，即则 在球面坐标系下，将转化为球面坐标系下的积分区域，即则 方法技巧 有些三重积分既可用直角坐标计算，也可用柱面坐标和球面坐标计算，甚至直角坐标可以用投影法计算，还可用截痕法计算，但计算的难易程度还是有区别的，需要同学加强这方面的练习，以便在考试中，以最快的速度找出最简单的计算方法.三、交换积分次序交换积分次序的题目，在考试中选择题和填空题居

7、多，且大多数为二重积分，题型可分为以下几类：（1）给出一种次序的二次积分，要求交换成另一种次序的二次积分；（2）给出一种次序的二次积分，要求计算此积分（一般按给定次序不能进行计算）；（3）计算一个二重积分（只有一种次序的二次积分可以计算）；（4）直角坐标系下的二次积分与极坐标系下的二次积分互相转化.（5）证明一个二次积分等于一个定积分时，需要先交换二次积分的积分次序.例8 计算 ，其中积分区域是由直线及抛物线围成的闭区域.解 积分区域如图10.38所示.积分区域既是型又是型区域，但被积函数为，若对积分时，不能得到原函数，故化为二次积分时，只能先对后对积分，故方法技巧 二重积分用任何次序都可转化

8、为二次积分，但并不代表用任何次序的二次积分都可以求出结果，因此，做题时，若一种次序的二次积分计算非常繁琐，就需要考虑换一种积分次序试一试，尤其当被积函数中含有、等函数时，要特别注意.例9 证明 证 在左边的二次积分中，由于被积函数含有未知函数，而积分变量又是，因此不能按给定次序求出定积分，需要交换积分次序. 首先还原成二重积分的积分区域，如图10.39所示.左边=右边 证毕.四、重积分的几何应用和物理应用在几何上，二重积分可以求平面图形的面积、曲顶柱体的体积及空间曲面的面积等，三重积分可以求空间区域的体积.在物理上，重积分可以求物体的质量、质心（形心）坐标及转动惯量等.在具体计算时，常用到如下一些结论：（1） （2）（3）（4）其中为曲面在面的投影区域. （5） （6） 质心坐标平面物体的质心坐标： 空间物体的质心坐标：当密度均匀时，质心也称为形心.（7） 转动惯量平面物体的转动惯量： 空间物体的转动惯量：在（5）（7）中，和分别表示物体的面密度和体密度.例10 设，则=.解 利用球的形心坐标公式因此 故 例11