连续函数的运算与初等函数的连续性

1、连续函数的运算与初等函数的连续性,)(),(0处处连连续续在在点点若若函函数数xxgxf00( )( )( ),( )( ),( ()0)( )f xf xg xf xg xg xxg x 都都连连续续. .在在sin ,cos(,),xx 在在内内连连续续tan, cot, sec , csc.xxxx 在在其其定定义义域域内内连连续续( )xyf xI 如如果果在在上上单单调调增增加加且且连连续续，1( )( )yxfyIy yf x 反反函函数数也也在在对对应应区区间间，xxI 上上单单调调增增加加且且连连续续. .sin,22yx在在上上连连续续单单调调递递增增，arcsin 1,1y

2、x 在在也也连连续续单单调调递递增增. .1122 sin xarcsin xxyoarccos 1,1.yx在在上上单单调调减减少少且且连连续续arctan,arccot,.yx yx 在在上上单单调调且且连连续续(,)xye 指指数数函函数数内内单单调调增增加加且且连连续续，ln(0,).yx 对对数数函函数数在在内内单单调调增增加加且且连连续续lnyx xye xyo000lim( ),( ),xxg xuf uu 若若而而函函数数在在点点连连续续0 ( )limxxf g x 000lim ( )lim( )().xxuuf g xf uf u (1)( ).ug x 变变量量代代换换

3、的的理理论论依依据据0lim ( )xxf g x0lim( )uuf u( )ug x 00 xxuu0lim( ).xxg xf0().f u 0log (1)lim.axxx 求求10limlog (1)xaxx 原原式式10log lim(1) xaxx例例1 解解: logae 1.lna 特别地特别地 . 1 10limln(1)xxx)1(limln10 xxx eln 0ln(1)limxxx 0,ln(1) .xxx10lim(1)exxx .1lim0 xexx 求求11.lne0limln(1)ttt 原原式式1,xet令令ln(1),xt 则则0,0.xt当当时时101

4、limln(1)ttt 0,1 .xxex.ln1lim0axaxx 10lim(1)exxx 1lim2 .xx求求11limlim22xxxx 021.000( ),()ug xxxg xu 设设在在连连续续 且且，而而0( )yf uu 在在连连续续，0 ( )yf g xxx 在在也也连连续续. . 0lim ( )xxf g x 0lim( )xxfg x0 ()f g x 0 ( ).fxx 故故复复合合函函数数在在连连续续,), 0()0,(1内内连连续续在在 xu,),(sin内内连连续续在在 uy.), 0()0,(1sin内内连连续续在在 xy1sinyx ，xyo1sin

5、yx (3)(0,1)(,).xyaaa 指指数数函函数数在在内内连连续续(4)log(0,1)(0,).ayx aa 对对数数函函数数在在内内连连续续 xy lnxe ,uye ln .ux (5).yx 幂幂函函数数在在定定义义区区间间内内连连续续,), 0(内内连连续续在在 ,不不同同值值讨讨论论 21 1,1.yx的的连连续续区区间间为为lnsin(2 ,(21) ,Z.yxnnn 的的连连续续区区间间为为, 1cos xy:0,2 ,4 ,D x 定定义义域域,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及.), 1上连续上连续函数在区间函数在区间00lim( )()xxf xf x

6、0( )f xx 若若为为初初等等函函数数，定定义义区区间间，则则例例4 解解: 2limlnsin .xx 求求2limlnsinxx lnsin2 0. 例例5 解解: .11lim20 xxx 求求20( 11)limxxx 原原式式11lim20 xxx20 . 0 220lim( 11)xxxx -. .2( 11)x2( 11)x 3sin0lim(12 ).xxx 求求1 型型lneaa 对对数数恒恒等等式式 原原式式0limx3ln(1 2 )sin0limexxx eu连连续续03ln(1 2 )limsinxxx 03 2limexxx 6e . 00(1)lim ( )0

7、, lim ( ),xxxxu xv x 若若则则有有 0( )lim1( )v xxxu x e 0lim ( )ln 1( )xxv xu x ()ln 1( )ev xu x 3sinln(1 2 )exx 0limxxe ln(1 2 ) 2xx sinxx0 x(2)幂幂指指函函数数的的极极限限求求法法：()0lim ( )( ( )0, ( )1)v xxu xu xu x 形形如如，lim ( )0,lim ( )u xav xb 若若，( )0lim ( ).v xbxu xa 3sin0lim(12 )xxx 6e . 120lim(12 )e0 xxx ，06lim6sin

8、xxx ，10lim(1)exxx 120lim(12 )xxx6sinxx 120lim (12 )xxx = =6sinxx10(1)lim(1sin ) .xxx 求求 原原式式e. 1sin0lim(1sin )e0 xxx ，0sinlim1xxx ，10(2) lim(cos ).xxx22cos11cos10lim 1(cos1)xxxxx 原原式式10lim(1)exxx 12e. 1sin0lim(1sin )xxx sinxx 1sin0lim (1sin )xxx = =sinxx( )( ),( )f xxfxf xx若若在在连连续续，问问在在是是否否连连续续？200

9、, 0, 1)(是是无无理理数数时时当当是是有有理理数数时时当当xxxDy( )( ),( ).f xfxf x处处处处间间断断，处处处处连连续续2上上单单增增、连连续续。在在相相应应的的区区间间要要证证明明其其反反函函数数上上单单增增、连连续续在在区区间间设设yxIyfxIxfy)(,)(1 )()(, 0011,0yfyfIyy要要使使对对 )()()(01101yfyfyf即即)()()(01101 yffyffyff)()(00 xfyxf只只要要00000)()(yxfyyyxf 只只要要)(),(min(0000yxfxfy 取取.)()(0110 yfyfyy时时，就就有有当当0(),of gU xD ( )( )( )yf g xug xyf u 设设由由与与复复合合而而成成，00lim( ),xxg xu 若若0( )yf uu 而而在在连连续续，000lim ( )lim( )()xxuuf g xf uf u 0(