Langevin方程与数值模拟

1、问题：系统的作用量或Hamiltonian量为S平衡态分布为，（这里温度已吸收到S）。假设系统时处于一初始状态系统如何演化至平衡态？如果初始状态不是平衡态，这便是一个驰豫动力学过程。如果初始状态是平衡态，这是平衡态的动力学涨落问题。第一节 单自由度的Langevin方程和Fokker-Planck方程Langevin方程对固定这里的 t 通常也是介观时间。 如果没有随机力，平衡态为，即能量取极小值。如果存在随机力，体系会被推离能量极小，处于某种能量较高的平衡态。例如：布朗运动 花粉在液体中的运动一维解如如，这便是随机行走。在布朗运动的方程中加入自身的相互作用可以理解为广义的Langevin方程

2、。设想这一方程是真正的微观运动方程，对时间做某种介观的平均，常常加速度的项可以忽略。 由于随机力的存在，Langevin方程有他的复杂性，因为我们必须考虑对随机力平均带来的奇异性。为了简单起见，我们对时间分立化在数值模拟中应用较直观，Z =Langevin方程令方程的解 是随机变量，在数值模拟中给定初始值还不确定，与随机力有关。也就是说，在t时刻，x 遵从一个分布。物理量的平均值问题：的含义？答：必须对t之前的所有随机力做平均。又 这里做分步积分时，假设另一方面Fokker-Planck方程显然思考题：试讨论为平衡态的条件第二节 多自由度的Langevin方程和自由场这里是空间指标时空分立化关

3、于Kernel 练习：推导F-P方程，证明平衡态为。自由场动量变换关于Kernel的作用Kernel不改变平衡态，但可以改变动力学演化过程。e，演化极慢，我们可取，则这主意似乎可应用于解决临界点附近的临界慢化问题，称为Fourier加速法。但在有相互作用时，如何选取可以达到“加速”的目的，是重合悬而未决的问题。第三节 Langevin方程的路径积分表述生成泛函对的微商，可以得到任何物理量的平均值。恒等式对单自由度如果 只有唯一解这恒等式对任意成立。作积分变换 在积分号内， 是 的任意函数。 但积分后，由于 函数的作用， 取 的解。关键：令，则积分后为Langevin方程的解。i.e.由于函数的

4、存在，这里的可以看成和无关。引入辅助场玻色场，费米场第四节 复Langevin方程自然延拓 注意:保持为实数。问题：这样的Langevin方程是否给出平衡态分布?引入复分布，令注意：这里为实数练 习形式上不难推导假设当 似乎也有平衡态作相似变换注意：在类似于量子力学的框架下，定义内积则假设为实函数，则为正定算符 设假设 的基态没简并>0,>0但是，如果为复函数，失去正定性，可以小于零，情形变得不确定。第五节 动力学临界现象和临界慢化设描述的平衡态处于二级相变点（临界点）附近Langevin方程描写的动力学行为是一种动力学临界现象。当然，也存在没有平衡态的动力学临界系统，即动力学二级

5、相变系统。更广义的动力学临界现象包括自组织临界现象等。动力学临界现象的特征行为是发散的关联时间和动力学标度形式。例如，定义假设足够大，二、三十年前人们便发现， 为相变温度:称之为动力学临界指数，：任意标度因子动力学标度形式代表一种自相似性，这一自相似性具有普遍意义。例： 把的单位“恰当”地改一下，后果只是把M的单位改一下（相似性）令 除了一个相似因子只与 有关，平衡态的空间关联长度，所以 所以，应当代表一空间标度。事实上，它是t时刻的空间关联长度。 空间单位的改变，仅导致M的单位的改变！ 动力学标度形式可用重整化群方法导出,而且可以推广重有限尺度体系。足够大，足够小。但是，重整化群方法的结果只

6、能与实验或准确结果定性比较。当然，我们可以数值求解Langevin方程，但运算量太大，特别是当时，由引起的误差难以控制。一般相信，Monte Carlo动力学和Langevin动力学处于同一普适类。 MC模拟可以给出较好的定量结果。但是，MC模拟仍受临界慢化的困扰。时间关联函数，足够大包括随机力平均和对平均，称之为关联时间* ，当，标度形式的物理基础* ，当 ，临界慢化 无法获得独立的自旋构形，这不仅仅困扰动力学MC模型，而且困扰平衡态MC模型， 这称之为临界慢化。设假设当然显然，指数上的b的因子必须自身抵消掉思 考 题为什么传统的测量的方法两难境地：要测准，需要大 但当大，临界慢化。第六节

7、Ising 模型的Monte Carlo模拟Ising model称之为哈密顿量，代表能量置于格点上，例如正方格点为外磁场 对随机状态有序状态 极小当体系和大热源接触达到“平衡”时，遵从正则分布物理量的平均值 归一化常数 配分函数对MC模拟，可以给予概率分布的意义。引入恰当随机过程，产生一系列自旋构形当足够大时，遵从分布例格点尺度关键：构造算法·各态历经·细致平衡单自旋翻转法每次只试图改变一个自旋的值，称迭代顺序扫描法按规则依次迭代点阵上所有自旋Heat-bath algorithm选定，取注意：这一算法的跃迁概率与的值无关！这与Metropolis的方法不同。的能量的能量

8、由于每次只迭代一个自旋，与无关的自旋的能量不必计算。设各态历经是显然的。细致平衡练习：·构造Metropolis算法·构造二自旋迭代的Heat-bath和Metropolis算法在计算机上实现Heat-bath的算法选定计算产生随机数，均匀分布如果否则01概率磁化强度及其次矩1当是二级相变点，亦称临界点，临界点附近的现象称临界现象，特征·标度行为为任意标度因子验证：对有限尺度体系·普适性只与对称性和空间维数有关。我们的任务：测量在有限体系测量的方法Binder cumulant当MC方法*计算机上的实验*可以逼进准确解普适标度行为·关联系统的普

9、遍规律过去几十年留下的重要概念之一·以标度行为基础，可测量·广泛应用于自然和社会第七节 短时临界动力学问题1. 如何解决临界慢化困难？杰出的工作：Cluster方法 非局域的迭代方法局限性 不能研究定域的动力学 不能任意推广例如：无序系统 格点规范理论问题2. 当不太大，甚至相当小时，是否存在普适的标度行为？传统答案不存在近十年的答案存在并且，可以给出问题1的一种答案，原则可以应用于任何体系。关键：*区分微观和宏观时间标度*认真对待宏观初始条件初始条件很小对Ising model或理论，磁化的次矩Janssen等人，1989年 展开> 微观足够大特征行为1、足够小有趣，几乎总有>磁化的初始增加。2、 回到1、的结果