121解三角形的应用举例一

1、教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语；激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题引发思考探索猜想总结规律反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。教学重点实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的

2、解教学难点根据题意建立数学模型，画出示意图重难点讲解1解与三角形有关的应用题的基本思路和步骤(1)解三角形应用题的基本思路 实际问题数学问题数学问题的解实际问题的解(2)解三角形应用题的步骤准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；画出示意图，并将已知条件在图形中标出；分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理正确求解，并作答2对实际应用问题中的一些名称、术语的含义的理解(1)坡角：坡向与水平向的夹角，如图(2)仰角和俯角：在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角，如图(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目

3、标方向线所成的角，如图中B点的方位角为(4)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90的水平角，如南偏西60，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60如图中ABC为北偏东60或为东偏北30教学过程（1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解例题讲解【例1】如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=。求A、B两点的距离(精确到)分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离

4、的问题，题目条件告诉了边AB的对角，AC为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算出AC的对角，应用正弦定理算出AB边。解：根据正弦定理，得AB65.7(m)答:A、B两点间的距离为【例2】如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法。分析：这是例1的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法，分别求出AC和BC，再利用余弦定理可以计算出AB的距离。解：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA，

5、ACD，CDB，BDA，在ADC和BDC中，应用正弦定理得 AC BC计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离 AB评注：可见，在研究三角形时，灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的计算方式。【例3】A、B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为45，BAD120，又在B点测得ABD45，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD【点拨】由题目可获取以下主要信息：A、B之间的距离为800m；在A处测得C的仰角为45；BAD120，ABD45；求CD 解

6、答本题可先求出BDA，然后由正弦定理求出AD即可【解析】如图，由于CD平面ABD，CAD45， 所以CDAD 因此，只需在ABD中求出AD即可，在ABD中，BDA1804512015， 由， 得AD800(1)(m)CDAD800(1)2186(m)答：山高CD约为2186 m【规律方法】在测量高度时，要理解仰角和俯角的概念，区别在于视线在水平线的上方还是下方，一般步骤是：根据已知条件画出示意图；分析与问题有关的三角形；运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解；要综合运用立体几何知识与平面几何知识；注意方程思想的运用课时小结解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未

7、知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解同步达纲练习一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1半径为1的圆内接三角形的面积为，则abc的值为()AB1C2D42海上有A、B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75视角，则B、C间的距离是()A10海里B海里C5海里D5海里3在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为q ，沿BE方向前进30

8、 m至点C处测得顶端A的仰角为2q ，再继续前进10m至D点，测得顶端A的仰角为4q ，则q 等于()A15B10C5D204在200 m的山顶上，测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为30，60，则塔高为()AmBmCmDm5ABC中，若2BAC，周长的一半p10，且面积为10，则三边长分别是()A4，7，9B5，6，9C5，7，8D6，7，7二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1等腰三角形顶角的余弦为，则底角的正弦值为_2某人向正东方向走x千米后，他向右转150，然后朝新方向走3千米，结果他离出发点恰好千米，则x的值为_千米3一蜘蛛沿东北方向爬行x cm捕捉到一只小虫，然后向右转

9、105，爬行10 cm捕捉到另一只小虫，这时它向右转135爬行回它的出发点，那么x_4坡度为45的斜坡长为100 m，现在要把坡度改为30，则坡底要伸长_5ABC中，已知a比b长2，b比c长2，且最大角的正弦是，则面积S_三、解答题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)1在ABC中，已知acosAbcosB，试确定ABC的形状2如图，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15，向山顶前进了100米后，又从B点测得斜度为45，设建筑物的高为50m，求此山对于地平面的斜度的倾角3在海岸A处，发现北偏东45方向，距A为(-1)海里的B处有一艘走私船，在A处北偏西75方向

10、，距A2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船，并求出所需要的时间？4为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A和B，望对岸的标记物C，测得CAB45，CBA75，AB120米，求河的宽度5在ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若，求证：B为锐角参考答案一、选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1B分析：SABCabsinC，又SABC，sinC，abc，abc12D分析：如图，C180-60-7545，AB10，BC5(海里)3A分析：如图，BCCA，CDDA，设AEh

11、，则2cos2q ，cos2q 2q 30，q 154A分析：如图，设塔高AB为h，RtCDB中，CD200，BCD90-6030BC在ABC中，ABCBCD30，ACB60-3030BAC120（m）5C分析：2BAC，又ABCp B60cosBcos60，B所对的边不是最长边不是最短边，由余弦定理可知，选C二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1分析：设底角为a ，则顶角为p -2a cos(p -2a )，cos2a -1-2sin2a -，2sin2a sin2a ，sina 或sina -(舍去)22或分析：如图，设出发点为A，则由已知可得ABx千米，BC3千米ABC18

12、0-15030AC，CAB60或CAB120当CAB60时，ACB180-30-6090x2千米当CAB120，ACB180-120-3030xAC千米3cm分析：如图，ABC180-10575BCA180-13545，BC10 cmA180-75-4560x(cm)450() m分析：如图，DB100 mBDA45，BCA30设CDx(xDA)tan30DAtan45又DABDcos45100x-DA50(-1)50()(m)5分析：ab2，bc2a边对的角最大，且ba-2，ca-4；cosA=1当1时，无解当-1时，a7b5，c3SABCbcsinA53三、解答题(本大题共5小题，每小题6

13、分，共30分)1解：acosAbcosBaa2(b2c2-a2)b2(a2c2-b2)c2(a2-b2)a4-b4c2(a2-b2)(a2-b2)(a2b2)(a2-b2)(a2b2-c2)0a2b2或a2b2c2ABC是等腰三角形或是直角三角形2解：在ABC中，BAC15CBA180-45135，AB100 mACB30由正弦定理，得BC又在BCD中，CBD45，CDB90q ，CD50 m解得cosq -1q 42.94山对于地平面的斜度的倾斜角为42.943解：如图，设缉私船追上走私船所需要的时间为t小时，则有CD10t，BD10t，在ABC中，AB-1，AC2，BAC4575120BC由正弦定理可得