利率期限结构模型

1、 利率期限结构模型利率期限结构模型简介利率期限结构相关符号表：利率期限结构相关符号表：( , ):B t T在未来时间T到期的零息票债券在时间t的价格，即在未来时间T支付单位1的债券在时间t的价格。 ( , )R t起息日为时间t，剩余到期期限为 年的零息票债券利率。有： 1( ,)1( , )B t tR t( , )R t起息日为时间t，剩余到期期限为 年的连续复合利率。有： ( ,)exp( , )B t tR t( , ,)F t s Ts在时间t计算的，起息日为时间s，剩余到期期限为T-s的远期利率。有：( , )( , , )exp () ( , ,)( , )fB t TBt s

2、 TTs F t s TsB t s( , )f t s在时间t计算的，起息日为时间s的瞬时远期利率。有： 0( , )lim( , ,)Tsf t sF t s Ts ln( , )( , )B t sf t ss tr即期利率，时间t计算的，剩余到期期限无限小时的零息票债券的连续符合内部收益率。有： 0lim( , )trR tln( , )|tT tB t TrT tR起息日为时间t，剩余到期期限为 年的连续复合利率。有： t( ,)tRR tt( , )t T贴现债券价格 在时间t的预期瞬间收益。 ( , )B t T( , )t T贴现债券价格 在时间t的瞬时波动。 ( , )B t

3、 T,W W标准布朗运动。 ( , )t T瞬间远期利率 的波动。有： ( , )f t T( , )( , )t Tt TT( , )V t贴现债券利率 的波动。 ( , )R t( , )iB n T重组树中，在第i种状态下，剩余到期期限为T的贴现债券在时间n的均衡价格。注意，与 的定义不同，此处T表示的是剩余到期期限，而非到期日。 ( , )B t T利率期限结构的概念利率期限结构的概念利率（interest rate）是经济和金融领域的一个核心变量，它实质上是资金的价格，反映了资金的供求关系。利率期限结构（term structure of interest rates），又称收益率曲

4、线（yield curve），是指在相同风险水平下，利率与到期期限之间的关系，或者说是理论上的零息债券利率曲线。常见的利率期限结构有以下四种： l贴现因子曲线（discount factor curve）： ；l零息票收益曲线（zero-coupon yield curve），（常用）： 或 ；l远期利率曲线（forward rates curve）：l瞬时远期利率期限结构（instantaneous forward term structure），（常用）： 。( ,)B t t( , )R t( , )R t( , ,)TF t s Ts( , )sf t s静态模型静态模型动态模型动态模

5、型样条函数模型节约型模型指数样条法（Vasicek&Fong，1982）均衡模型套利模型Vasicek模型（Vasicek，1977） CIR模型（Cox、Ingersoll&Ross，1985）Ho-Lee模型（Ho&Lee，1986）Hull-White模型（Hull&White，1990）HJM模型（Heath, Jarrow&Morton，1992）Nelson-Siegel模型（Nelsen &Siegel，1987）Svensson扩展模型（Svensson，1994）B样条法,（Steeley，1991）多项式样条法（McCulloch，1971，1975）利率期限结构模型利率期

6、限结构模型静态利率期限结构模型静态利率期限结构模型概述静态利率期限结构模型概述 静态利率期限结构模型以当天市场的债券价格信息为基础，构造利率曲线函数，利用所构造的利率曲线得到理论价格来逼近债券的市场价格，从而得出符合当天价格信息的利率期限结构。 静态利率期限结构模型最为常见的有样条函数模型和节约型模型，样条函数模型主要包括多项式样条法、指数样条法和B样条法，节约型模型的主要代表是Nelson-Siegel模型及其扩展模型。通常，使用静态模型拟合利率期限结构的具体过程如下：首先，从市场上选出一组无违约风险的附息债券。设该组附息债券在时间t的市场价格为 ，在时间s的现金流入为 ，其中， ，j表示该

7、组的第j支债券。 jtP( ) jsFst由于期限结构指的是零息债券的收益率与其到期日间之关系，因此必须先调整“息票效应”（Coupon Effect）。息票效应是指：对于剩余到期期限相同的债券来说，它们的到期收益率不仅与当前的利率期限结构有关，还与它们的票面利率水平有关。对于相同的即期利率期限结构而言，到期收益率是这些即期利率的加权平均，而权重是各个现金流的现值。 于是，假想出贴现函数 或零息票债券利率 的具体形式，其中 和 为参数向量。然后利用假想出的具体形式，来推导附息债券的理论价格，当推导出的理论价格与给定的市场价格最为接近时，就可以估计出由 和 构成的参数向量，即： 1( , )(;

8、)B t sf st 2( ,)(;)R t stg st1212*21argmin()njjttjPP其中， 是从模型jtP( )(;)jjtssPFf st或模型( )(;)jjtssPFf st( )exp () (;)jjtssPFst g st推导出的附息债券理论价格。显然，债券样本中长期品种的价格波动性应大于短期品种，而由此带来的结果是：以上述方法中表示长期债券的定价误差往往大于短期债券。这就是在进行收益率曲线拟合时无法避免的样本异方差特征，导致的结果往往是收益率曲线在远端出现“过度拟合”（Over fitting）的情况，而在近端则无法很好地表现短期债的实际情况。 为了解决这一问

9、题，应该对短期债券赋予较高的权重，而对长期债券赋予较低的权重，从而允许长期债券存在较高的误差。在Bolder和Streliski (1999)的论文中，设定了如下的权重系数：1/1/jjjDurwDur而将参数 的估计过程定义为：2*21()argminjjnttjjPPwn多项式样条法多项式样条函数假设折现因子是到期期限s的多项式分段连续函数 。在运用此函数时，仔细选择多项式的阶数是至关重要的。阶数的多少决定了利率曲线的平滑程度和拟合程度，同时也影响到待估参数的数量。本书将多项式样条函数的阶数定为3。这是因为，当多项式样条函数为二阶时， 的二阶导数 是离散的；当阶数过高（四阶或五阶）时，验证

10、三阶或四阶导数是否连续的难度将增大，待估参数的数量也将增大。 ( )D s( )D s(2)( )Ds一般选用如下形式的多项式样条函数： 231111123222222333333( )( )( )( ).D sabsc sd sD sab sc sd sD sD sab sc sd s112230, ,sTsT TsT T注意，对于即期贴现率函数 来说，显然有 。另外，为了保证分段函数的平滑性以及在分段点的平滑过渡，必须保证贴现函数在整个定义域内连续且一、二阶可导，还需要满足如下约束条件： ( )D s(0)1D 1111221( )( )( )( )( )( )iiiiiiiiiiiiD

11、TDTDTDTDTDT其中 的一阶导数和二阶导数。(1)(2)( ),( )( )iiiDTDTD T分别为例如，考虑30年期的贴现率函数，可以用三次多项式分段拟合如下：2301111235222223103333( ) 0, 5( )( ) 5,10( ) 10,30D sabsc sd ssD sD sab sc sd ssDsab sc sd ss其中，函数必须满足以下的7个约束条件： ( )( )055100(5)(5)(10)(10)0,1,2(0)1iiiiDDDDiD从而，我们可以将互相独立的参数缩减到5个： 23011133235111232310111332( )1 0,5(

12、 )15-5 5,10( )( )15 -510D sbsc sd ssD sbsc sdssdssD sDsbsc sdssdss 33-10 10,30dss指数样条法指数样条函数是Vasicek and Fong (1982)提出的。与在多项式样条函数部分所述的原因相同，也采用三阶指数形式样条函数，其形式为：231111123222222333333( )( )( )( ).usususususususususD sabec ed eD sab ec ed eD sD sab ec ed e112230, ,sTsT TsT T模型中，除了 u也是一个参数，并且有明显的经济含义。Vasi

13、cek and Fong (1982)证明了如下等式：,iiiia b c d 外，lim(0, )sufs即，u可以被认为是当前的起息日为未来无限远时的瞬间远期利率。同样，指数样条法也必须满足如下约束条件： 1111221(0)1( )( )( )( )( )( )iiiiiiiiiiiiDD TDTDTDTDTDT(1)(2)( ),( )( )iiiDTDTD T分别为其中， 的一阶导数和二阶导数。 选择样条函数的分段数量和取样条分界点在指数样条法中也同样十分重要，其方法可以参见多项式样条法。并且，指数样条模型也容易导致远期利率曲线不稳定。不同于多项式样条法的是，其参数估计必须采用非线性

14、最优化。 Nelson-Siegel模型及其扩展形式Nelson-Siegel模型可以由一个公式来说明，该公式的形式与那些描述动态利率的普通微分方程的解的表达式十分类似。该公式为：012111(0, )exp()exp()f其中， 表示即期计算的，在未来时间 时发生的瞬间远期利率。 均为待估参数。利用(0, )f0012, 1以及01(0, )(0, )Rfs ds可以得到：110121111 exp()1 exp()(0, )exp R这就是Nelson-Siegel模型的基本表达形式。当固定 时，通过 的不同组合，利用这个模型，可以推出四种不同形状的零息票债券收益曲线：递增、递减、水平和倒

15、置。但是，这个模型无法推导出形状更为复杂的收益曲线，例如V形收益曲线和驼峰收益曲线。 012和为了克服上述缺点，Svensson (1994)将上述模型扩展如下： 012311122(0, )exp()exp()exp()f于是，可以得到：1101211123221exp()1exp()(0, )exp1exp() expR动态利率期限结构模型动态利率期限模型包括均衡模型和套利模型。 均衡模型是一种由均衡分析方法得出的模型，它从假设一些经济变量开始，推出短期无风险利率的一个过程，然后寻找该过程对债券价格和期权价格的含义。均衡模型利用以下三步来为利率或有要求权定价：l利用已建立好的因子模型来推导

16、出理论零息票债券收益率曲线。l利用参考债券的市场价格来校准模型并推出模型的参数值。l最后，利用已确定的参数来为金融衍生品定价。套利模型由无套利分析方法得出，它是利用市场上的价格信息来推导出利率随机微分方程的形式的。 均衡模型 根据状态变量集中随机变量的个数，可以将利率期限结构模型区分为单因素和两(多)因素模型两大类。 一般单因素模型 ( , )( , )ttttdrt r dtt r dW对 取不同的形式，得到了不同的模型。其一般形式如下： ( , )( , )ttt rt r和1212()()ttttdrr dtrdW1212表21.1 单因素模型总结模型布伦南和施瓦茨(Brennen&Sc

17、hwartz,1979)1瓦西塞克(Vasicek,1977)1克斯-英格尔索尔-罗斯( CIR,1985b)0.5默顿(Merton,1973)1多塞(Dothan,1978)1皮尔逊和孙(Pearson&Sun,1994)0.5Vasicek模型 假设短期利率的历史数据服从Ornstein-Uhlenbeck过程，即： 121()()tttttdrr dtdWa br dtdW在风险中性测度Q条件下，得到利率 变化的过程为：tr()Qtttdra br dtdW其中 Qbba通过求解偏微分方程或鞅方法，可以推导出在时间T到期的贴现债券在时间t的价格为：12( , )( , )exp( ,

18、) )tB t TA t TA t T r其中，21 exp()( , )a TtA t Ta22222212( , )(/2)( , )( , )exp4QA t TTt a bA t TA t Taa于是，根据公式：1( , )ln( ,)R tB t t 可以推导出起息时间为t，剩余到期期限为 的贴现债券的利率，从而得出时间t的收益率曲线。 贴现债券利率的波动率由下式给出：1 exp()( , )( )()aV tVaCIR模型 CIR模型假设短期利率的风险中性过程为：()Qttttdra br dtr dW 于是，贴现债券价格可以表示为：12( , )( , )exp( , ) )tB

19、 t TA t TA t T r22exp( () 1( , )()exp( () 12TtA t TaTt22/12 exp()()/2)( , )()(exp( () 1)2QabaTtA t TaTt222a其中，贴现债券利率的波动率由下式给出：22( ,)( , )tr A t tV t套利模型在套利模型中，假设在时间T到期的贴现债券在时间t的价格 的相对变化满足如下Ito过程：( , )B t T( , )( , )( , )21.28( , )tdB t Tt T dtt T dWB t T（）其中， 为贴现债券价格 在时间t的预期瞬间收益； 为贴现债券价格在时间t的瞬时波动；W为

20、标准布朗运动。( , )t T( , )B t T( , )t T将方程(21.28)在等价鞅测度下写成如下形式 ( , )( , )( , )ttdB t Trdtt T dWB t T其中， 为在另一个概率测度下的标准布朗运动。W根据Ito引例解上面随机微分方程（stochastic differential equation），得到：20001( , )(0, )exp( , )( , )2tttssB t TBTr dss T dWs T ds可以从方程中消除短期利率，过程如下：首先，利用条件 ，得到：( , )1B t t 200011( , )(0, )exp( , )( , )2

21、1.312tttssB t tBtr dss t dWs t ds（）上面两式相除，得：2200(0, )1( , )exp ( ( , )( , )( , )( , )21.32(0, )2ttsBTB t Ts Ts t dWs Ts t dsBt（）上式表明，债券的价格仅取决于当前的期限结构以及波动性结构 根据(21.32)式，还可以推出到期期限为T的贴现债券在时间t的利率，以及在时间t计算的，起息日为时间T的瞬时远期利率，由：1( ,)ln( , )R t TtB t TTt ln( , )( , )B t Tf t TT 可以推得：22001(0, )1( ,)ln()( ( , )

22、( , )( , )( , )(0, )2ttsBtR t Tts Ts t dWs Ts t dsTtBT00( , )(0, )( , )( , ) ( , )21.36ttsf t TfTs T dWs Ts T ds（）其中， 为瞬间远期利率 的波动，它满足：( , )t T( , )f t T( , )( , )s Ts TT由(21.36)式，还可以得到：00( , )(0, )( , )( , ) ( , )tttsrf t tfts t dWs ts t dsGHIJKLMABCDEF 图21.3 重组树 图21.4 非重组树离散时间形式的Ho-Lee模型 基本假设基本假设Ho

23、 and Lee (1986)假定市场满足离散状态时间框架下的标准完全资本市场假设：1. 市场无摩擦。即：无税收，无交易成本，所有的证券都完全可分。2. 市场在离散时间点出清。3. 市场完全。即：对任意期限n，存在贴现债券。4. 对任意的时间点n，存在有限个状态。二项式过程Ho and Lee (1986)假定利率期限结构移动遵循二项式过程随时间变化。即：( , )iB n T1(1,1)iBnT(1,1)iB nT其中， 定义为在第i种状态下，剩余到期期限为T的贴现债券在时间n的均衡价格。当利率上升时，该价值向 运动，当利率下降时，该价值向 运动。( , )iB n T1(1,1)iBnT(

24、1,1)iB nT干扰函数 定义干扰函数和如下：如果利率下降，则债券的价值向上移动到：1( ,1)(1, )( )( ,1)iiiB n TBnTh TB n如果利率上升，那么债券的价值向下移动到：*( ,1)(1, )( )( ,1)iiiB n TB nTh TB n其中， *( )1( )1(0)(0)1h Th Thh，。风险中性概率无套利条件对每个结点（n, i）给出了其扰动函数的约束。*( )(1)( )1h Th T其中，n, i0。 与到期期限T，初始贴现债券价格无关，但可能与时间n，状态i有关，称为隐含二项式概率。根据干扰函数的定义，上式可写为： 1( , )(1,1)(1)

25、(1,1)( ,1)iiiiB n TBnTB nTB n隐含二项式概率为Cox Ross and Rubinstein (1979)模型中的风险中性概率（Risk Neutral Probability），于是，rdud其中，1( ,1)irB n1(1,1)( , )iiBnTuB n T(1,1)( , )iiB nTdB n T对重组树的要求在定义了干扰函数之后，就可以用公式来明确对重组树的要求了。( ,2)iB n T 1(1,1)iBnT(1,1)iB nT1(2, )iBnT图21.6 利率期限结构的二项式过程（2）当状态先上移后下移时，有：*111(1,1)(2, )( )(1

26、,1)iiiBnTBnTh TBn1( ,2)(1,1)(1)( ,1)iiiB n TBnTh TB n又因为：*1( ,2) (1)( )(2, )21.42( ,2) (1)iiiB n Th Th TBnTB nh（）1( ,2)(1,1)(1)( ,1)iiiB nBnhB n故有：当状态先下移后上移时，同样可以得到：*1*( ,2)(1) ( )(2, )21.43( ,2)(1)iiiB n Th Th TBnTB nh（）比较(21.42)式和(21.43)式，得：*(1)( )(1)(1) ( ) (1)h Th T hh Th T h*( )(1)( )1h Th T(1)

27、1( )1(1)(1) (1) ( )1(1)h Th Thhh Th T又由于：故有： 上式可简化为一个一阶线性差分方程：1(1)( )h Th T(1)1/(1) )h ( (1) 1)(1) (1)hh其中，于是， 和 均为常数。求解上述一阶线性差分方程，得：1( )21.46(1)Th T （）*( )21.47(1)TTh T （）故：*( )( )21.48Th Th T（）为风险中性概率： rdud由(21.48)式，可以推导出：*(1)(1)hh利率期限结构在第i种状态下剩余到期期限为T的贴现债券的时间n的价格用初始利率期限结构表示如下： *0*0(0,)(1)(2)() (1

28、)( )( , )(0, )(1)(2)( ) (1)(1)iBTn h Tnh Tnh Ti h Tih TB n TBnh nh nh i h ih 将(21.46)式和(21.47)式代入上式，得：()00(0,) (1) (2)( )( , )(0, )(1) (2)(1)T n iiBTn h Tnh Tnh TB n TBnh nh nh特别的，当T=1时，债券价格为：00(0,1)( ,1)(0, )(1)n iinBnB nBn 于是，短期利率为：00(0, )( ,1)ln( ,1)lnln(1)ln(0,1)niiBnr nB niBn 设隐含二项概率为q，则 是关于i的一

29、个二项分布，均值为：( ,1)ir n(1)( )( )lnln(1)lnlnln(1)(1)(1)nq nqnP nP nnqP nP n 方差为：2var(1)(ln )nqq连续时间形式的Ho-Lee模型 连续时间形式的Ho-Lee模型实际上是单因素HJM模型的一个特例。它假设为瞬间远期利率 的波动 与t和T无关，即：( , )f t T( , )t T( , )t T于是，短期利率由下式给出：2(0, )ttftdrt dtdWt 贴现债券价格由下式给出：22(0, )()( , )exp( ()(0, )()(0, )2tBTTttB t TTt rftBt贴现债券利率由下式给出：2()( ,)