函数的换元积分法（Word）

1、 / 18 编号编号 学学士士学学位位论论文文一元函数的换元积分法一元函数的换元积分法 学生姓名： 学 号： 专 业： 年 级： 完成日期： 中文摘要不定积分的概念较为简单，但从计算上讲是较为复杂的，如同数学中一般逆运算比正运算困难一样，不定积分作为微分运算的逆运算，其难易程度却相差甚远，若把求导数比喻为将一根绳子打结，求不定积分则是解结，解结显然比打结难，有时甚至解不开。而且利用直接积分法所能计算的不定积分是非常有限的，因此，有必要进一步研究不定积分的其它计算方法，由复合函数的求导法则可推得一种十分重要的积分方法换元积分法（通常称为换元法） 。该法可分为两类，即第一类和第二类换元法。关键词：

2、关键词：一元函数一元函数；不定积分；换元法不定积分；换元法目录中文摘要中文摘要 .0引言引言 .11. 换元积分法换元积分法 .11.1 第一类换元积分法 .112 第二类换元积分法 .313 求三角函数(sin ,cos )Rxx 的不定积分.10总结总结 .12参考文献参考文献 .13致谢致谢 .14引言换元积分法是把积分化为可以利用积分公式的一个重要方法。其形式有两种。第一类换元法和第二换元法。第一类换元法是由( )g u的原函数而获得( )f x 的原函数主要采取的方法便是“凑”的方法。第二换元法是已知( )f x 有原函数而用来得到( )g u的原函数，它是第一换元法的可逆过程。1.

3、 换元积分法定义：我们将把复合函数的求导法反过来用于求不定积分，即利用变量代换的方法将所要求的不定积分变为基本积分表中所已有的形式或原函数为已知的其它形式来求函数的不定积分，这种方法称为换元积分法。1.11.1 第一类换元积分法第一类换元积分法定理定理 1 1：（第一类换元积分法）若函数( )ux在 , a b 可导，且( )x， ,u 有( )( )F uf u，则函数 ( )( )fxx存在原函数 ( )Fx，即 ( )( ) ( )fxx dxFxc （1） 证法只需证明 ( ) ( )( )Fxfxx 证明：证明：由复合函数的求导法则，有 ( )( )( )FxF ux=( )( )f

4、 ux ( )fx( )x 。第一类换元积分法指出，求（1）式等号左端的不定积分，设( )xu则化为求不定积分( )f u du，若( )f u 存在原函数( )F u ，则( )f u du=( )F uc最后在将( )ux代入上式等号的左，右两端，就得到所求的不定积分。 ( ) ( ) ( )fxx dxFxc 由于( )( )x dxdx，第一类换元积分法可表为( ) ( )( ) ( )( )( )xufxx dxfx dxf u du=( )( ) ( )uxF ucFxc ；第一类换元积分法的一般步骤：若某积分( )g x dx可化为 ( )( )fxx dx的形式，且( )f u

5、 du比较容易积分，那么可按下列方法和步骤来计算所给积分（1）凑微分：设法将积分 ( )g x dx变形为 ( )( )fxx dx的形式，从而可得： ( )g x dx= ( )( )fxx dx= ( )( )fx dx（2）作变量代换：作变量代换( )ux，则( )( )dux dxdx，从而将积分变为( )g x dx= ( )( )fxx dx=( )f u du 并计算该积分； （3）将变量回代：根据所作代换，用( )x替换积分结构中的u，从而求得结构得原积分的结果。即： ( )( ) ( )( )( )| ( )uxg x d xf u duF ucFxc 。注：显然第一步是第一

6、类换元积分法的关键，第一类换元积分法叫做凑微分法。例例 1 1： 求不定积分 51(1)Ixdx 与 1002(1)Ixdx 解：解：用线性质可直接求得13522221(1 510105)Ixxxxxdx=357232221105254337xxxxxxc 若用求1I的方法来计算2I ，显然是不可想象的为此，可用第一类换元法来计算：1(1)2xx；10022(1)(1)Ixxx dx 1002 (1) 1(1)(1)xxdx1x u1002 (1)uudu = 1021012112()102101uuc102101212(1)(1)51101xxc 若用计算2I 的方法来计算1I应得 7613

7、21(1)(1)73Ixxc；例例 2 2：求 2dxxpxq解：解：二次三项式2xpxq在实数范围内无解，所以设2xpxq有一对共轭复根iu，这时2xpxq22()24ppxq2()x+2u 其中2p 24puq对这一情形有222()dxdxxpxqxu=1arctanxcuu2212arctan44pxcppqq；1 12 2 第二类换元积分法第二类换元积分法定理定理 2 2：（第二类换元积分法） 若函数( )xt在 , 可导，( )atb，且( )0t 。函数( )f x 在 , a b 有定义，t , ，有( ) ( )( )G tftt 则函数( )f x 在 , a b 存在原函数

8、，且1( )( )f xGxc 。证明：证明：已知 ,t 有( )0t，则函数( )xt存在可导的反函数1( )tt由复合函数和反函数的求导法则，有1 ( )Gx1( ).( )G tx1( )( )( )fttt= ( )( )ftf x 。第二类换元积分法指出，求1( )( )f x dxGxc式等号左端的不定积分，设( )xt，则化为求不定积分 ( )( )fttdt。若 ( )( )ftt存在原函数( )G t，则 ( )( )( )ftt dtG tc最后将1( )tt代入上式等号右端，就得到所求的不定积分1( )( )f x dxGtc由于 ( )( )t dtdt 第二类换元积分

9、法可表为 ( )( ) ( )( )( )xtf x dxftt dtG tc1( )tx1( )Gxc；例例 3 3：求 22ax dx (0)a xa22ax解：解：利用三角变换去根式：令sinxat ()22t 则 cosdxatdt，arcsinxta； axa 根据公式 22222( ) ( )sin. cost dtftax dxaat atdt 222cos coscosattdtatdt =22(1 cos2 )(cos2)22aat dtdttdt =2221(sin2 )sin22224aaattcttc为把t回代成x的函数，根据sinxat作一辅助直角三角形如图可知22c

10、osaxta 代入上式得22222arcsin22axxax dxaxca例例 4 4： 求11dxxx分析：分析：被和函数中有两个不同的根号，作变换时应考将两个极号同时去掉或变成其它可积出来的情形 。解：解：令 221()2txt于是2211()2txt 22221 212tttdxdttt=4312tdtt从而有 11dxxx=422311.11 2122tdtttttt=4223321(1)(1)2222ttttdtdttttt=231111(1)2dtttt 2111(ln)22ttctt 因为 212txt，2112txt 所以1xxt 故得 11dxxx1221111ln(1)21

11、(1)xxxxxxxx+c=2xx1ln(1)2xx11(1)(1)22xxxxc解法解法 2 2：先作恒等变形有221111(1)( 1)dxxxdxxxxx=112xxdxx=1(2 x11221xx)dx=1122xxxdxx （1）令1xtx 于是21xtx ，211xt，222(1)tdxdtt 从而有1xdxx=222222222(1)1(1)tdtdtdtttt =21111ln()1211tdtttt=1ln1tt122221(1)12(1)dtdtdtttt=11111ln()21211tcttt=1ln21111()211111xxcxxxxxx=ln( 1)(1)xxxx

12、c （2）将（2）代入（1）得到1ln(1)2211dxxxxxxx12(1)xxc例例 5 5：求 22dtxa， 0a ，xa解法解法 1 1：令secxat，(0,)(, )22t，于是sec tandxattdt，222tantanxaatat 。其中当(0,)2t时取正号，(, )2t时取负号。22sec tantandxattdtatxa=secln sectantdtttc 。当2222lnlnxxacxxacaa ，xa当2222lnlnxxacxxacaa ，xa 又因当 xa 时有222222222lnlnlnxaxxxaxaxxxa 222222lnlnlnaxxaaxx

13、a 所以对所有xa均有2222ln.dxxxacxa例例 6 6：求 11xdxx解：解：21111241111xxxxdxdxdxIxxx由于111xdxxtx令2122242222ln222ttdtdttcttt 1122 12ln12xxcx 2112411sec122xdxxx令231tansec1secsec23sec23secd218secsec3sec2sec3d 134tanln sectan223cos1d 2tan132tanln sectan4221 2tan2d 22 tan1132tanln sectan2ln222 tan12c 23211ln 212(1)2ln2

14、21xxxxxxxcxx 12122 112ln1212xxxIxxxxxx 32ln 2(1)21xxxc 12()ccc例例 7 7：试用多种方法求不定积分24dxxx 解法解法 1 1：相继使用第一，第二换元积分法，得到2222121( )242112 ( )1dxdudxuxxx （令secut）1sec tan1ln sectan2tan2ttdtttct 2211ln1ln2224xuuccx 解法解法 2 2：由于12(2)2xdxxxx 因此又可令22xtx由此解出222(1)1txt，22421txt，228(1)tdxdtt并得到 22222221182(1)4(1)1tt

15、tdttdttttt 11122lnln21222txxcctxx21ln224xcx ；1 13 3 求三角函数求三角函数(sin ,cos )Rxx 的不定积分的不定积分(sin ,cos )Rxx dx 常常有多种方法，其中有一种是万能的，尽管这种方法不是最简便的。 设tan2xt ()x有2arctanxt 221dxdtt22222sincos2tan2222sin1sincos1tan222xxxtxxxxt22222222cossin1tan1222cos1cossin1tan222xxxtxxxxt有 2222212(sin ,cos )(,)111ttRxx dxRdtttt

16、显然，上式等号右端的被积函数是有理函数，因此三角函数(sin ,cos )Rxx 存在被等函数的原函数。焕元tan2xt。称为关于(sin ,cos )Rxx 的万能换元。例例 8 8：求2211 2 cosrdxrxr (01,)rx解：设tan2xt有2arctanxt 221dxdtt，221cos1txt 222222211211 2 cos11 21rrdxdttrxrtrrt2222222(1)2(1)1(1)(1)1()1rrdtdtrrrtrtr 112arctan2arctan(tan)112rrxtccrr在某些特殊情形下，要会选择更方面的变量替换。例如：(1) ( sin

17、 ,cos )(sin ,cos )RxxRxx 可令costx。(2) (sin , cos )(sin ,cos )RxxRxx 可令sintx。(3) ( sin , cos )(sin ,cos )RxxRxx可令tantx。例例 9 9：求44cos2sincosxdxxx解：解：本题属上述特殊情形（3）令tantx则有222444cossin1tan(tan )sincostan1xxxdxdxxxx2242211111ttdtdtttt21()1()2ttdttt 1()utt令22duu =111()2 222duuu=12ln2 22ucu=221sec2 tanln2 2s

18、ec2 tanxxcxx ；总结 此论文中主要介绍解不定积分过程中有难易程度的有些问题所利用的一种方法换元积分法，其主要形式有两种，第一类换元法和第二类换元法和它们之间的关系。还有介绍求三角函数不定积分的一种方法万能换原法。通过利用这些方法解决了计算不定积分过程所遇到的故障。参考文献1 刘玉琏. 数学分析讲义（上）M . 北京高等教育出版社，2003: 291316.2 李成章. 数学分析（上）M. 北京科学出版社，1999.5: 208 . 3刘勇 . 数学分析新讲M. 北京大学出版社，1990： 210.4 赵显曾. 数学分析的方法与题解M. 陕西师范大学出版社，2005： 246.5 吴良森. 数学分析学习指导书上册M. 北京高等教育出版，2008： 231.6 吴良森. 数学分析习题精解M. 北京科学出版社