函数的单调性与极值理（Word）

1、33 函数的单调性与极值一、学习要求1掌握用一阶导数的符号判别函数的单调性2会求函数的单调区间3理解函数的极值与极值点的概念4熟练掌握求函数极值的方法，了解极值存在的必要条件5 知道极值点和驻点的区别和联系6初步掌握实际问题中最大值和最小值的求法7理解边际与弹性的概念，会利用导数讨论一些简单的经济问题8了解极值和最值的区别和联系二、疑难解析（一）基本概念1函数单调性的判定定理：设函数在内可导 如果在内，则函数在内单调增加， 如果在内，则函数在内单调减少定理中的开区间换成其他区间（包括无穷区间），结论仍然成立 在利用定理解题时，需注意： 考虑函数的定义域； 在解题过程中，列成表格更能清楚地说明问

2、题 与换成与（等号只在个别点成立），上述定理的结论是否仍然成立。 一般地，确定函数单调区间的步骤是： 求函数的定义域；1 / 11 求导数，并进一步求出的不可导点与驻点； 用中的点对定义域进行划分； 在每个开区间内判定的符号，由上述定理得出相应的结果。2极值的概念设函数在的某邻域内有定义，如果在该邻域内任取一点（），均有，则称是函数的一个极大值，称为的极大值点；同样，如果在该邻域内任取一点（），均有，则称是函数的一个极小值，称为的极小值点函数的极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点要注意函数的极值与最值的区别：这是两个不同的概念。极值是一种局部性的概念，它只限于与的某邻域的函

3、数值比较；而最大值、最小值是一个整体概念，它是就整个区间的函数值比较来说的函数的极大值不一定是函数的最大值，函数的极小值也不一定就是函数的最小值；一个函数在某个区间上可能有若干个极值点，在这些点上，有些极小值可能要大于极大值。3极值点与驻点的区别与联系如果函数在点可导，且在点处取得极值，则必有可导函数的极值点一定是函数的驻点，但驻点不一定是函数的极值点连续而不可导的点也可能是极值点4函数极值的判定（极值的第一充分条件） 设函数在点的某个邻域内可导，且（1）如果当时，；当时， ，则函数在处取得极大值；（2）如果当时，；当时， ，则函数在处取得极小值；（3）如果在的两侧，具有相同的符号，则函数在处

4、不取得极值（极值的第二充分条件） 设函数在点处具有二阶导数，且，则（1）当时，函数在点处取得极大值；（2）当时，函数在点处取得极小值看起来，第二充分条件比第一充分条件要简单。在利用第二充分条件解题时，需注意：当时，第二充分条件定理失效，在这种情况下，要利用第一充分条件来判断函数的极值。对于不可导点是否为极值点，只能用第一充分条件定理来判断。一般地，求函数的极值点和极值的一般步骤为：(1)确定函数的定义域；(2)求，解方程，求出驻点，找出使不存在的点；(3)用上述诸点按从小到大的顺序将定义区间分为若干子区间；列表考察在各个子区间内的符号，判定出函数在子区间上的单调性，也就得到了极值点；(4)求出

5、各极值点处的函数值，就得到函数的全部极值（二）基本运算1判断函数的单调性或单调区间例1 判断函数的单调性解：在定义域上连续，且只有在处等于0，故在上单调增加。例2 讨论函数的单调区间解：函数的定义域为 令，得，将定义域分成三个区间，可列表讨论如下：12+0-0+增加减少增加即函数的单调增区间为：，；单调减区间为：2利用函数的单调性证明不等式例3 证明当时，证明：令，则又（），所以函数在区间上单调增加因此，当时，即 3求函数的极值 例4 求的极值解：函数的定义域为 令，得，列表讨论如下：-13+0-0+增加极大值10减少极小值-22增加即函数在处取得极大值，在处取得极小值例5 求函数在区间上的极

6、值解：函数的定义域为 令，得，又因为，故，所以在处有极大值，在处有极小值三、自测题自测题（一）、填空题1可导函数的极值点一定是函数的_2 设函数在（a，b）内可导，如果，则函数在（a，b）内单调_;如果，则函数在（a，b）内单调_;如果，则函数在内是_;3 函数的单调增区间是_，单调减区间是_4函数在内单调增加，则a_5 函数的极小值点是_6 函数在_处取得极大值_, 在_处取得极小值_、单项选择题1下列说法正确的是（ ）A函数的驻点一定是极值点 B 函数的极值点一定是驻点C函数的极大值必大于极小值 D 极值点只能在定义区间内部取得2点是函数的（ ）A驻点但非极值点 B 极值点但非驻点C驻点且

7、是极值点 D 非驻点也非极值点3设，则（ ）A在内单调减少 B 在内单调增加C在内单调减少 D 在内单调增加4的单调区间是（ ）A， B C D 5 函数在区间上的极小值点为（ ）A B C D 不存在、计算解答题1设函数，求函数的单调区间2 设函数，求函数的单调区间和极值3 设函数，求函数的单调区间和极值、证明题1 利用函数的单调性证明自测题（二）、填空题1函数的极值点可能是函数的_或_2 函数的单调增区间是_;单调减区间是_;极值点是_,它是极_值点3 函数在区间_上单调减少，在区间_上单调增加4如果函数在处取得极小值，则=_,b=_5 函数的极小值点为_6 函数在_处取得极大值_、单项选

8、择题1如果函数在点处取得极大值，则必有（ ）A B C且 D 或不存在2点是函数的（ ）A驻点但非极值点 B 极值点但非驻点C驻点且是极值点 D 非驻点也非极值点3满足方程的点是函数的（ ）A极值点 B 驻点 C间断点 D 不可导点4下列函数中，（ ）在指定区间内是单调减少的函数A B C D 5 设函数，则下列正确的是（ ）A极小值 B 极大值 C 极小值 D 极大值、计算解答题1设函数，求函数的单调区间和极值2 设函数，求函数的单调区间和极值3 设函数，求函数的单调区间和极值、证明题1 利用函数的单调性证明四、自测题答案自测题（一）、填空题1驻点 2 增加、减少、常数 3 、 4 大于0 5 6 ，；， 、选择题1D 2 A 3 A 4 B 5 B、计算题解答题1单调减区间： ；单调增区间： 2 单调减区间： ；单调增区间：， ；在处取得极大值；在处取得极小值3 单调减区间： ；单调增区间： ；在处取得极小值、证明题略自测题（二）、填空题1驻点、不可导点 2 ，小 3 ， 4 ，0 5 6 ，3 、选择题1D 2 C 3B 4 A 5 C、计算解答题1单调减区间：