函数的微分与极值（Word）

1、泰山学院信息科学技术学院教案 数值分析 教研室 课程名称高等数学研究授课对象2006级本科授课题目第十一讲二元函数的微分与极值课时数4教学目的通过教学使学生掌握二元函数的微分法、无条件极值、条件的极值求法，掌握最值的求法，会利用这些理论解决生产实际的应用问题。重点难点1重点无条件极值、条件的极值求法，最值的求法；2难点应用无条件极值、条件的极值、最值理论解应用题。教学提纲第十一讲 二元函数的微分与极值一、多元函数的微分1.多元函数的极限2、偏导数3、全微分二、极值与最值1二元函数的无条件极值2二元函数的条件极值 拉格朗日数乘法3二元函数的最值三、应用1.曲面的切平面与法线方程2.场论初步1 /

2、 14教学过程与内容教学后记第十一讲二元函数的微分与极值二元函数的导数、极值、最值是历年考试的重点，二元函数的微分、二元函数的微分在几何中的应用、场论初步也应引起重视。一、多元函数的微分1.多元函数的极限, 也记作 或f (P)®A(P®P0).【说明】(1)二重极限存在, 是指P以任何方式趋于时, 函数都无限接近于A. (2)如果当P以两种不同方式趋于时, 函数趋于不同的值, 则函数的极限不存在.例1： 设, 求证. 【证明】 因为 , 因此. 例2：讨论：函数在点(0, 0)有无极限？ 【解】: 当点P(x, y)沿x轴趋于点(0, 0)时, ; 当点P (x, y)沿

3、直线y=kx有 . 因此, 函数f(x, y)在(0, 0)处无极限。2、偏导数【说明】关于求导时，暂时把看成常数。例：验证函数满足方程.【证明】 因为, 所以 , , .因此 .3、全微分 如果函数z=f(x, y)在点(x, y)的全增量 Dz= f(x+Dx, y+Dy)-f(x, y)可表示为, 即其中A、B不依赖于Dx、Dy 而仅与x、y 有关, 则称函数z=f(x, y)在点(x, y)可微分, 而称ADx+BDy为函数z=f(x, y)在点(x, y)的全微分, 记作dz, 即 dz=ADx+BDy. 【说明】 （）如果函数z=f(x, y)在点(x, y)可微, 则函数在该点的

4、偏导数、必定存在，但反过来不对；（）如果函数z=f(x, y)在点(x, y)可微, 则函数在该点连续；（）、在(x, y)存在，函数z=f(x, y)在(x, y)不一定连续例4：讨论函数在点(0, 0)处连续性、偏导数的存在性、及可微性。【解】函数在点(0, 0)处连续；由偏导数的定义知f x(0, 0)=0及f y(0, 0)=0； 但函数在(0, 0)不可微分,这是因为当(Dx, Dy)沿直线y=x趋于(0, 0)时, .不趋向0.4、偏导数的求法 （1）复合函数求导法，例5：（1）,求（2）,求【解】(1) (2) （2）隐函数求导法若函数由方程确定，方程两边关于求导， ，所以，同理

5、，例6：（1）若函数由方程确定，求。（C）（2）若函数由方程组确定，求。【解】(1)C (2)方程两边关于求导解得例7：设是由方程所确定的函数，其中具有2阶导数且时，求(1)；（2）记，求.【解】(1),(2)（3）高阶导数,例7：设函数在内具有二阶导数，且满足等式.验证.【说明】 利用复合函数偏导数计算方法求出代入即可得【解】设，则.，.将代入得.例8：设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足，又,求【分析】 本题是典型的复合函数求偏导问题：，直接利用复合函数求偏导公式即可，注意利用【解】 ，故 ，所以 =二、极值与最值1二元函数的无条件极值(1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对

6、于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。(2)二元函数取得极值的必要条件： 设在点处可微分且在点处有极值，则，即是驻点。(3) 二元函数取得极值的充分条件：设在的某个领域内有连续上二阶偏导数，且，令，则当且 A<0时，f为极大值；当且A>0，f为极小值；时，不是极值点。【注意】 当B2AC = 0时，函数z = f (x, y)在点可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论例9： 求函数z = x3 + y2 2xy的极值【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值

7、.【解】先求函数的一、二阶偏导数：，, , 再求函数的驻点令= 0，= 0，得方程组求得驻点(0，0)、利用定理2对驻点进行讨论：(1)对驻点(0, 0)，由于A = 0, B =2， C = 2，B2AC0,故(0, 0)不是函数z = f(x, y) 的极值点(2)对驻点，由于A =4, B =2，C = 2,B2AC =40, 且A0,则 为函数的一个极小值例10：设z=z(x,y)是由确定的函数，求的极值点和极值.【分析】 本题把极值问题与隐函数求导方法相结合，计算量是比较大的。这体现了考研的基本要求。【解】 因为 ，所以 ， .令 得 故 将上式代入，可得 或 由于 ， ，所以 ，故

8、，又，从而点(9,3)是z(x,y)的极小值点，极小值为z(9,3)=3.类似地，由 ，可知，又，从而点(-9, -3)是z(x,y)的极大值点，极大值为z(-9, -3)= -3.【点评】本题讨论由方程所确定的隐函数求极值问题，关键是求可能极值点时应注意x,y,z满足原方程。2二元函数的条件极值拉格朗日数乘法：设某领域内有连续偏导数，引入辅助函数解联立方程组得可能是在条件下的极值点例11经过点的所有平面中，哪一个平面与坐标面在第一卦限所围的立体的体积最小并求此最小体积【分析】条件极值经常考应用题。这一点大家应引起重视。【解】设所求平面方程为 因为平面过点，有 设所求平面与三个坐标平面所围立体

9、的体积为V， 则作拉格朗日函数求函数L的各个偏导数，并令它们为0，得方程组：代入解得a = b = c = 3由于最小体积一定存在又函数有惟一的驻点故a = b = c = 3为所求即平面x + y + z = 3与坐标面在第一卦限所围物体的体积最小最小体积为例12求函数在在约束条件和下的最大和最小值.【解】设得方程组即解得 或得 ，3二元函数的最值二元函数的最值一定在驻点和不可导点及边界点取得。例13:D是直线与坐标轴围成的三角形闭区域，求在上的最大值和最小值。 驻点。例14:求函数在区域D上的最大值和最小值，其中： 。【分析】 由于D为闭区域，在开区域内按无条件极值分析，而在边界上按条件极

10、值讨论即可。【解】 因为 ，解方程： 得开区域内的可能极值点为.其对应函数值为又当y=0 时，在上的最大值为4，最小值为0.当，构造拉格朗日函数 解方程组 得可能极值点：，其对应函数值为 比较函数值，知f(x, y)在区域D上的最大值为8，最小值为0.【评注】当，代入目标函数转换成一元函数求解更简单。例5:已知函数z=f(x,y) 的全微分，并且. 求f(x,y)在椭圆域上的最大值和最小值.【解】 由题设，知 ，于是 ，且 ，从而 ，再由，得 C=2, 故 （下略）三、应用1.曲面的切平面与法线方程曲面在点M0的切平面. 这切平面的方程式是 Fx(x0, y0, z0)(x-x0)+Fy(x0

11、, y0, z0)(y-y0)+Fz(x0, y0, z0)(z-z0)=0. 法线方程为 . 例16： 求球面x2+y2+z2=14在点(1, 2, 3)处的切平面及法线方程式. 【解】 F(x, y, z)= x2+y2+z2-14, Fx=2x, Fy=2y , Fz=2z , Fx(1, 2, 3)=2, Fy(1, 2, 3)=4, Fz(1, 2, 3)=6. 法向量为n=(2, 4, 6), 或n=(1, 2, 3). 所求切平面方程为2(x-1)+4(y-2)+6(z-3)=0, 即x+2y+3z-14=0. 法线方程为2.场论初步（1）数量场：（方向导数）函数u=f(x, y，z)在点P0(x0, y0,z0)可微分, 那么函数在该点沿任一方向l 的方向导数都存在, 且有 , 其中cos a, cos b,是方向l 的方向余弦. （2）数量场（梯度）设三元函数可微grad f(x0, y0, z0)=fx(x