用函数模型解决实际问题

1、用函数模型解决实际问题西飞一中数学组西飞一中数学组 李晋李晋 例1 设在海拔 x cm处的大气压强是 y Pa , y 与 x 之间的函数关系式是,kxecy 其中 c 、 k 为常量。 已知某地某天在海平面的大气压为1.01105 Pa , 1000 m 高空的大气压为0.90105 Pa , 求 600 m 高空的大气压强 (结果保留 3 个有效数字). 分析: 这个问题的函数关系式是已知的 (由于其中 c、k 尚未确定，所以严格地说是已知函数的模型) , 但需确定其中常数 c 和 k ，如何确定？kkecec10005051090. 01001. 1解:依题意有kkecec1000505

2、1090. 01001. 1kecc1000551090. 01001. 1ke1000551001. 11090. 0401. 190. 0100011015. 1lnkxey41015. 151001. 1得代入上式将,600 x).(1093. 01001. 156001015. 154Paey.10943. 0600:5Pam高空地大气压约为在答小 结:实际问题待定系数法服务函数模型函数模型的结果推理运算 例例2 以下是某地区不同身高的未成年人男性以下是某地区不同身高的未成年人男性的体重平均值表：的体重平均值表： 据医学测定，如果体重超过相同身高男性平均值的 1.2 倍为偏胖，低于 0

3、.8 倍为偏瘦，那么该地区某中学一男子身高为 175 cm , 体重为 78 kg , 他的体重是否正常？身高(cm) 60708090100110体重(kg)6.137.909.9912.15 15.0217.50身高(cm) 120130140150160170体重(kg)20.92 26.86 31.1138.85 47.2555.05 分析1、表中身高栏中没有 175 cm 这个数值，因为身高为 175 cm 对应的体重平均值只有靠推测，而推测的依据只能是上述统计表，换句话说, 必须将表中蕴含的规律，即身高与体重的关系找到。 分析2、假设身高用 x 表示，体重用 y 来表示，那么 x

4、与 y 之间的关系怎样去找呢？前面学习过的确定函数的方法显然不适用。身高(cm) 60708090100110体重(kg)6.137.909.9912.15 15.0217.50身高(cm) 120130140150160170体重(kg)20.92 26.86 31.1138.85 47.2555.05 例例 2 以下是某地区不同身高的未成年人男以下是某地区不同身高的未成年人男性的体重平均值表：性的体重平均值表：身高(cm) 60708090100110体重(kg)6.137.909.9912.15 15.0217.50身高(cm) 120130140150160170体重(kg)20.92

5、 26.86 31.1138.85 47.2555.05 （2）据医学测定，如果体重超过相同身高男性平均值的 1.2 倍为偏胖，低于 0.8 倍为偏瘦，那么该地区某中学一男子身高为 175 cm , 体重为 78 kg , 他的体重是否正常？ （1）根据表中提供的数据，能否从我们已经学过的函数xbaybxaybaxy,ln,中选择一种函数，使它比较近似地反映出该地区未成年男性体重 y 关于身高 x 的函数关系？试求出这个函数解析式。分析： 可以先根据表中的数据描点画出图象（这个图称为散点图）， 再根据散点图的形状判断应当选择哪种函数关系，然后根据已知数据求出所选式子的待定常数，最后将表中的身高

6、数据代入求得的解析式，看所得函数值是否与已知体重数据基本吻合。 解：(1)以身高为横坐标，体重为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图（1）。根据图（1），可考虑用函数y=abx 反映上述数据之间的对应关系。将x=70, y=7.90 和x=160, y=47.25 两组数据代入y=abx，.25.47,90. 716070baba可得利用计算器得 a=2, b=1.02. 所以，该地区未成年男性体重关于身高的近似函数关系式可选为y=21.02x. 将已知数据代入所得函数解析式，或作出所得函数的图象 (2), 可知所求函数能较好地反映该地区未成年男性体重与身高的关系。 (2)把 x=175 代入y=

7、21.02x,得y=21.02175,由计算器算得y=63.98.由于7863.981.221.2,因此，这名男生体型偏胖。 点评：本例题是实际应用问题，解题过程是从实际问题出发，引进数学符号，通过函数拟合的方法获得函数模型，并用这个函数模型来解决相应的实际问题。这个过程反映了应用数学知识解决实际问题的常规步骤。 说明：由于本题数字计算较繁，并且选择不同的数据所求出的常量值也不同，这样做会给我们带来不少麻烦。如果我们先用信息技术工具收集数据、描点画图，然后选择函数关系式，再用计算器计算、检验，那就方便多了。有条件的地方在解决本例题时可以使用信息技术。 1、利用函数拟合法确定函数的过程：实际问题画散点图观察判断函数类型待定系数法确定函数表达式 验证 拟合程度不好好小 结 二是函数已知的问题，如物理应用题，事先知道公式或模型，这时只要用待定系数法即可确定公式中待定的常数，即可确定函数关系。2、函数应用题主要有两种类型： 一是函数未知的问题，像几何应