电磁波的辐射

1、第五章电磁波的辐射本章重点与难点本章重点与难点 本章难点： 矢势的展开和偶极辐射公式的导出； 电磁场动量密度张量的引入和意义。 电磁场的矢势和标势的引入、规范不变性； 达朗伯方程及推迟势的物理意义； 矢势的多极展开和电四极以及磁偶辐射； 电磁场的动量，动量流密度等概念。 本章重点第一节第一节 电磁场的矢势和标势电磁场的矢势和标势 不稳定的电荷、电流激发的电磁场随时间变化。有一部分电磁场以不稳定的电荷、电流激发的电磁场随时间变化。有一部分电磁场以波的形式脱离场源向外运动，这被称为电磁波的辐射。例如：无线电波波的形式脱离场源向外运动，这被称为电磁波的辐射。例如：无线电波是由发射天线上的高频交变电流

2、辐射出来的。是由发射天线上的高频交变电流辐射出来的。 本章主要研究给定高频交变电流产生的电磁辐射，并简要讨论电磁本章主要研究给定高频交变电流产生的电磁辐射，并简要讨论电磁场的动量和动量流密度张量。场的动量和动量流密度张量。 严格来说，天线上的电流和它激发的电磁场是相互作严格来说，天线上的电流和它激发的电磁场是相互作用的。天线电流激发电磁场，而电磁场又反过来作用到天用的。天线电流激发电磁场，而电磁场又反过来作用到天线电流上，影响着天线电流的分布。所以辐射问题本质上线电流上，影响着天线电流的分布。所以辐射问题本质上也是一个边值问题。也是一个边值问题。引言引言一、电磁辐射一、电磁辐射 与静电场引入电

3、势、静磁场引入标势相与静电场引入电势、静磁场引入标势相似，为了便于求解普适的场方程，在变化似，为了便于求解普适的场方程，在变化情况下仍然可以引入势的概念。但是，由情况下仍然可以引入势的概念。但是，由于电场的旋度不为零，这里引入的矢势、于电场的旋度不为零，这里引入的矢势、标势与静电场情况有很大的不同。标势与静电场情况有很大的不同。二、矢势和标势的引入二、矢势和标势的引入一、用势描述电磁场一、用势描述电磁场 本节使用最普遍的电磁场方程引入矢势然后讨论本节使用最普遍的电磁场方程引入矢势然后讨论电磁辐射问题（仅讨论均匀介质）。电磁辐射问题（仅讨论均匀介质）。 由于由于 ，与静电场相同，可以引入矢量，与

4、静电场相同，可以引入矢量势函数（矢势）势函数（矢势） ，使得，使得0 BAAB（1 1）矢势的引入）矢势的引入5.1 5.1 电磁场的矢势和标势电磁场的矢势和标势 在变化电磁场情况，在变化电磁场情况， ，不能象静，不能象静电场那样直接引入标量势函数。电场那样直接引入标量势函数。0tBE（2 2）标势的引入）标势的引入ABtAAtE0)(tAEtAE引入标量势函数引入标量势函数tAE 同静电场相同，这里引入的失势和标势也不唯同静电场相同，这里引入的失势和标势也不唯一，但是矢势和标势在变化电磁场情况相互间有一，但是矢势和标势在变化电磁场情况相互间有一定的关系。一定的关系。1矢势和标势的不唯一性矢势

5、和标势的不唯一性l 规范：给定一组规范：给定一组 称为一种规范；称为一种规范；),(A2规范变换规范变换l 两种规范间变换关系两种规范间变换关系：AAtl 规范变换：不同规范之间满足的变换关系称为规范变换：不同规范之间满足的变换关系称为 规范变换。规范变换。 二、规范变换和规范不变性二、规范变换和规范不变性证明：由于证明：由于 和和 ， 和和 不能改变电场和磁场不能改变电场和磁场强度，所以强度，所以AABAAA AAtAtttAtAE)(At t l ：在规范变换下物理规律满足的动力学方程保在规范变换下物理规律满足的动力学方程保持不变的性质（在微观世界是一条物理学基本原理）。持不变的性质（在微

6、观世界是一条物理学基本原理）。l 规范场规范场：具有规范不变性的场称为规范场。具有规范不变性的场称为规范场。 要使势函数减少任意性，必须给出要使势函数减少任意性，必须给出 ，它的，它的值被称为规范的条件。值被称为规范的条件。 值选择是任意的，但若值选择是任意的，但若选择的好，可使电磁场的解简单，基本方程对称选择的好，可使电磁场的解简单，基本方程对称或物理意义明显。或物理意义明显。AAl 规范条件：规范条件：0 A3 3两种规范两种规范 在库仑规范下，在库仑规范下， 为横场，为横场， 纵场。因此，电纵场。因此，电场的横场部分完全由场的横场部分完全由 决定，而纵场部分完全由决定，而纵场部分完全由决

7、定。在这种情况下，决定。在这种情况下， 由电荷、电流的瞬时分布由电荷、电流的瞬时分布求解，与静电场的电势类似，因此称为库仑场。求解，与静电场的电势类似，因此称为库仑场。AA02库仑规范下库仑规范下 满足的方程满足的方程：l 洛仑兹规范洛仑兹规范规范条件：规范条件：012tcA后面将看到洛仑兹规范下，后面将看到洛仑兹规范下， 所满足的方程具所满足的方程具有高度的对称性，这种对称性将满足相对论的协有高度的对称性，这种对称性将满足相对论的协变性，有很重要的理论意义。变性，有很重要的理论意义。,A洛仑兹规范下洛仑兹规范下 满足的方程满足的方程：012222tc0)1()1(22222tctcA0AA0

8、2证明：证明：012222tc22222111tctcAtcA证明：证明：证明2202222011()()AAAJtctcAt 证明：将证明：将 ， 代入麦克代入麦克斯韦方程：斯韦方程：并利用：并利用： 得到达朗贝尔得到达朗贝尔方程。方程。ABtAE0000,EJtEBAAA2)()(1 真空中的真空中的达朗贝尔方程达朗贝尔方程三、达朗贝尔方程三、达朗贝尔方程2202222011AAJtctc 可见可见 满足泊松方程，与静电情况类似，即空间某处的满足泊松方程，与静电情况类似，即空间某处的 在时刻在时刻 的值由电荷在时刻的值由电荷在时刻 的分布给出，不能直观的反的分布给出，不能直观的反映电磁相互

9、作用传播是非超距的特性。映电磁相互作用传播是非超距的特性。tt2 库仑规范下库仑规范下的达朗贝尔方程的达朗贝尔方程3洛仑兹规范下的达朗贝尔方程洛仑兹规范下的达朗贝尔方程222202222011AAJctct两种规范两种规范洛仑兹规范下的达朗贝尔方程是两个波动方程，因此由它洛仑兹规范下的达朗贝尔方程是两个波动方程，因此由它们求出的们求出的 及及 均为波动形式，反映了电均为波动形式，反映了电磁场的波动性。磁场的波动性。),(A),(BEl 反映了电磁场的波动性反映了电磁场的波动性l 两个方程具有高度的对称性且相互独立两个方程具有高度的对称性且相互独立求出一个解，另一个解就迎任而解。在下一节我们将看

10、到，求出一个解，另一个解就迎任而解。在下一节我们将看到，洛仑兹条件下达朗贝尔方程的解直接反映出电磁相互作用需洛仑兹条件下达朗贝尔方程的解直接反映出电磁相互作用需要时间。基于这些考虑，在研究辐射问题时，一般都是采用要时间。基于这些考虑，在研究辐射问题时，一般都是采用洛仑兹条件下的达朗贝尔方程。洛仑兹条件下的达朗贝尔方程。两种规范两种规范第二节第二节推迟势推迟势),( tx),(tx5.25.2推迟势推迟势一、标势和矢势的达朗伯方程的解)()(),(xtQtx),(tr,0r222211()0rrrrct1. 1. 点电荷在空间激发的标势点电荷在空间激发的标势22222011( ) ( )()Q

11、trrrrrct rtrutr),(),(2222210uurctrcrtf)( rcrtg)( )()(),(crtgcrtftrurcrtgrcrtftr)()(),()0( r与点电荷电势类比有：与点电荷电势类比有：rcrtQtr04)(),(0)(crtg若点电荷不在原点而在空间若点电荷不在原点而在空间 点：点：xrcrtxQtx04),(),(可以证明上述解的形式满足（可以证明上述解的形式满足（）式式点电荷在空间激发的标势点电荷在空间激发的标势2.2.连续电荷分布在空间产生的电势连续电荷分布在空间产生的电势0( ,)( , )4Vrx tcx tdVr 3. 矢势矢势 的解的解AVd

12、rcrtxJtxAV),(4),(0 由于由于 满足的方程形式上与满足的方程形式上与 满足的方程一样，满足的方程一样，类比得到类比得到 的解：的解：AA证：令证：令( , , )rttt t x xc AVdrtxJV),(40011( , )( , )4J x tJ x tdVrr (, )1(, )1(, )(, )J x tJ x tJ x tJ x ttrrtctct rr (, )(, )(, )1(, )(, )tctcJ x tJ x tJ x tttJ x tJ x trct ),(),(),(txJtxJtxJct二、证明二、证明、满足落仑兹条件满足落仑兹条件 AVdtxJr

13、ct),(140VdrtxJtxJr1),(),(101( , )4t cJ x tdVr ( , )J x tdVr ( , )0SJ x tdSr220111(,)4Vxttd Vtrttcc 01(,)4Vxtd VrttcA2101( , )( , )04t cx tJ x tdVrt 0电荷守恒定律电荷守恒定律A证明证明 、 满足洛仑兹条件满足洛仑兹条件A1 势函数在空间势函数在空间 点，点， 时刻的值依赖于时刻的值依赖于 时刻时刻的电荷、电流分布，即空间势的建立与场源相比的电荷、电流分布，即空间势的建立与场源相比推迟了推迟了 。具有这样特性的势称为推迟势。具有这样特性的势称为推迟势

14、。xtcrtcr 空间点空间点 ， 时刻的电磁场由时刻的电磁场由 时刻的电时刻的电荷、电流分布决定。也就是说电荷、电流产生的荷、电流分布决定。也就是说电荷、电流产生的物理作用在经历了时间物理作用在经历了时间 后才到达观察点，后才到达观察点，即场的建立需要时间，而相互作用的传播速度在即场的建立需要时间，而相互作用的传播速度在真空中为真空中为C C。 crt xtcrt 2三、推迟势及其物理意义三、推迟势及其物理意义第三节第三节电偶极辐射电偶极辐射l 5.3 5.3 电偶极辐射电偶极辐射l 将此式代入推迟势的公式后得到（将此式代入推迟势的公式后得到（ ）ck00( ,/ )( )( , )44ik

15、ritJ x tr cJ x eA x tdVdV err令令 ，则，则0( )( )4ikrJ x eA xdVr( , )( )itA x tA x e上式表示一种时谐波，这是计算辐射场矢势的一上式表示一种时谐波，这是计算辐射场矢势的一般公式。与稳恒电流磁场相比这里般公式。与稳恒电流磁场相比这里 附加了一个附加了一个因子因子 ，称为推迟相因子。，称为推迟相因子。Aikre( , )( )( , )( )i ti tJ x tJ x ex tx e一、计算辐射场的一般公式一、计算辐射场的一般公式0( )( , )4ikri tx ex tdV er000EBJt )()(2xAicx根据洛仑

16、兹条件根据洛仑兹条件可以得到矢势与可以得到矢势与标势的关系：标势的关系：因此只要求因此只要求出矢势即可出矢势即可得到标势得到标势此情况下电磁场也是时谐电磁场：此情况下电磁场也是时谐电磁场：tiexBtxAtxB)(),(),(),(),(txBkictxE（在（在 的区域成立）的区域成立）0J( , )( )i tx tx e1 在小电荷、电流区域的级数展开在小电荷、电流区域的级数展开Axlr rRRxxr110 x.1.1.11123RxnRRxRRxRRr其中其中 为为 方向单位矢量。因为方向单位矢量。因为 ，所以仅，所以仅取前两项而舍去高次项得到。取前两项而舍去高次项得到。nRRx二、矢

17、势的展开二、矢势的展开xnRRxnRRxnRxnRRr)1 ()/11(2VdxnRexJxAxnRik)(0)(4)(0( )( )4ikrJ x eA xdVr2 2求解求解 的公式的公式)(xA2 n x 因为因为 ，所以分母中的，所以分母中的 可以舍可以舍去。但是要注意，相因子中的去。但是要注意，相因子中的 不能轻易舍去。不能轻易舍去。Rxn x xnxn原因：原因：相对相对不一定是小量。不一定是小量。2.12xxex利用利用得到：得到：VdxnikxJRexAikR.)1)(4)(0 xl22n xkn x 当当时时( , )( )( , )( )i ti tJ x tJ x ex

18、tx e 条件下辐射场的近似公式条件下辐射场的近似公式近似公式可以仅取积分中的第一项，有：近似公式可以仅取积分中的第一项，有：VdxJRexAikR)(4)(0偶极辐射公式偶极辐射公式偶极辐射偶极辐射在满足在满足 ， 的前提下，按的前提下，按 与与3 3 与与 的关系的关系RRl l的关系还可分为三种情况：的关系还可分为三种情况：R（1 1） （近区）（近区）R2,1ikRRek RtTc传播时间传播时间这一区域内变化电磁场与静场性质类似。这一区域内变化电磁场与静场性质类似。（3 3） （远区，即辐射区）（远区，即辐射区）R电磁波在脱离了场源后的传播区域，也是电磁波在脱离了场源后的传播区域，也

19、是本课程主要讨论的内容。本课程主要讨论的内容。R（2 2） （感应区）（感应区）过度区，电磁场的行为很复杂，一般不详过度区，电磁场的行为很复杂，一般不详细研究这一区域。细研究这一区域。偶极辐射偶极辐射0( , )4ikReA x tpR1 1用用 表示偶极辐射矢势表示偶极辐射矢势p0( )()4ikReA xJ x dVRVdtxxp),( , )pJx t dV 2 2偶极辐射的电场强度和磁感应强度偶极辐射的电场强度和磁感应强度.00()()44ikReikReikReBApppRRR 031111()()ikReRnikRikRikRikRikReeeikeik eRRRRRRR k in

20、kk用到用到 三、偶极辐射三、偶极辐射Rk1R11RnRikeReikRikR考虑远区条件考虑远区条件 ， ，即，即 ， 所以有：所以有：0( , )4ikRikeB x tnpR( , )pJ x t dV.pip ./pip在在 条件条件下偶极辐射的磁感下偶极辐射的磁感应强度为：应强度为：Rl30( , )4ikReB x tpnc R/ ,kc0 01/c 偶极辐射偶极辐射30201( , )sin41( , )sin4ikRikRB x tpeec RE x tpeec R选球坐标，让选球坐标，让 沿沿 轴，则：轴，则：pz),(),(txBkictxE20( , )()4ikReE

21、x tp nnc R利用利用偶极辐射偶极辐射（1）电场沿经线振荡，磁场沿纬线振荡，传播方向、电）电场沿经线振荡，磁场沿纬线振荡，传播方向、电场方向、磁场方向相互正交构成右手螺旋关系；场方向、磁场方向相互正交构成右手螺旋关系；（2）电场、磁场正比于）电场、磁场正比于 ，因此它是空间传播的球，因此它是空间传播的球面波，且为横电磁波（面波，且为横电磁波（TEM波），在波），在 时可以近时可以近似为平面波；似为平面波； （3）注意如果）注意如果 （ ）不能被满足，可）不能被满足，可以证明电场不再与传播方向垂直，即电力线不再闭合，但以证明电场不再与传播方向垂直，即电力线不再闭合，但是磁力线仍闭合。这时传

22、播的是横磁波（是磁力线仍闭合。这时传播的是横磁波（TM波）波）R/1RRR11讨论讨论22403012pPSR dc 平均功率：平均功率：与电磁波的频率与电磁波的频率4次方成正比。次方成正比。*2023201Re()sin232pSEHnc R 平均能流密度矢量：平均能流密度矢量：角分布角分布四、辐射能流、角分布和辐射功率四、辐射能流、角分布和辐射功率电磁场的动量电磁场的动量第七节第七节电磁场的动量电磁场的动量1.1.带电物体受到的电磁力带电物体受到的电磁力BJEf洛仑兹力密度洛仑兹力密度dVBJdVEF带电物体受到力带电物体受到力md Gfd Vd t用用 代表带电物体的动代表带电物体的动量

23、，根据牛顿第二定律有量，根据牛顿第二定律有mG电磁场的动量电磁场的动量 电磁场与带电物质之间存在相互作用，带电物质在受到电磁场与带电物质之间存在相互作用，带电物质在受到电磁场作用时动量会发生变化。由于动量守恒，电磁场必然电磁场作用时动量会发生变化。由于动量守恒，电磁场必然也具有动量。也具有动量。一、电磁场的动量密度和动量流密度矢量一、电磁场的动量密度和动量流密度矢量2.2.电磁场的动量守恒定律电磁场的动量守恒定律medGd Gdtdt 全空间动量守恒要求全空间动量守恒要求 若对有限区域若对有限区域V，考虑电磁场通过界面发生动量转移，则，考虑电磁场通过界面发生动量转移，则单位时间流入界面的动量等于区域内总动量的变化率。单位时间流入界面的动量等于区域内总动量的变化率。med Gd Gd td t即单位时间流入即单位时间流入V V内的动量内的动量电磁场动量电磁场动量3.3. 用场量表示洛仑兹力公式用场量