一阶微分方程的解的存在定理

1、第三章一阶微分方程的解的存在定理研究对象初值问题(Cauchy Problem)f (x, y)(3.1)dxy(x。)= yo(3.2)1根本概念1) 利普希兹(Lipschitz) 条件函数f (x, y)称为在闭矩形区域D : x-X。兰a, y-y°兰b上关于y满足利普希兹条件，如果存在常数 L . 0使得不等式f (x,yj - f(x,y2)| 兰 L 浙y2对所有(x, yj,(x, y2) D都成立。其中L称为利普希兹常数。2) 局部利普希兹条件称函数f (x, y)在区域G R2内关于y满足局部利普希兹条件， 如果对区域G内的每 一点，存在以其为中心的完全含于 G内

2、的矩形域D，在D上f (x, y)关于y满足利普希兹 条件。注意：对G内不同的点，矩形域 D大小和常数L可能不同。3) 致利普希兹条件称函数 f (x, y,-)在区域 Gx(x, y, 2)(x,y) G, a /R2R内一致地关于y满足局部利普希兹条件，如果对 G .内的每一点(x, y, )都存在以(x, y,')为中心的球 S G x,使得对任何(x,，), (x, y2,卜S成立不等式f (x,y九)一f(x,y2,九)| 兰 Ly1 -y2其中L是与无关的正数。4) 解的延拓设方程(3.1)右端函数f (x, y)在某一有界区域 G中有意义，y= (x),x a,b是初值问

3、题(3.1) > (3.2)的解，假设y (x)x 3,4也是初值问题的解，且a,b 力, 当X . a,b时，(x)三F(x)，那么称解t (x)是解(x)在区间a,b上的一个延拓。5) 包络和奇解曲线族的包络 是指这样的曲线，它本身并不包含在曲线族中， 但过这条曲线上的每一点, 有曲线族中的一条曲线与其在此点相切。奇解 在有些微分方程中，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线与其在此点相切，这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。1)奇解上每一点都有方程的另一解存在。2)通解中不一定包含方程的所有解，

4、例如奇解。3) 般的曲线族并不一定有包络，如同心圆族，平行线族等都是没有包络的。2根本定理1)存在性与延拓性定理定理3.1 (皮卡(Picard )解的存在唯一性定理)如果函数f(x,y)在闭矩形域D : x Xo| 兰 a, y y°| E b上连续且关于y满足利普希兹条件，那么方程(3.1)存在唯一的连续解 y二(x)，定义在区间xXo < h 上,且满足初始条件 y(x0)=y0，这里 h=min( a,)，M = max f(x, y)。 M(x,y问证明分五个步骤完成。步骤1 求解微分方程的初值问题等价于求解一个积分方程；步骤2 构造一个连续的逐步逼近序列；步骤3 证

5、明此逐步逼近序列一致收敛；步骤4 证明此收敛的极限函数为所求初值问题的解；步骤5 证明唯一性。注意：定理3.1中的条件是解存在唯一的充分条件而非必要条件。定理3.2 (皮亚诺(Peano )解的存在性定理)如果微分方程(3.1)的右端函数f(x, y)在某区域G内连续，任给点(x0,y0)G，那么满足初始条件y(x() =y0的解在含x0的某区间上存在。定理3.3 对于隐式方程F(x,y,y) = 0 ,如果在点(x0,y0,y0)的某一邻域中,a) F (x, y, y )对所有的变元(x, y, y )连续，且存在连续的偏导数；b) F(Xo,y°,yo) =0 ；、干(xo,y

6、°,yo)c) 0。那么方程F(x, y, yj = 0存在唯一的解y = y(x)， x x0|兰h( h为足够小的正数)且满足 条件 y(x°) =y°,y (x°) = y°。定理3.4 如果方程(3.1)右端的函数f (x, y)在有界区域G中连续，且在G内满足局 部利普希兹条件，那么方程(3.1)通过G内任何一点(x0, y0)的解y = (x)可以延拓。直到 点(x, (x)任意接近区域G的边界。以向x增大一方的延拓来说，如果 y= (x)只能延拓 到区间x0乞x : m上，那么当x > m时，(x, (x)趋近于区域G的边界

7、。推论如果G是无界区域，在解的延拓定理的条件下，贝U方程(3.1)的通过点(x0, y0)的解y二(x)可以延拓，以向x增大一方的延拓来说，有下面的两种情况：a) 解y二(x)可以延拓到区间以0,=),b) 解y V:(x)可以延拓到区间x°,m),其中m为有限数，当Xr m时，y = (x)或者无界，或者(x, :(x)趋于区域G的边界。定理3.5 第一比拟定理假设函数f (x, y), F(x, y)都在平面区域 G上连续，且有不等式f(x,y) ： F(x,y),(x,y) G成立，那么方程 业二f (x, y)满足初始条件y(x0)= y。的解(x)和方程 鱼=F (x, y

8、)满dxdx足初始条件y(x。)=y°的解(x)在它们共同存在的区间上，满足不等式：(x) ： (x),当 X X° 时，：(xp (x),当 X ： x0 时。2)解对初值的连续性与可微性定理定理3.6假设函数f (x,y)于区域G内连续且关于y满足局部利普希兹条件,(Xo,y°) G，y =以x,x°,yo)是初值问题二 f (x, y)* dxy(xo) = yo的解，它于区间义，其中a < x0 < b，那么，对任意给定的；.0 ,必存在正数：=、：(；，a,b), 使得当(x° -X。)2 (yo - yo)2 <

9、2时，初值问题dx =灾"的解y= <x,xo，yo)在区间 y(xo) = yoa二x 也有定义，并且<Kx,Xo,yo) «x,Xo,yo)c axb 。定理3.7假设函数f (x,y)于区域G内连续且关于y满足局部利普希兹条件，那么初值问理=f(x y)题dx的解y=：:(x,Xo，y。)作为x,xo,y。的函数在它的存在范围内是连续的。.y(xo) = yo定理3.8对于方程d = f (x,y,为(E,)dx用G人表示区域=匕,y, 2)(x,沪 G, a X<曲假设函数f(x,y,)于区域G ,内连续，且在G ,内关于y 致地满足局部利普希兹条

10、/uAU件，(xo, yo, A) Gx，y = <Kx,Xo，yo,入)是方程E 通过点(Xo,y°)的解，在区间a_x_b有定义，其中axob,那么，对任意给定的； O,必存在正数：二(, a, b), 使得当(X。- Xo)2 (% - yo)2 (入- A)2 乞 F时，方程E,满足条件y(Xo)的解y = ® (x, xo, yo,人)在区间a兰x兰b也有定义，并且“x,Xo, y°,) 一 “x,Xo,yo, °) ： ； , axb。定理3.9假设函数f (x, y, )于区域G .内连续，且在G .内关于y 致地满足局部利普希兹条件

11、，那么方程 E,的解y = ：:(x,x°,yo,，)作为x,xo,y。，的函数在它的存在范围内A是连续的。fdy = f ( x y)定理3.10 假设函数f (x,y)以及 空都在区域G内连续，那么 初值问题dx"的cyWo) = yo解y = (x,x0, y0)作为x, x0, y0的函数在它的存在范围内是连续可微的。3根本计算1)近似计算和误差估计第n次近似解的计算公式：o(x)二 yo 彳X。i®n(x) = yo + f (E 严n(：)dj Xo 兰 X 兰 Xo 十 hxo第n次近似解的误差公式n(x(x) <MLn(n 1)!hn12)求奇解(包络线)的方法a) 自然法找出方程不满足唯一性条件的点集合L，例如l =( x, y)丄=比，再验证它是否是奇解或是否包含有奇解。b) C-判别曲线法结论1通积分作为曲线族的包络线(奇解