2021年数学同步优化指导北师大版选修2练习12归纳与类比活作业

1、活页作业(一)归纳与类比皋感矶固1.有两种花色的正六边形地面砖，按以下列图的规律，拼成假设干个图案，那么第六个图案中有阴影花色的正六边形的个数是()A.26C.32解析：设第 n 个图案有 an个阴影花色的正六边形，那么 ai=6xi0,a2=6X2-1,a3=6X32，故猜想a6=6X6-5=31.答案：B2.观察以下各式：1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,可以得出的一般结论是()A.n+(n+1)+(n+2)+-+(3n-2)=n2B.n+(n+1)+(n+2)+-+(3n-2)=(2n-1)2C.n+(n+1)+(n+2)+(3n1

2、)=n2D.n+(n+1)+(n+2)+-+(3n-1)=(2n-1)2解析：可以发现：第|一个式子的第|一个数是 1，第二个式子的第|一个数是 2故第 n个式子的第 L 个数是 n；第|一个式子中有 1 个数相加，第二个式子中有 3 个数相加故第n 个式子中有 2n-1 个数相加；第|一个式子的结果是 1 的平方，第二个式子的结果是 3 的平方故第 n 个式子应该是 2n1 的平方，故可以得到 n+(n+1)+(n+2)+-+(3n2)=(2n1)2.答案：BD.363.x0，由不等式1=212+”叶箕务3,B.311x+X答案:5 .平面内平行于同一直线的两直线平行，由此类比我们可以得到（

3、）A.空间中平行于同一直线的两直线平行B.空间中平行于同一平面的两直线平行C.空间中平行于同一直线的两平面平行D.空间中平行于同一平面的两平面平行解析：利用类比推理，平面中的直线和空间中的平面类比.答案：D6 .在平面上，假设两个正三角形的边长的比为 1：2，那么它们的面积比为 1：，在空间中，假设两个正四面体的棱长的比为 1：2，那么它们的体积比为答案：1：8na1+an7 .等差数列an的前 n 项和是S=-2，由此可类比得到各项均为正数的等比数列我们可以得出推广结论：x+-a1n+1（nN+），那么 xa 等于（）A.2nB.n2C.3nD.nn解析：再续写一个不等式:33xxx33、，

4、4xxx33x+铲 3+3+3+7/333f=4,由此可得 a=nn.答案：D4.扇形的弧长为 l,半径为 r,类比三角形的面积公式底 X 高S=-，可推知扇形面积公式S扇等于（r22BAC.D.不可类比解析:由扇形的弧长与半径分别类比三角形的底边与高，可得扇形的面积公式.1v3&h1解析：V7=3-V21-S2h23SIh1111-=bn的前 n 项积 Tn=（用 n,bi,bn表示）.解析：由等差数列中的求和类比等比数列中的求积，可知各项均为正数的等比n数列bn的前 n 项积 Tn=(b1bn)2.n答案：(b1bn)22x2号1ba2-x0-a2a2.，上起第 n 行，左起第 n

5、+1 列的数是1212解析：第 1 行第 2 个数为 2=1X2,第 2 行第 3 个数为 6=2X3,第 3 行第 4 个数为 12=3X4,第 4 行第 5 个数为 20=4X5.故归纳出第 n 行第 n+1 个数为 n(n+1)=n2+n.答案：n2+nx2y29 .在椭圆中，有一结论：过椭圆了+京=1(ab0)上不在顶点的任思一点 P 与长轴两b2端点AI,A2连线，那么直线 PA1与 PA2斜率之积为三，类比该结论推理出双曲线的类似性 a质，并加以证明.x2y2.解：过双曲线点=1 上不在顶点的任意一点 P 与实轴两端点 A1,A2连线，那么直线b2PA1与 PA2斜率之积为三.证明

6、如下:a设点 P(x0,yo)，点 A1(a,0),A2(-a,0).y0y0椭圆中：kPA1kPA2=XOaXO+axoy2b1a2-x2a2x2a2ccc3ccc310 .sin230+sin290+sin2150=/,sin25+sin265+sin2125=. 观 祭上述两等式的规律，请你写出一个一般性的命题，并证明.解：一般性的命题为CCC3sin20+sin2(60+sin2(120+0)=2.证明如下：sin20+sin2(60+sin2(120+0)1-cos201-cos120+201-cos240+20=2+2+231=2-21cos20+cos(120+20)+cos(2

7、40+2削31a2,双曲线中：kPA1kPA2=_yx2=21cos20+cos120cos20-sin120sin20+cos(180+60+2()31.3=221cos(60平29cos(60:20)=5.犍力提升11.设ABC 的三边长分别为 a,b,c,AABC 的面积为 S，内切圆半径为 r,那么 r=2S.，类比这个结论可知：四面体 A-BCD 的四个面的面积分别为 S1,S2,S3,S4，内切球半a+b+c径为 R，四面体 A-BCD 的体积为 V，那么 R 等于()V2VABS1+S2+S3+S4S1+S2+S3+S43V4VCDS1+S2+S3+S4S1+S2+S3+S4解析

8、：设四面体的内切球的球心为 O，那么球心 O 到四个面的距离都是 R，所以四面体的体积等于以 O 为顶点，分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和.那么四面体的体积为V 四面体A-BCD=1(S1+&+S3+MR,33V.R=.S1+S2+S3+S4答案：C1113512. 设 n 为 正 整 数 ， f(n)=1+2+3+ ， 计 算 得f(2)=2,f(4)2,f(8)2,f(16)3观察上述结果，可推测一般的结论为.3c4c5,6.n+2解析：由题息 f(21)=2,f(22)2,f(23)2,f(24)-，故一般的结论为 f(2n)2,n+2答案：f(2n)歹x13 .设函数

9、 f(x)=(x0)，观祭：x+2xfl(x)=f(x)=-,xI2一一一xf2(x)=f(fl(x)=3,xf3(x)=f(f2(x)=-,7xIO一一一xf4(x)=f(f3(x)=衍 n,根据以上事实而归纳推理可得：当 nCN+且 n2 时,fn(x)=f(fni(x)=.解析：依题意，先求函数结果的分母中 x 项系数所组成数列的通项公式，由 1,3,7,15，可推知该数列的通项公式为 an=2n,4,O,16，故其通项公式为 bn=2n.所以当 n2 时，fn(x)2n1x+2n=f(fn1(x)=x14. (2021 郑州模拟卷)平面几何里有设直角三角形 ABC 的两直角边分别为 a

10、,b，斜边上的高为 h，那么十七=三，拓展到空间，研究三棱锥的侧棱长与底面上的高之间的关系 abh可以得出的正确结论是：设三棱锥 A-BCD 的三个侧棱两两垂直，其长分别为 a,b,c，面BCD 上的高为 h，那么.解析：如右图所示，设 A 在底面的射影为 O，连接 BO 并延长交 CD 于 E.连接 AE，由 ABACABLAD 得 ABL 面 ACD.111.ABME.设 Ai，在/BE 中，由可得矛+帝庐答案:x2n1x+2n又易证 CD，面 ABE,.CDXAE.111在 AACD 中有 h=,1111.尹尹/h2.田 31111答案：7+.+/=h15. (2021 江西模拟卷f(n

11、)=n2+n+41,nCN+,计算:f(1),f(2),f(3),f(4)，f(10)的值，同时作出归纳推理，并用 n=40 验证猜想是否正确.解：f(1)=12+1+41=43,f(2)=22+2+41=47,f(3)=32+3+41=53,f(4)=42+4+41=f(5)=52+5+41=71,f(6)=62+6+41=83,f(7)=72+7+41=97,f(8)=82+8+41=113,f(9)=92+9+41=131,f(10)=102+10+41=151.,.43,47,53,61,71,83,97,113,131,151 都为质数，归纳猜想：当 nCN+时，f(n)=n2+n+

12、41 的值都为质数.当 n=40 时，f(40)=402+40+41=40X(40+1)+41=41X41, f(40)是合数.由上面归纳推理得到的猜想不正确.，点 P 为斜三棱柱 ABC-A1B1C1的侧棱BBI上一点，PM，BBI交AAI于点 M,PNBBI交CCI于点 N.(1)求证：CCIXMN;(2)在任意DEF 中有余弦定理 DE2=DF2+EF2-2DFEFcosZDFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理， 写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式， 并予以证明.(1)证明：.PMBBI,PNBBI,.BB1,平面 PMN.BBIXMN.又CCI/BBi,.CCiMN.(2)解：在斜三棱柱 ABC-AiBiCi中，有 S2ABBiAi=S2BCCiBi+S2ACCiAi2SBCCiBiSACCiAicosa其中a为平面 CCiBiB 与平面 CCiAiA 所成的二面角.证明如下：,.CCi,平面