高三数学全程复习08第八编立体几何共77页教学案新人教版

1、第八编 立体几何§8.1 空间几何体的结构及其三视图和直观图基础自测1.下列不正确的命题的序号是 .有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的几何体叫棱锥答案 2.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是 .答案 60°3.如果一个几何体的三视图如图所示（单位长度：cm），则此几何体的表面积是 cm2. 答案 (20+4) 4.（2008·宁夏文，14）一个六棱柱的底面是

2、正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的高为，底面周长为3，那么这个球的体积为 .答案 5.已知正三角形ABC的边长为a,那么ABC的直观图ABC的面积为 .答案 a2谢谢您对我们的帮助支持！例1 下列结论不正确的是 （填序号）.各个面都是三角形的几何体是三棱锥以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线答案 解析 错误.如图所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不一定 是棱锥.错误.如下图，

3、若ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥.错误.若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长. 正确.例2 （14分）已知ABC的直观图ABC是边长为a的正三角形，求原三角形ABC的面积.解 建立如图所示的xOy坐标系，ABC的顶点C在y轴上，AB边在x轴上，OC为ABC的 高. 3分把y轴绕原点顺时针旋转45°得y轴，则点C变为点C，且OC=2OC，A、B点即为A、 B点，AB=AB. 6分已知AB=AC=a，在OAC中，由正弦定理得=， 9分所以OC=,所以原三角形ABC的高O

4、C=a， 12分所以SABC=×a×a=2. 14分例3 一个正三棱柱的三视图如图所示，求这个三棱柱的表面积和体积.解 由三视图易知，该正三棱柱的形状如图所示：且AA=BB=CC=4cm,正三角形ABC和正三角形ABC的高为2cm.正三角形ABC的边长为|AB|=4.该三棱柱的表面积为S=3×4×4+2××42sin60°=48+8(cm2).体积为V=S底·|AA|=×42sin60°×4=16(cm3).故这个三棱柱的表面积为（48+8）cm2,体积为16cm3.例4 棱长为2的正

5、四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图所示， 求图中三角形（正四面体的截面）的面积.解 如图所示，ABE为题中的三角形，由已知得AB=2，BE=2×=,BF=BE=,AF=,ABE的面积为S=×BE×AF=××=.所求的三角形的面积为.1.如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下四个命题中为真命题的是 （填序号）.等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上答案 2.一个平面四边形的斜二

6、测画法的直观图是一个边长为a的正方形,则原平面四边形的面积等于 .答案 2a23.已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等 腰三角形，左视图（或称侧视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形.（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S.解 （1）由该几何体的俯视图、正视图、左视图可知，该几何体是四棱锥，且四棱锥的底面ABCD是边长为6和8的矩形，高VO=4，O点是AC与BD的交点.该几何体的体积V=×8×6×4=64.（2）如图所示，侧面VAB中，VEAB，则VE=5SVAB=×AB×VE

7、=×8×5=20侧面VBC中，VFBC，则VF=4.SVBC=×BC×VF=×6×4=12该几何体的侧面积S=2（SVAB+SVBC）=40+24.4.（2007·全国文，15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2 cm的球面上.如果正四棱柱的底面边长为1 cm，那么该棱柱的表面积为 cm2.答案 2+4一、填空题1.利用斜二测画法可以得到：三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形，正方形的直观图是正方形，菱形的直观图是菱形，以上正确结论的序号是 .答案 2.如图所示，甲、乙、丙是三个几何体图形的三视图，甲、乙

8、、丙对应的标号是 .长方体；圆锥；三棱锥；圆柱.答案 3.下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 .答案 4.用若干个大小相同，棱长为1的正方体摆成一个立体模型，其三视图如下：根据三视图回答此立体模型的体积为 .答案 55.棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E、F分别是棱AA1、DD1的中点，则直线EF被球O截得的线段长为 .答案 6.（2008·湖北理）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为，则球的体积为 .答案 7.用小立方块搭一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图所示，这样的几何体至少要 个小立方块.最多只能用 个小立方块.

9、答案 9 148.如图所示，E、F分别是正方体的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的正投影可能是 .（把可能的图的序号都填上） 答案 二、解答题9.正四棱台AC1的高是17 cm，两底面的边长分别是4 cm和16 cm，求这个棱台的侧棱长和斜高.解 如图所示，设棱台的两底面的中心分别是O1、O，B1C1和BC的中点分别是E1和E，连接O1O、E1E、O1B1、OB、O1E1、OE，则四边形OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形.A1B1=4 cm，AB=16 cm，O1E1=2 cm，OE=8 cm，O1B1=2 cm，OB=8 cm，B1B2=O1O2+

10、（OB-O1B1)2=361 cm2，E1E2=O1O2+（OE-O1E1)2=325 cm2，B1B=19 cm，E1E=5cm.答 这个棱台的侧棱长为19 cm，斜高为5cm.10.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392 cm2,母线与轴的夹角是45°，求这个圆台的高、母线长和两底面半径.解 圆台的轴截面如图所示，设圆台上下底面半径分别为x cm,3x cm.延长AA1交OO1的延长线于S，在RtSOA中，ASO=45°, 则SAO=45°，SO=AO=3x，OO1=2x，又S轴截面=（6x+2x）·2x=392，x=7.故

11、圆台的高OO1=14 (cm)，母线长l=O1O=14 (cm)，两底面半径分别为7 cm,21 cm.11.正四棱锥的高为，侧棱长为，求侧面上斜高（棱锥侧面三角形的高）为多少？解 如图所示，正棱锥S-ABCD中高OS=，侧棱SA=SB=SC=SD=，在RtSOA中，OA=2，AC=4.AB=BC=CD=DA=2.作OEAB于E，则E为AB中点.连接SE，则SE即为斜高，则SOOE.在RtSOE中，OE=BC=，SO=，SE=，即侧面上的斜高为.12. 如图所示的几何体中，四边形AA1B1B是边长为3的正方形，CC1=2，CC1AA1，这个几何体是棱柱吗？若是，指出是几棱柱.若不是棱柱，请你试

12、用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征，在立体图中画出截面.解 这个几何体不是棱柱；在四边形ABB1A1中，在AA1上取点E，使AE=2；在BB1上取F使BF=2；连接C1E，EF，C1F，则过C1EF的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABCEFC1，其棱长为2；截去的部分是一个四棱锥C1EA1B1F.§8.2 空间几何体的表面积与体积基础自测1.（2008·山东）如图是一个几何体的三视图,根据图中数据,可得该几何体的表面积是 .答案 122.如图所示，在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是A1B1上一点，且P

13、B1=A1B1，则多面体P-BCC1B1的体积为 .答案 3.如图所示，一个空间几何体的正视图、左视图是周长为4，一个内角为60°的菱形，俯视图是圆及其圆心，那么这个几何体的表面积为 .答案 4.已知正方体外接球的体积为,那么正方体的棱长等于 .答案 5.（2008·福建，15）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 .答案 96.三棱锥SABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB=BC=CA=2，则三棱锥SABC的表面积是 .答案 3+例1 如图所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=a，BC=b，BB1=

14、c，并且abc0.求沿着长方体的表面自A到C1 的最短线路的长.解 将长方体相邻两个面展开有下列三种可能，如图所示.三个图形甲、乙、丙中AC1的长分别为：=，=，=，abc0,abacbc0. 故最短线路的长为.例2 如图所示,半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一几何体,求该几何体的表面积(其中BAC=30°)及其体积.解 如图所示,过C作CO1AB于O1,在半圆中可得BCA=90°,BAC=30°,AB=2R,AC=R,BC=R,CO1=R,S球=4R2,=×R×R=R2,=×R×R=R2,S几

15、何体表=S球+=R2+R2=R2,旋转所得到的几何体的表面积为R2.又V球=R3,=·AO1·CO12=R2·AO1=BO1·CO12=BO1·R2V几何体=V球-（+）=R3-R3=R3.例3 如图所示，长方体ABCDABCD中，用截面截下一个棱锥CADD，求棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比.解 已知长方体可以看成直四棱柱ADDABCCB.设它的底面ADDA面积为S，高为h，则它的体积为V=Sh.而棱锥CADD的底面面积为S，高是h,因此，棱锥CADD的体积VCADD=×Sh=Sh.余下的体积是Sh-Sh=Sh.所以棱锥CAD

16、D的体积与剩余部分的体积之比为15.例4 （14分）如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，DAB=60°，E为AB的中点，将ADE与BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合，求形成的三棱锥的外接球的体积. 解 由已知条件知，平面图形中AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.折叠后得到一个正四面体.2分方法一 作AF平面DEC，垂足为F，F即为DEC的中心.取EC的中点G，连接DG、AG，过球心O作OH平面AEC.则垂足H为AEC的中心.4分外接球半径可利用OHAGFA求得.AG=，AF=，6分在AFG和AHO中，根据三角形相似可知，AH=.OA=.10分外接球体

17、积为×OA3=··=.14分方法二 如图所示，把正四面体放在正方体中.显然，正四面体的外接球就是正方体的外接球.6分正四面体的棱长为1，正方体的棱长为，外接球直径2R=·，10分R=，体积为·=.12分该三棱锥外接球的体积为.14分1.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面为直角三角形，ACB=90°，AC=6，BC=CC1=.P是BC1上一动点，则CP+PA1的最小值是 .答案 52.如图所示，扇形的中心角为90°，其所在圆的半径为R，弦AB将扇形分成两个部分，这两部分各以AO为轴旋转一周，所得旋转体的体积V1和

18、V2之比为 .答案 113.如图所示，三棱锥ABCD一条侧棱AD=8 cm，底面一边BC=18 cm，其余四条棱的棱长都是17 cm，求三棱锥ABCD的体积.解 取BC中点M，连接AM、DM，取AD的中点N，连接MNAC=AB=CD=BD，BCAM，BCDM，又AMDM=M，BC平面ADM，BC=18，AC=AB=DB=DC=17.AM=DM=4，NMAD，MN=8.SADM=·MN·AD=·8·8=32.VABCD=VBADM+VCADM=×SADM×（BM+CM）=×32×18=192（cm3）.4.如图所示，

19、已知正四棱锥SABCD中，底面边长为a,侧棱长为a.（1）求它的外接球的体积；（2）求它的内切球的表面积.解 （1）设外接球的半径为R，球心为O，则OA=OC=OS，所以O为SAC的外心，即SAC的外接圆半径就是球的半径.AB=BC=a，AC=a.SA=SC=AC=a，SAC为正三角形.由正弦定理得2R=，因此，R=a，V球=R3=a3.（2）设内切球半径为r，作SE底面ABCD于E，作SFBC于F，连接EF，则有SF=.SSBC=BC·SF=a×a=a2.S棱锥全=4SSBC+S底=（+1）a2.又SE=，V棱锥=S底h=a2×a=.r=,S球=4r2=a2.一

20、、填空题1. 如图所示，E、F分别是边长为1的正方形ABCD边BC、CD的中点，沿线AF，AE，EF折起来，则所围成的三棱锥的体积为 .答案 2.长方体的过一个顶点的三条棱长的比是123，对角线长为2，则这个长方体的体积是 .答案 483.已知三棱锥SABC的各顶点都在一个半径为r的球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，AC=r，则球的体积与三棱锥体积的比值是 .答案 44.（2007·辽宁文，15）若一个底面边长为，侧棱长为的正六棱柱的所有顶点都在一个球的面上，则此球的体积为 .答案 45.已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是 .答案 246.

21、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 .答案 7.（2008·四川理，15）已知正四棱柱的对角线的长为，且对角线与底面所成角的余弦值为，则该正四棱柱的体积等于 .答案 28.（2008·上海春招）已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图所示，则该凸多面体的体积V= .答案 1+二、解答题9.一个正三棱台的上、下底面边长分别是3 cm和6 cm,高是 cm,（1）求三棱台的斜高；（2）求三棱台的侧面积和表面积.解 （1）设O1、O分别为正三棱台ABCA1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如

22、图所示，则O1O=，过O1作O1D1B1C1，ODBC，则D1D为三棱台的斜高；过D1作D1EAD于E，则D1E=O1O=，因O1D1=×3=,OD=×6=,则DE=OD-O1D1=-=.在RtD1DE中,D1D=.(2)设C、C分别为上、下底的周长，h为斜高，S侧=（C+C）h= (3×3+3×6)×=(cm2),S表=S侧+S上+S下=+×32+×62= (cm2).故三棱台斜高为 cm,侧面积为 cm2，表面积为 cm2.10.如图所示，正ABC的边长为4，D、E、F分别为各边中点，M、N、P分别为BE、DE、EF的中

23、点，将ABC沿DE、EF、DF折成了三棱锥以后.（1）MNP等于多少度？（2）擦去线段EM、EN、EP后剩下的几何体是什么？其侧面积为多少？解 （1）由题意，折成了三棱锥以后，如图所示，MNP为正三角形，故MNP=DAF=60°.（2）擦去线段EM、EN、EP后，所得几何体为棱台，其侧面积为S侧=SEADF侧-SEMNP侧=3××22-3××12=.11.如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=1，BB1=2，E是棱CC1上的点，且CE=CC1.（1）求三棱锥CBED的体积；（2）求证：A1C平面BDE.（1）解 CE=CC1

24、=，VCBDE=VEBCD=SBCD·CE=××1×1×=.(2)证明 连接AC、B1C. AB=BC，BDAC.A1A底面ABCD,BDA1A.A1AAC=A，BD平面A1AC.BDA1C.tanBB1C=,tanCBE=,BB1C=CBE.BB1C+BCB1=90°,CBE+BCB1=90°,BEB1C.BEA1B1，A1B1B1C=B1，BE平面A1B1C，BEA1C.BDBE=B，BE平面BDE，BD平面BDE，A1C平面BDE.12.三棱锥SABC中，一条棱长为a,其余棱长均为1，求a为何值时VSABC最大，并求最

25、大值.解 方法一 如图所示，设SC=a，其余棱长均为1，取AB的中点H，连接HS、HC，则ABHC，ABHS，AB平面SHC.在面SHC中，过S作SOHC，则SO平面ABC.在SAB中，SA=AB=BS=1，SH=，设SHO=，则SO=SHsin=sin，VSABC=SABC·SO=××12×sin=sin.当且仅当sin=1，即=90°时，三棱锥的体积最大.a=SH=×=，Vmax=.a为时，三棱锥的体积最大为.方法二 取SC的中点D，可通过VSABC=SABD·SC，转化为关于a的目标函数的最大值问题，利用基本不等式或配

26、方法解决.§8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系基础自测1.给出下列四个命题：垂直于同一直线的两条直线互相平行；垂直于同一平面的两个平面互相平行；若直线l1、l2与同一平面所成的角相等，则l1,l2互相平行；若直线l1、l2是异面直线，则与l1、l2都相交的两条直线是异面直线.其中假命题的个数是 .答案 42.对于平面和直线l，内至少有一条直线与直线l （用“垂直”，“平行”或“异面”填空）.答案 垂直3.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面把空间分成 部分.答案 74.（2007·广东理，12）如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定

27、的直线共有 条.这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)= ;f(n)= .（答案用数字或n的解析式表示） 答案 8 n(n-2)5.如图所示，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G、H、I、J分别为AF、AD、BE、DE的中点，将ABC沿DE、EF、DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为 .答案 60°例1 如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AEEB=CFFB=21，CGGD= 31，过E、F、G的平面交AD于H，连接EH.（1）求AHHD；（2）求证：EH、FG、BD三线共点. (1)解 =2，EFAC.EF平面ACD

28、.而EF平面EFGH，且平面EFGH平面ACD=GH，EFGH.而EFAC，ACGH.=3,即AHHD=31.（2）证明 EFGH,且=，=，EFGH，四边形EFGH为梯形.令EHFG=P，则PEH，而EH平面ABD，PFG，FG平面BCD，平面ABD平面BCD=BD，PBD.EH、FG、BD三线共点.例2 如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是A1B1，B1C1的中点.问：（1）AM和CN是否是异面直线？说明理由；（2）D1B和CC1是否是异面直线？说明理由.解 （1）不是异面直线.理由如下：M、N分别是A1B1、B1C1的中点.MNA1C1，又A1A D1D，而D1D C

29、1C，A1A C1C，四边形A1ACC1为平行四边形.A1C1AC，得到MNAC，A、M、N、C在同一个平面内，故AM和CN不是异面直线.（2）是异面直线，证明如下：假设D1B与CC1在同一个平面D1CC1内，则B平面CC1D1，C平面CC1D1.BC平面CC1D1，这与正方体ABCDA1B1C1D1中BC面CC1D1相矛盾.假设不成立，故D1B与CC1是异面直线.例3 （16分）如图所示，在四棱锥PABCD中，底面是边长为2的菱形，DAB=60°，对角线AC与BD交于点O，PO平面ABCD，PB与平面ABCD所成角为60°.（1）求四棱锥的体积；（2）若E是PB的中点，求

30、异面直线DE与PA所成角的余弦值.解 （1）在四棱锥PABCD中，PO平面ABCD，PBO是PB与平面ABCD所成的角，即PBO=60°，2分在RtPOB中，BO=AB·sin30°=1，又POOB，PO=BO·tan60°=,底面菱形的面积S=2××2×2×=2.四棱锥PABCD的体积VPABCD=×2×=2.8分（2）取AB的中点F，连接EF，DF，E为PB中点，EFPA，DEF为异面直线DE与PA所成角（或其补角）.10分在RtAOB中，AO=AB·cos30°

31、;=OP，在RtPOA中，PA=6，EF=.12分在正三角形ABD和正三角形PDB中，DF=DE=，由余弦定理得cosDEF= 14分=.所以异面直线DE与PA所成角的余弦值为.16分1.如图，E、F、G、H分别是空间四边形AB、BC、CD、DA上的点，且EH与FG相交于点O.求证：B、D、O三点共线.证明 EAB，HAD，E平面ABD，H平面ABD.EH平面ABD.EHFG=O，O平面ABD.同理可证O平面BCD，O平面ABD平面BCD，即OBD，所以B、D、O三点共线.2.在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是CD的中点，连接AE并延长与BC的延长线交于点F，连接BE并延长交AD的延长线

32、于点G，连接FG.求证：直线FG平面ABCD且直线FG直线A1B1.证明 由已知得E是CD的中点，在正方体中，由于A平面ABCD，E平面ABCD，所以AE平面ABCD.又AEBC=F，从而F平面ABCD.同理G平面ABCD，所以FG平面ABCD.因为EC AB，故在RtFBA中，CF=BC，同理DG=AD.又在正方形ABCD中，BCAD，所以CFDG，所以四边形CFGD是平行四边形，所以FGCD.又CDAB，ABA1B1，所以直线FG直线A1B1.3.如图所示，等腰直角三角形ABC中，A=90°，BC=，DAAC，DAAB，若DA=1，且E为DA的中点.求异面直线BE与CD所成角的余

33、弦值.解 取AC的中点F，连接EF，BF，在ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，EFCD，BEF即为异面直线BE与CD所成的角或其补角.在RtEAB中，AB=AC=1，AE=AD=，BE=， 在RtEAF中，AF=AC=，AE=，EF=，在RtBAF中，AB=1，AF=，BF=，在等腰三角形EBF中，cosFEB=，异面直线BE与CD所成角的余弦值为.一、填空题1.若直线a与b是异面直线，直线b与c是异面直线，则直线a与c的位置关系是 .答案 平行、相交或异面2.给出下列命题：若平面内的直线a与平面内的直线b为异面直线，直线c是与的交线，那么直线c至多与a、b中的一条相交；若直线a与b为异

34、面直线，直线b与c平行，则直线a与c异面；一定存在平面和异面直线a、b同时平行.其中正确命题的序号是 .答案 3.已知a，b是异面直线，直线c直线a,则c与b的位置关系 .一定是异面直线一定是相交直线不可能是平行直线不可能是相交直线答案 4.若P是两条异面直线l、m外的任意一点，则说法错误的有 （填序号）.过点P有且仅有一条直线与l、m都平行过点P有且仅有一条直线与l、m都垂直过点P有且仅有一条直线与l、m都相交过点P有且仅有一条直线与l、m都异面答案 5.（2008·辽宁文）在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1、EF、

35、CD都相交的直线有 条.答案 无数6.正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为 .答案 7.如图所示，在三棱锥CABD中，E、F分别是AC和BD的中点，若CD=2AB=4，EFAB，则EF与CD所成的角是 .答案 30°8.已知a、b为不垂直的异面直线,是一个平面，则a、b在上的射影可能是两条平行直线；两条互相垂直的直线；同一条直线；一条直线及其外一点.则在上面的结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）.答案 二、解答题9.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点.求证：（1）E，C，

36、D1，F四点共面；（2）CE，D1F，DA三线共点.证明 （1）如图所示，连接CD1，EF，A1B，E、F分别是AB和AA1的中点，EFA1B且EF=A1B，又A1D1 BC,四边形A1BCD1是平行四边形，A1BCD1，EFCD1，EF与CD1确定一个平面，E，F，C，D1，即E，C，D1，F四点共面.（2）由（1）知EFCD1，且EF=CD1，四边形CD1FE是梯形，CE与D1F必相交，设交点为P，则PCE平面ABCD，且PD1F平面A1ADD1，P平面ABCD且P平面A1ADD1.又平面ABCD平面A1ADD1=AD，PAD，CE，D1F，DA三线共点.10.定线段AB所在的直线与定平面

37、相交，P为直线AB外的一点，且P不在内，若直线AP、BP与分别交于C、D点，求证：不论P在什么位置，直线CD必过一定点.证明 设定线段AB所在直线为l,与平面交于O点，即l=O.由题意可知，AP=C，BP=D，C，D.又APBP=P,AP、BP可确定一平面且C，D.CD=.A，B,l,O.O，即OCD.不论P在什么位置，直线CD必过一定点.11.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为CC1、AA1的中点，画出平面BED1F 与平面ABCD的交线.解 在平面AA1D1D内，延长D1F，D1F与DA不平行，因此D1F与DA必相交于一点，设为P，则PFD1，PDA.又FD1平面

38、BED1F，AD平面ABCD，P平面BED1F，P平面ABCD.又B为平面ABCD与平面BED1F的公共点，连接PB，PB即为平面BED1F与平面ABCD的交线.如图所示.12.如图所示，在四面体ABCD中，E、F分别是线段AD、BC上的点，=，AB=CD=3，EF=，求AB、CD所成角的大小.解 如图所示，在线段BD上取一点G，使=.连接GF、GE、EF.=，GEAB，且GE=AB=2，同理，GFCD，且GF=CD=1，在EGF中，cosEGF=-,EGF=120°.由GFCD,GEAB可知,AB与CD所成的角应是EGF的补角为60°.§8.4 直线、平面平行的

39、判定及性质基础自测1.下列命题中，正确命题的个数是 .若直线l上有无数个点不在平面内，则l;若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行；如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点.答案 12.下列条件中，不能判断两个平面平行的是 （填序号）.一个平面内的一条直线平行于另一个平面一个平面内的两条直线平行于另一个平面一个平面内有无数条直线平行于另一个平面一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面答案 3.对于平面和共面的直线m、n，下列命题中假命题是 （填序号）.若m，mn，则n若m，n，则mn若m

40、，n，则mn若m、n与所成的角相等，则mn答案 4.已知直线a,b,平面，则以下三个命题：若ab,b,则a;若ab,a,则b;若a,b,则ab.其中真命题的个数是 .答案 05.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，M、N分别是BC和A1B1的中点.求证：MN平面AA1C1.证明 设A1C1中点为F，连接NF，FC，N为A1B1中点，NFB1C1，且NF=B1C1，又由棱柱性质知B1C1 BC，又M是BC的中点，NF MC，四边形NFCM为平行四边形.MNCF，又CF平面AA1C1，MN平面AA1C1，MN平面AA1C1.例1 如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1，B

41、C1上分别有两点E，F，且B1E=C1F.求证：EF平面ABCD.证明 方法一 分别过E，F作EMAB于M，FNBC于N，连接MN.BB1平面ABCD，BB1AB，BB1BC，EMBB1，FNBB1，EMFN.又B1E=C1F，EM=FN，故四边形MNFE是平行四边形，EFMN.又MN平面ABCD，EF平面ABCD，所以EF平面ABCD.方法二 过E作EGAB交BB1于G，连接GF，则，B1E=C1F，B1A=C1B，FGB1C1BC，又EGFG=G，ABBC=B，平面EFG平面ABCD，而EF平面EFG，EF平面ABCD.例2 已知P为ABC所在平面外一点，G1、G2、G3分别是PAB、PC

42、B、PAC的重心.（1）求证：平面G1G2G3平面ABC；（2）求SSABC.（1）证明 如图所示，连接PG1、PG2、PG3并延长分别与边AB、BC、AC交于点D、E、F，连接DE、EF、FD，则有PG1PD=23， PG2PE=23，G1G2DE.又G1G2不在平面ABC内，G1G2平面ABC.同理G2G3平面ABC.又因为G1G2G2G3=G2，平面G1G2G3平面ABC.（2）解 由（1）知=，G1G2=DE.又DE=AC，G1G2=AC.同理G2G3=AB，G1G3=BC.G1G2G3CAB，其相似比为13，SSABC=19.例3 （16分）如图所示，平面平面，点A，C，点B，D,点

43、E，F分别在线段AB，CD上，且AEEB=CFFD.（1）求证：EF;（2）若E，F分别是AB，CD的中点，AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角为60°，求EF的长.（1）证明 当AB，CD在同一平面内时，由，平面平面ABDC=AC，平面平面ABDC=BD，ACBD，2分AEEB=CFFD，EFBD，又EF,BD,EF.4分当AB与CD异面时，设平面ACD=DH，且DH=AC.，平面ACDH=AC，ACDH，四边形ACDH是平行四边形，6分在AH上取一点G，使AGGH=CFFD，又AEEB=CFFD，GFHD，EGBH，又EGGF=G，平面EFG平面.EF平面EFG，EF.综上，

44、EF.8分（2）解 如图所示，连接AD，取AD的中点M，连接ME，MF.E，F分别为AB，CD的中点，MEBD，MFAC，且ME=BD=3，MF=AC=2，EMF为AC与BD所成的角（或其补角），EMF=60°或120°，12分在EFM中由余弦定理得，EF=，即EF=或EF=.16分1.如图所示，已知S是正三角形ABC所在平面外的一点，且SA=SB=SC，SG为SAB上的高，D、E、F分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面DEF的位置关系，并给予证明.解 SG平面DEF，证明如下：方法一 连接CG交DE于点H，如图所示.DE是ABC的中位线，DEAB.在ACG中，D

45、是AC的中点，且DHAG.H为CG的中点.FH是SCG的中位线，FHSG.又SG平面DEF，FH平面DEF，SG平面DEF.方法二 EF为SBC的中位线，EFSB.EF平面SAB，SB平面SAB，EF平面SAB.同理可证，DF平面SAB，EFDF=F，平面SAB平面DEF，又SG平面SAB，SG平面DEF.2.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分别是BC、CC1、C1D1、A1A的中点.求证：（1）BFHD1；（2）EG平面BB1D1D；（3）平面BDF平面B1D1H.证明 （1）如图所示，取BB1的中点M，易证四边形HMC1D1是平行四边形，HD1MC1.又MC1B

46、F，BFHD1.（2）取BD的中点O，连接EO，D1O，则OE DC，又D1G DC，OE D1G，四边形OEGD1是平行四边形，GED1O.又D1O平面BB1D1D，EG平面BB1D1D.（3）由（1）知D1HBF，又BDB1D1，B1D1、HD1平面HB1D1，BF、BD平面BDF，且B1D1HD1=D1，DBBF=B，平面BDF平面B1D1H.3.如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形.（1）求证：AB平面EFGH，CD平面EFGH.（2）若AB=4，CD=6，求四边形EFGH周长的取值范围.（1）证明 四边形EFGH为平行四边形，EFHG.HG平面A

47、BD，EF平面ABD.EF平面ABC，平面ABD平面ABC=AB，EFAB.AB平面EFGH.同理可证，CD平面EFGH. (2)解 设EF=x（0x4），由于四边形EFGH为平行四边形，.则=1-.从而FG=6-.四边形EFGH的周长l=2(x+6-)=12-x.又0x4,则有8l12,四边形EFGH周长的取值范围是（8，12）.一、填空题1.下列命题，其中真命题的个数为 .直线l平行于平面内的无数条直线，则l；若直线a在平面外，则a;若直线ab,直线b,则a；若直线ab,b,那么直线a就平行于平面内的无数条直线.答案 12.写出平面平面的一个充分条件 （写出一个你认为正确的即可）.答案 存

48、在两条异面直线a,b,a,b,a,b3.对于不重合的两个平面与，给定下列条件：存在平面，使得，都垂直于;存在平面，使得，都平行于;存在直线l,直线m,使得lm;存在异面直线l、m，使得l,l,m,m.其中，可以判定与平行的条件有 （写出符合题意的序号）.答案 4.（2008·海南，宁夏文，12）已知平面平面,=l,点A,Al,直线ABl,直线ACl,直线m,m,则下列四种位置关系中,一定成立的是 .ABmACmABAC答案 5.（2008·湖南理，5）设有直线m、n和平面、.下列命题不正确的是 （填序号）.若m,n,则mn若m，n,m,n,则若，m，则m若,m,m,则m答案

49、 6.下列关于互不相同的直线m,l,n和平面，的四个命题：若m,l=A,点Am，则l与m不共面；若m,l是异面直线，l,m,且nl,nm,则n;若l,m,则lm;若l,m,lm=A,l,m,则.其中假命题的序号是 .答案 7.考察下列三个命题，在“ ”处都缺少同一个条件，补上这个条件使其构成真命题（其中l,m为不同的直线，、为不重合的平面），则此条件为 . 答案 l8.如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ= .答案 a二、解答题9.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1B