高中优秀教学课件《递推数列》

1、2022-2-161)(1nfmaann2022-2-162考试背景考试背景递推列：递推列：)(1nfmaann在在0710年年的高考中，历年都有涉及，如的高考中，历年都有涉及，如（不完全统计）：（不完全统计）：10年年：全国理：全国理，福建；，福建；09年年：全国理：全国理，理，理；08年年：全国理：全国理2022-2-163一、基础知识一、基础知识3an=(anan-1)+( an-1an-2)+( a2a1)+a1；;1qaann2等比数列的概念：等比数列的概念：;. 4112211aaaaaaaannnnn5换元法，待定系数法换元法，待定系数法1等差数列的概念：等差数列的概念：an+1

2、-an=d2022-2-164二、例析二、例析例例1.已知数列已知数列an中中,a1=2,an+1=an+3,则则an的通的通项为项为_解法解法：由：由an+1=an+3得得an+1an3，故数列，故数列an是首项为，公差为的等差数列，因此，由通项是首项为，公差为的等差数列，因此，由通项公式得：公式得：an=2+(n-1)3n-1解法解法：由：由an+1=an+3得得an+1an3，故，故an=(anan-1)+( an-1an-2)+( a2a1)+a1 3(n-1)+2=3n-12022-2-165例例.已知数列已知数列an中中,a1=2,an+1=3an,则则an的通项的通项为为_故3,

3、aa:得3a由a:解法1n1nn1n数列数列an是首项为，公比为的等比数列，是首项为，公比为的等比数列，因此因此an=23n-1故得由, 3:3:2解法11nnnnaaaa111221132nnnnnnaaaaaaaa2022-2-166例例.已知数列已知数列an中中,a1=2, an+1=4an+3,则则an的的通项为通项为_解法解法：由由an+1=4an+3得得, an+1=4(an+1),故故数列数列an是首项为是首项为a1+1=3，公比为，公比为4的等比数列，的等比数列，因此因此an+1=34n-1,即即an=-1+34n-1111221143) 1(1111111nnnnnnaaaa

4、aaaa因此因此an+1=34n-1,即即an=-1+34n-1故得由, 411),1(41:34:解法解法2111nnnnnnaaaaaa2022-2-167小结：小结：待定系数法在变形转化中的作用待定系数法在变形转化中的作用用观察的方法将用观察的方法将an+1=4an+3变形成变形成 an+1=4(an+1), 是是一大难点，这个变形可以运用待定系数法来完成一大难点，这个变形可以运用待定系数法来完成引伸：已知数列引伸：已知数列an的首项是的首项是a1, an+1=man+r (m1，r 0),则则an的通项为的通项为_解解：设设 an+1k=m(an+K),则则 an+1=man+(m-1

5、)K,因此因此,(m-1)k=r,故故1mrk),1(111mrammrarmaannnn变形成了由此将这样就可以运用解法这样就可以运用解法1和解法和解法2的方法了（下解略）的方法了（下解略）2022-2-168解法：由解法：由 an+1=4an+3得得an+=4an+1+3 -得：得：an+2-an+1=4(an+1-an)则数列则数列an+1-an是是首项为首项为a -a ( a)-a a+3=9，公比，公比为的等比数列为的等比数列 所以，所以，an-an-194n-2所以，所以，an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+ +(a2-a1)a1 94n-2 94n- 940114

6、31241419nn2022-2-169解法：同解法得：解法：同解法得：an+2-an+1=4(an+1-an)则则故,4112nnnnaaaa,49)(212122332212111nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaa所以，所以，an=(an-an-1)+ (an-1-an-2)+ +(a2-a1)a1 94n-2 94n- 9401+34n-12022-2-1610 .,33,21,. 4111nnnnnaaaaa求已知数列例解解：两边同除以两边同除以3n得：得：.3133:,31331111nnnnnnnnaaaa即.3161331的等差数列公差为为首项是以，aann即

7、.3121)31)(1(613nnann.33211nnnna2022-2-1611 .,354, 3,. 511nnnnnaaaaa求已知数列例解法1：两边同除以3n得：. 5334311nnnnaa)3.(534,31的方法解以下用例则得令nnnnnAAAa.3134),(3411kAAkAkAnnnn则又令).15(3415:.15, 5311nnAAkk从而得.34,16153151511的等比数列公比为是首项为而aAAn2022-2-161211)34(1615,)34(1615nnnnAA1143315)34(1615(33nnnnnnnAa解法解法2：则令),3(4311nnnn

8、kaka.15, 53,3341kkkaannn从而得则),315(431511nnnnaa2022-2-16131143448315nnnna143315nnna.4,483153151的等比数列公比为是首项为而aann说明说明2：解法是在两边同除了解法是在两边同除了bn后，再通过换元将后，再通过换元将an=can-1+dbn化成了化成了An=mAn-1+r的形式此时就可以用的形式此时就可以用例的各种解法求解了例的各种解法求解了解法，通过直接利用待定系数法将解法，通过直接利用待定系数法将an=can-1+dbn的形式化成了的形式化成了ankbn=c(an-1+kbn-1)形式的等比数形式的等

9、比数列然后再进行求解特别要注意列然后再进行求解特别要注意“所要待定等式所要待定等式”左左右两边右两边b的幂次方的差异的幂次方的差异2022-2-1614三、练习三、练习1.已知数列已知数列an中中,a1=,an+1=an3,则则an的通项的通项为为_.已知数列已知数列an中中,a1=,an+1=an,则则an的通的通项为项为_.已知数列已知数列an中中,a1=, an+1=an3,则则an的的通项为通项为_ .,323, 2,. 411nnnnnaaaaa求已知数列5.已知数列已知数列an,a1=,an=an-1+3n,则则an的通项为的通项为_2022-2-1615三、解答：三、解答：1.答

10、答an=-3n+42.答答an=3(-2)n-13.解：解： a1 = a =-, a- a1=-2,an-an-1=(-2)2n-2=- 2n-1,an+1-an=2(an-an-1),an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)=-2n-1- 2n-2-2=2-2n.2022-2-1616233:323:. 4111nnnnnnnaaaa得由解,323, 233111aaannnn3)33()33()33(31122221111aaaaaaaannnnnnnnnn,342322) 1(nn21121322:2:. 5naannnnn得两边同除以解21121322:naa

11、nnnn即2022-2-16172)22()22()22(21122221111aaaaaaaannnnnnnnnn21212321) 1(321321nnnn),1 (212321) 1(321321nnnnnS令),2(212321) 1(32132131nnnnnS则nnnS2534:)2() 1 (并化简整理得由) 53(29)212534(2)21(21nnSannnnnn2022-2-1618四、小结四、小结)(),(1nfmaaannn满足递推数列1.m=1,f(n)=r(常量常量),就成了等差数列；就成了等差数列；2.m1,f(n)= 0，就成了等比数列；，就成了等比数列；3.

12、m1,f(n)= r (常量常量), 就用待定系数法转化成等比数就用待定系数法转化成等比数列；列；4.m1,f(n)= bn , 先在两边同除以先在两边同除以bn，变形成，变形成3的形的形式后再用待定系数法转化成等比数列；式后再用待定系数法转化成等比数列；5.f(n)= bn+c , 先在两边同除以先在两边同除以bn，变形成与，变形成与3类似类似的形式后，再用待定系数法转化成等比数列或用其的形式后，再用待定系数法转化成等比数列或用其它办法进行处理；它办法进行处理；2022-2-1619五、作业五、作业.,23, 1)3()21(3).2210(11111的通项公式数列求且满足项和前已知数列题江苏文nnnnn