热传导方程傅里叶解

1、热传导在三维的等方向均匀介质里的传播可用以下方程表达:+ div(Uu) = kd2u tu d2u ,、豆 + 源 + 唠J = (%+% + %：)其中： u =u（t, x, y, z）表温度，它是时间变量t与 空间变量（x,y,z）的 函数。 讥是空间中一点的温度对时间的变化率。 国风双吸与乜8温度对三个空间座标轴的二次导数。 k决定于材料的 热传导率、密度与热容。热方程是傅里叶冷却律的一个推论（详见条目 热传导）。如果考虑的介质不是整个空间，则为了得到方程的唯一解，必须指定 u的边界条件。如果介质是整个空间，为了得到唯一性，必须假定解 的增长速度有个指数型的上界，此假定吻合实验结果。

2、热方程的解具有将初始温度平滑化的特质， 这代表热从高温处向低温 处传播。一般而言，许多不同的初始状态会趋向同一个稳态（热平衡）。 因此我们很难从现存的热分布反解初始状态， 即使对极短的时间间隔 也一样。热方程也是抛物线偏微分方程 最简单的例子。利用拉普拉斯算子，热方程可推广为下述形式ut = kA%其中的A是对空间变量的拉普拉斯算子。热方程支配热传导及其它扩散过程，诸如粒子扩散或神经细胞的动作 电位。热方程也可以作为某些金融现象的模型，诸如 布莱克-斯科尔 斯模型与Ornstein-Uhlenbeck 过程。热方程及其非线性的推广型式 也被应用于影像分析。量子力学中的薛定谓方程虽然有类似热方程

3、的 数学式（但时间参数为纯虚数），本质却不是扩散问题，解的定性行 为也完全不同。就技术上来说，热方程违背狭义相对论，因为它的解表达了一个扰动 可以在瞬间传播至空间各处。扰动在前方光筵外的影响通常可忽略不 计，但是若要为热传导推出一个合理的速度， 则须转而考虑一个双曲 线型偏微分方程。以傅里叶级数解热方程皿以下解法首先由 约瑟夫傅里叶 在他干1822年出版的著作Thrie analytique de la chaleur （中译：解析热学）给出。先考虑只有一 个空间变量的热方程，这可以当作棍子的热传导之模型。方程如下：%=kuxx其中u = u（t, x）是t和x的双变量函数。 x是空间变量，所

4、以x 6 0,L,其中L表示棍子长度。 t是时间变量，所以t A 0。假设下述初始条件过(0 =f (x)0, L其中函数f是给定的。再配合下述边界条件(3)0) = 0 = u(t, L) 忧 > 0让我们试着找一个非恒等于零的解，使之满足边界条件(3)并具备以下形式：(4)观(力力=X(f)T(±).这套技术称作分离变量法。现在将u代回方程(1),kT(t) =由于等式右边只依赖x,而左边只依赖t,两边都等于某个常数- 入，于是：(5) = -XkT(t)(6)以下将证明(6)没有入w 0的解:假设入 0 ,则存在实数R C使得Xx = BeQ 工 + Ce-Qh.从(3)

5、得到X(O)=O=X(L).于是有B = 0 = C,这蕴含u恒等于零。假设入=0 ,则存在实数B C使得X(x) = Bx +a仿上述办法可从等式(3)推出u恒等于零。因此必然有 入 0 ,此时存在实数 A、B、C使得T(t)= AeX(i) = B sin(/A2：) + Ccos(/Xx).从等式(3)可知C= 0 ,因此存在正整数 n使得由此得到热方程形如（4）的解 一般而言，满足（1）与（3）的解相加后仍是满足（1）与（3）的解。事实上可以证明满足（1）、（2）、（3）的解由下述公式给出：其中Dn =推广求解技巧编辑上面采用的方法可以推广到许多不同方程。 想法是：在适当的函数空 回上

6、，算子在 T饯m可以用它的特征矢量表示。这就自然地导向线 性自伴算子的谱理论。考虑线性算子 A u = ux x,以下函数序列（nn 1 ）是的特征矢量。诚然:71W此外，任何满足边界条件f(0)=f(L)=0的的特征矢量都是某个 eno令L2(0, L)表0, L上全体平方可积函数的矢量空间。这些 函数en构成L2(0, L)的一组正交归一基。更明白地说：二.(f)心也二"之：Jq( 1 R最后，序列 enn e N张出L 2(0, L)的一个稠密的线性子空间。这就 表明我们实际上已将算子 对角化。非均匀不等向介质中的热传导一般而言，热传导的研究奠基于以下几个原理。 首先注意到热流

7、是 能 负流的一种形式，因此可以谈论单位时间内流进空间中一块区域的热量。单位时间内流入区域 V的热量由一个依赖于时间的量 qt(V)给出。假设q有个密度Q(t,x),于是qt(v)=。(力忆)公J IL热流是个依赖于时间的矢量函数H(x),其刻划如下：单位时间内流经一个面积为dS而单位法矢量为n的无穷小曲面元素的热量是H n(幻dS因此单位时间内进入 V的热流量也由以下的面积分给出ft(v) = - / H(x) - n(x) dS其中n(x)是在x点的向外单位法矢量。热传导定律说明温度对时间的梯度满足以下线性关系H =A(x) - Vh(x)其中A(x)是个3 x 3实对称正定矩阵。利用格林

8、定理可将之前的面积分转成一个体积分qt(V) = - / H(a?) - n(x) dSA(z) - Vu(x) - n(z) dS=£%(幻%W壶 v hi温度在x点对时间的改变率与流进 x点所在的无穷小区域的 热量成正比，此比例常数与时间无关，而可能与空间有关，写 作 K (x)。x) =T)将以上所有等式合并，便获得支配热流的一般公式。='(K)£/% (宓)。叼现代尹)注记: 系数K (x)是该材料在X点的密度和比热的积的倒数。 在等方向性介质的情况，矩阵 A只是个标量，等于材料的导 热率。 在非等向的情况，A不一定是标量，我们鲜少能明确写出热方 程的解。然

9、而通常可考虑相应的 抽象柯西问题，证明它是适定 的，并(或)导出若干定性结果(诸如初始值保持正性、无穷 传播速度、收敛至平衡态或一些平滑化性质)。这些论证通常有 赖于单参数半群理论:举例来说，如果 A是个对称矩阵，那 么由Au(x) := £/叼4 V定义的椭圆算子是自伴而且耗散的,因此由 谱定理导出它生成 一个单参数半群。粒子扩散辿J粒子扩散方程编辑在粒子扩散的模性中，我们考虑的方程涉及在大量粒子集体扩散的情况：粒子的体积浓度，记作Go或者在单一粒子的情况：单一粒子对位置的 概率密度函数，记作P。不同情况下的方程：Cf = D&g或者Pt = DAPc与P都是位置与时间的函

10、数。D是扩散系数，它控制扩散速度， 通常以米/秒为单位。如果扩散系数D依赖于浓度c （或第二种情况下的概率密度 P）, 则我们得到非线性扩散方程。单一粒子在粒子扩散方程下的随机轨迹是个 布朗运动。如果一个粒子在时间t=0时置于 月=6,则相应的概率密度函数具 有以下形式：P（艮。=G（R, t）=画源胪一黑它与概率密度函数的各分量 尺、/和的关系是：T1尸但=（4血产丁 皿 =P（七，十）P（/，。尸便熊0随机变量凡服从平均数为0、变异数为2。米的正态分布。在三维的情形，随机矢量 点服从平均数为6、变异数为602的正态 分布。在t=0时，上述P（左士）的表示式带有奇点。对应于粒子处在原点 之初

11、始条件，其概率密度函数是在原点的 狄拉克S函数,记为炙斤）（三维的推广是6（斤）=可见：*（）纵凡）；扩散方程对此初始值 的解也称作格林函数。扩散方程的历史源流辿粒子扩散方程 首先由Adolf Fick 于1855年导得。以格林函数解扩散方程渔格林函数是扩散方程在粒子位置已知时的解 （数学家称之为扩散方程 的基本解）。当粒子初始位置在原点 5时，相应的格林函数记作 G（0）（t>0）;根据扩散方程对平移的对称性，对一般的已知初始 位置月°,相应的格林函数是白（左-弗。对于一般的初始条件，扩散方程的解可以透过积分分解为一族格林函 数的叠加。举例来说，设t=0时有一大群粒子，根据浓

12、度分布的初始值 已（反0） 分布于空间中。扩散方程的解将告诉我们浓度分布如何随时间演化。跟任何（广义）函数一样，浓度分布的初始值可以透过积分表为狄拉克5函数的叠加：元/ = 0） = / C（配t = 0"（后-助d或dfij d用扩散方程是线性的，因此在之后的任一时刻t,浓度分布变为：C（尼士） = /c（# 1 = 0）G（月一用,t）d用兄在粒子扩散的情形，我们可以将狄拉克S函数对应的初始条件理解为 粒子落在一个已知位置。一般而言，任何扩散过程的解都有这种表法， 包括热传导或 动星的扩散；后者关系到流体的 粘性现象。一维格林函数解列表辿以下以简写BC代表边界条件，IC代表初始条

13、件。fUt = kuxx-OO < X < 8 才 0 <t < OO矶跖0）=g （工）ICut = ku注工0 < x < oo, 0 < f < qoiz(f,0)=g(t) IC u(0T t) = 0 13cu")=温/(exp (-4)-9闻0<T<OO,0<t<OOICBCI Uf = ku工工 或 1,0)= g(i) 1x(0, t) = 0 (1,t) = J r° (exp (_(-渭)+exP K? ) g®)的/o I 4kt / 4kt J)ut = kuxx +

14、f oo <t<oo, 0<t<oou(x, 0) = 0 ICu(x, t)= 0 - - 1 =exp (一-，) /(s) dyds J。J-0° ,4肝6(9 _ s) 4fc(t - s) JO<X<0O5O<Z<00ICBC%=依& +/(工工) u(x, 0) = 0 w(0, i) = 0g="。温(exp卜品与品置)，0<x<cx), 0<t<ooICu(x, t)=BCj4nk(t _ s)3 eXP (-4fc(t-s)无 ds(可能的问题：根据上解，u(0)=0 )Ut kuxx + f oo <x<oo, 0<t<oou(x, 0) = gx ICu = w + vUt = kuxx + / 加3,0) = g(z) u(0,t) = h(t)Vt = kvxx + f, Wt = kWs -00 < x < oo, 0 <t &l