【纯手打原创】2015高考真题文科数学(新课标Ⅱ卷)【逐题解析版】

1、2015 普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标卷）第卷一、选择题：本小题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）已知集合 ?= ?|-1< ?< 2 ,?= ?| 0 < ?< 3 ,则 ?=（A ）( -1,3 )（ B） ( -1,0 )（ C）( 0,2)（ D） ( 2,3 )【解析】 由题意可得，集合A、B 在数轴上的表示如图，所以?= ( -?, ?) ，所以选 ABA-5-4-3-2-112345x（2） 若 ?为实数，且2+?1+? = 3 + ?则,?=（A ） -4（ B ） -3（

2、C） 3（ D ）4【解析】 ?+?()()，即= ?+ ?+ ?=?+?+ ? ?+ ?= ?+ ?,?所?以 ?= ?，选 D（3） 根据下面给出的2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（A ）逐年比较， 2008 年减少二氧化硫年排放量的效果最显著（B ） 2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效（C） 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势（D ） 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关【解析】 2006 年以来我国二氧化硫年排放量随着年份的增长在减少，所以2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，选D（4）

3、已知 ?= ( 0, -1 ),? =(-1,2 ) ,则(2?+ ?) ?=（A ） -1（ B ）0（C）1（ D） 2【解析】 ?+?= (-? ，?)，则 (?+?) ? = ?，选 B（5）设 ?是等差数列 ? 的前 n 项和，若 ?1? + ?3 + ?5 = 3 ，则 ?5 =（A ） 5（ B） 7（ C） 9（ D） 11【解析】 ?+ ? + ?= ?= ?，所以 ?= ?，且 ? = （ ?+?） ×?，选 A?= ?= ?（6） ）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分的体积与剩余部分的比值为1111（A ）8（B ） 7（ C）

4、 6（ D） 5【解析】 根据三视图，可得：D 1C 1AB 11DCAB所以，截去的部分体积是原正方体体积的?，则截去部分的体积与剩余部分的比值为?，所以选 D?（7）已知三点 ?( 1,0) , ?(0,3) , ?(2,3) ,则 ABC 外接圆圆心到原点的距离为5（A ）321（ B） 325（ C） 34y3（D ）3【解析】 如图 , ABC是正三角形，外接圆的圆心为三角形的中心，所以E 的坐标为（?+?+?+ ?+ ），? 所以 E 的坐标为（ 1， ? ）?，?则 OE 的长度为 ? ? ?2 B ( 0, 3 )DC ( 2, 3 )?，?(? )+ ? =?E1O123A(

5、1,0)x（ 8）右边程序框图得算法思路源于我国古代数学名著九章算术中的“更相减损法” ，执行该程序框图，若输入?, ?分别是 14， 18，则输出的 ?=（A ） 0（ B） 2（ C） 4（ D） 14【解析】 执行该程序框图的运算如下表开始输入 a,b是否ab结束ab？是a>b ？是a = a 1b0= 4=6a = a - bb = b - aab？是a>b ？是a = a 6b= 4=2ab？是a>b ？否b = b 4a= 2=2?b？否输出?=2ab？是a>b ？否b = b a=18 14=4 ab？是a>b ？是a = a 1b4= 4=10是否

6、a> b输出 a所以选 B1（ 9）已知等比数列 ? 满足 ?1 =4 ，?3 ?5? = 4(?4 -1)， 则?2 =11（A ） 2（ B） 1（ C） 2（D ） 8【解析】? ? = ? ?= ?( ? -?)，所以 ?- ?+ ?= ?，则?= ?，因为 ? = ?= ?所,以 ?= ? ?=?, 故选 C?（ 10）已知?、?是球?的球面上两点， ?=?9?0°，?为球面上的动点， 若三棱锥?-?体?积的最大值为36，则球 ?的表面积为（A ） 36（B ） 64（ C） 144（ D） 256【解析】 ?、?是球 ?的球面上两点， ?=?90°，所以平

7、面 ?为?大圆平面， ?= ?= ?，其中 ?为球的半径，三棱锥 ?- ?的?体积等于三棱锥?-?的?体积，如图1 所示：CC当 C 点位于 O 点正上方时，三棱锥?- ?的?高最大，为球的半径，此时体积最大， 如图 2，?最大值为 ? ?所以 ?= ?, 则OO?-? ?= ?,?球?的表面积为4? = ?,故?选 CAB? ?AB图 2图 1（ 11）如图，长方形 ?的?边? ?=?2,?=?1,?为?的? 中点，点 ?沿着边P?,?与? ?运? 动 ?=?,将动点 ?到?、?两点的距离之和表示为?的DC函数?( ?),则?= ?( ?) 的图像大致为yyyyAOB2222O 423 4x

8、O 42x3 4xO 3 424O 42x3 4（A ）（ B ）（C）（D ）?【解析】 当? ? 时，?= ?,?= ?+ ?, ?( ?) =?+?+ ?,当? < ?< ?时， ?(?) = (? +?)+ ?+(?-?)+ ?,，因为不可能是直线的图像，且在? ?应该为分段函数的形式。函数图像最有可能的只能是B。?（12）设函数 ?( ?) = ln (1 + | ?|) -11+?2 ,则使 ?( ?) > ?(2?-1) 成立的 ?的取值范围是11（A ）（3 ，1）（B ） (- ， 3) (1 ， + )1111（C）(-3 ， 3)（D ） (- ， -3

9、) ( 3 ， + )【解析】方法一：当 ?= ?，?( ?) = -? ，?(?-?) = ?(-? ) = ?- ?( ?-? ?) - ?(?) = ?- ?( -?) = ?+?，> ? ?(?-?) > ?(?) ，不符合题意，排除B、C?，-当?= ?，?( ?-? ?) = ?( ?) = ?( ?)?，也不符合题意，排除D,所以选 A方法二： ?( ?) = ?(?+ |?|) -很显然是一个偶函数，?( ?) =?+, 当 ?> ?，?+?+| ?|( ?+?) ?( ?) > ?成立，所以 ?( ?) 在?(?， + )上单调递增， 在?(- ，?)

10、上单调递减， ?( ?) >?(?-?)，自变量越靠近对称轴函数值越大，即|?| < |?-?第卷非选择题?|, 两边平方解得?（ ?，?）本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题第 21 题为必考题， 每个试题考生必须作答 .第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求作答二、填空题：本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分13、已知函数 ?( ?) = ?3?-2?的图像过点（-1 ， 4），则 ?=。【解析】 ?( -? ) = -? + ?= ?,所以 ?= -? .?+ ?-5 014、若 ?, ?满足约束条件 2?-?-1 0,则 ?= 2?+ ?的最大值为。

11、?-2?+ 1 0【解析】由图可知道最大值为8x+y- 5=0y876543212x-y-1=0x-2y+1=0-8 -7 -6-5 -4-3 -2-1O 1 2 3 4 5 6 7 8x-1-2-3-4-5-6-7-8115、已知双曲线过点 （ 4，3 ），且渐近线方程为?= ±2 ?,则该双曲线的标准方程为。?，所以双曲线的标准方程设为【解析】双曲线的渐近线方程为?= ±? -?= ?，又双曲线过点 （4，?），?代入得 ?= ?，双曲线的标准方程为? - ? = ?。（ 16）已知曲线 ?= ?+ ln ?在点（ 1， 1）处的切线与曲线?= ?2?+ ( ?+ 2

12、) ?+ 1 相切，则?=。【解析】 ?()?= ?+, 所以曲线 ?= ?+ ?在点（ 1，1）处的切线斜率为2，切线方程为： ?- ?= ?- ?,即?= ?-?,曲线 ?= ?+ (?+ ?) ?+ ?若与直线 ?= ?-?相切，则? ?,把?= ?-?代入 ?= ?+( ?+ ?)?+ ?得： ?+ ?+? ?= ?，方程有且只有一个解，所以?= ?- ?= ?所以 ?= ?（舍去）或 ?= ?，所以 ?= ?三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤。17、（本小题满分 12 分） ?中?， ?是?上? 的点， ?平? 分 ?，?= 2?；（）

13、求 sin ?sin ?（）若 ?=? 60 °， 求 ?。【解析】（）如图，根据正弦定理，在?中?，?=? ?, 即?=?A; ?同理，在 ?中?，?=? , 即 ?= ?;? ?CDB因为 ?平?分?，?所以 ?=? ?，? ÷得： ? = ?.?=?（）若 ?=? ?°? ，则 ?+ ?= ?°?，由可知：? =?= ?，所以 ?°?- ?°?= ?(?°?-? ?)?即 ? ?= ?，得 ?= ?,? ?= ?°? .?18、（本小题满分 12 分）某公司为了了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别

14、随机调查了40 个用户,根据用户对其产品的满意度的评分,得到 A 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 B 地区用户满意度评分的频率分布表A 地区用户满意度评分的频率分布直方图.频率 /组距0.0400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.005O405060708090100 满意度评分B 地区用户满意度评分的频率分布表满意度评分分组50 ， 60)60 ， 70)70 ， 80)80 ，90)90 ， 100)频数2814106（I） ）在答题卡上作出B 地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度,（不要求计算出具体值 ,给

15、出结论即可）B 地区用户满意度评分的频率分布直方图频率 / 组距0.0400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.005O405060708090100 满意度评分（II） ）根据用户满意度评分,将用户的满意度评分分为三个等级：满意度评分低于 70 分70 分到 89 分不低于 90 分满意度等级不满意满意非常满意估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由 .【解析】略19、（本小题满分 12 分）如图 ,长方体ABCDA1B1C1D1 中 AB=16, BC=10,AA18 ,点 E,F 分别在A1B1, D1C1上,A1 ED1FD 1FA 1ED4.

16、 过点 E,F 的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.C 1B 1（ I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（ II ）求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.CCD 1F1AB【解析】（）如图所示A 1EB 1DC（） 由题意可得平面?分平面 ?的各边的长度如图所示，两D部分都是以 ? ? 为高的四棱柱，体积比就是底面面积比，? =AB( ?+?) ?× ? ?( ?+?) ×? ?F1C 110?= ?,? =?= ?,?: ?= ?:?A 14E12B 18810DCA466B20、（本小题满分 12 分）?2?22(2 ，2)?已知椭圆： ?2 +

17、?2 = 1( ?> ?> 0) 的离心率为 2 ，点在 上 。（）求 ?的方程（）直线?不?过原点 ?且不平行于坐标轴， ?与?有两个交点 ?、?, 线段?的? 中点为?，证明：直线 ?的?斜率与直线 ?的?斜率乘积为定值。? +? = ?【解析】（）? ?=?解得： ? = ?，? = ?， ?的方程? +? = ? ?- ?= ?（） 因为直线 ?不? 过原点 ?且不平行于坐标轴，?与? ?有两个交点 ?、?，设?（ ?,?）、?（?, ?）,线段?的? 中点为 ?（?, ?） ,则?+?= ?，?+? = ?，直线 ?的斜率为 ? =?,直线 ?的? 斜率为? = ?- ?

18、，因为 ?、?在?上，代入可得4? + ?= ? 4?+ ?= ? ，?-? ?- 得： 4(? ?-?) + ?(?- ?) = ? 即(?+ ?)( ?- ?) + ?( ?+ ?)( ?- ?) = ?则 2?- ?，所以 ?，所以得证?= ?-? ? ?=?21、（本小题满分 12 分）已知函数 ?( ?) = ln ?+ ?(?1 -?)?.（）讨论 ?(?) 的单调性（）当 ?( ?) 有最大值，且最大值大于2?-2，求?的取值范围- ?【解析】（） ?(?) 的定义域为（ ?， + ），对函数求导的 ?( ?) = ?（i ）当 ? ?时， ?( ?) 恒大于 0，?(?) 在（

19、 ?， + ）上单调递增；?（ii ）当 ?> ?时，令 ?(?) = ?，?= ?,当?变化时， ?( ?) ，?( ?)的变化情况如下表:?(?，)?(?+ )，?( ?)+0-?(?)- ?+ ?-?)?综上所述， ? ?时， ?( ?)在（ ?， + ）上单调递增； ?> ?时， ?( ?) 在(?， ? 上单调递增，在，?( ?+ )上单调递减（） ?(?) 有最大值，所以?> ?，由（）可得此时?( ?)的最大值为 - ?+ ?- ?> ?- ?，即?< ?- ?，当 ?< ?< ?时， ?< ?， ?- ?< ?， ?< ?- ?成立当?时， ? ?，?- ? ?， ?< ?- ?不成立，所以， ?( ?,?)请考生在第 22、23、24 题中任选一道作答，如果多做，则按第一题记分.作答时请写清题号A22（本小题满分10 分）选修4-1: 几何选讲证明如图，?为等腰三角形 ?内?一点，? 与 ?的?底边 ?交? 于 ?、?两G点，与底边上的高交于点?，且与 ?、?（）证明： ?/?; ?分? 别切于 ?、?两点EF O（） 若?是? ? 的半径， 且?= ?= 2 3，求四边形 ?的?面积BMDNC【解析】（）如图所示，连接 ?、?，? 由题意可