平面向量题型归纳

1、平面向量题型归纳一.向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，记作： ab或a。注意 向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示， 注意不能说向量 就是有向线段，为什么？向量可以平移。例：A 1,2B4,2那么把向量AB按向量a = - 1,3平 移后得到的向量是2. 向量的模：向量的大小或长度，记作：|7B|或|a|。3.零向量：长度为 的方向是任意的；0的向量叫零向量，记作:0 ,注意零向量4. 单位向量：单位向量：长度为1的向量。假设e是单位向量， 那么间1。（与AB共线的单位向量是）；5. 相等向量：长度相等且方向一样的两个向量叫相等向量，相 等

2、向量有传递性；6. 平行向量也叫共线向量：方向一样或相反的非零向量 a、 b叫做平行向量，记作：a / b ,规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等;两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线 ,但两条直线平行不包含两条直 线重合；平行向量无传递性！因为有0）； 三点A B、C共线 AB> AC共线;B如图，在平行四边形ABCD中，以下结论中正确的选项是 C. AD AB AC D.AD BC 07. 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是a、AB BA。例：以下命题：1假设a b，那么a b。2

3、假设 a b,b C，那么 a c。 6假设 ab,bc，那么 a/c。 3 假设AB DC，那么ABCD是平行四边形。4假设ABCD是平行四 边形，那么AB DC。其中正确的选项是题型1、根本概念 1：给出以下命题：假设a = b ,那么a = b ;向量可以比拟大小；方向不一样 的两个向量一定不平行；假设a=b , b =c，那么a = c ；假设a b , b c，那么a c ; 0 a 0 ; © 0 a 0 ;其中正确的序号是 。2、根本概念判断正误：1共线向量就是在同一条直线上的向2假设两个向量不相等，那么它们的终点不可能是同一点3与向量共线的单位向量是唯一的。4四边形是

4、平行四边形的条件是 AB CD。5假设AB CD，那么A B、C、D四点构成平行四边形6因为向量就是有向线段，所以数轴是向量7假设a与b共线，b与c共线，那么a与c共线。8假设 ma mb，那么 a b。 9假设 ma na ,那么m n。io假设a与b不共线，那么a与b都不是零向量。11假设 a b |a| |b|，那么 a/b。 12假设b| |a b|,那么a b。二、向量加减运算8. 三角形法那么：AB BC AC ； AB BC CD DE AE ； AB AC CB指向被减数以a,b为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b， a b1、化简(AB MB) (BO BC) OM 。

5、2、|OA| 5 , |OB| 3 ,那么|7B|的最大值和最小值分别为、。3、 在平行四边形ABCD中，假设 AB AD ,AB AD，那么必有是正方形1、计算：13(a b) 2(a b)2(2a 5b 3c) 3( 2a 3b 2c)求向量的和 1、向量a,b，如以下图，请做出向量和b1、在 ABC中，D是BC的中点，请用向量 AB,AC表示AD。2、在平行四边形 ABCD中，AC a,BD b，求AB和AD。 T皿| all 严1. &4 = (.r= 则：tf+ = (j, +_ ?2) J 衛二(心/旳)2*设川环出)£也上),则丽m(jt汀殆旳刃,碁实质是将向量

6、的起点移到坐标原点.1、a (1, 4),b ( 3,8)，那么练习：假设物体受三个力F1(1,2), F2 ( 2,3), F3 ( 1, 4),那么合力的坐标为。2、PQ ( 3, 5)， P(3,7)，那么点 Q的坐标是。3、. a ( 3,4)， b (5,2)，求 a b， a b， 3a 2b。0，求OC的坐标。平面内的两个不共有且只有一对实数5、O 是坐标原点，A(2, 1),B( 4,8)，且 AB 3BC平面向量的根本定理：如果ei和e2是同- 线向量，那么对该平面内的任一向量 a， i、2，使 i1 + 2e2。基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。1、e，e2是平面内的

7、一组基底，判断以下每组向量是否能构成一组基底：A. eie2和ee>B.3ei2佥和4q6C. e处和佥D.-1-5-e2 和 e? e练习：以下各组向量中，可以作为基底的是（A）& （0Q），e?（1,2）但）d（ i,2），e2（5,7）（C） &（3,5），e2（6,10）（D）ei（2, 3）e（，4）2、. a （3,4），能与a构成基底的是A. B. C. D.3、知向量 ei、e2不共线，实数（34y）ei + （23y）e =6ei+3e2 ,那么 x-y的值等于4、 设 ei© 是两个不共线的向量，AB 2ei ke2,CB & 3e2

8、,CD 2& &，假设 A B、D 三点共线，求 k的值.5、平面直角坐标系中，0为坐标原点，两点A（3,i）（-i,3）, 假设 点 C（ X, y）满足 OC =a oa + B ob，其中 a , pR 且 a + B =1,那 么x, y所满足的关系式为A. 321 仁0B . (1) 2+(2) 2=5 C . 20 D . 25=0四.平面向量的数量积：1. 两个向量的夹角：对于非零向量a ,b，乍OA a,OB b , AOB0 称为向量a , b的夹角，当 =0时，a , b同向，当= 时，a， b反向，当=时，a， b垂直。2实数与向量的积：实数 与向量a的积

9、是一个向量，记作 a，它 的长度和方向规定如下：1矗| |a , 2当0时，a的方向与a 的方向一样，当0时，a的方向与a的方向相反，当 =0时，a 0 ,注意： a工0。例1 AD,BE分别是 ABC的边BC,AC上的中线，且AD a,BE b , 那么bc可用向量a,b表示为例 2、ABC 中，点 D 在 BC 边上，且 CD 2DB , CD r AB sAC , 那么r s的值是 2. 平面向量的数量积：如果两个非零向量a, b，它们的夹角为， 我们把数量|a|b|cos叫做a与b的数量积或内积或点积，记作: a?b,即a ? b = a b cos。规定：零向量与任一向量的数量积是

10、0 , 注意数量积是一个实数，不再是一个向量 。3. 向量的运算律：1.交换律：abba, a a , a?b b?a ;2 . 结合 律:abcab c,abca bc ,fr ¥ ¥a ?ba?b a? b ;3 .分配律：aaa, a b a b , a b ?c a?cb?c。题型&有关向量数量积的判断1：判断以下各命题正确与否：1(a b) c a (b c) ; 2假设 a b a c，那么 b c 当且 仅当a 0时成立；3(a b) c a c b c ; 4(a b) c a (b c)对任意 a,b,c 向量都成立；5假设a 0,a b a c

11、,那么b c ; 6对任意向量a，有 a2 a2。(7) m a bab其中正确的序号是。2、以下命题中：a (b c) abac : a (b c) (a b) c :(a b)2 |a|2 2|a| |b| | b |2 ； 假设 a b 0，那么 a 0 或 b 0 ； 假设a b c b,那么a c ；a2 a2 ；(2 b)2才F ； (a b)2 a 2a b b。其中正确的选项是题型9、求单位向量【与a平行的单位向量：】a (12,5)平行的单位向量是 平行的单位向量是 题型10、数量积与夹角公式：a b | a | |b |cos ；向量的模：假设 a (x, y)，那么 |a

12、| *.x2 y2 , a |a , |a b | (a b)2、中，|AB| 3， | AC | 4， | BC | 5，那么 AB BC2、a (1),b (0, -),c a kb,d a b， c与d的夹角为一，那么k等于2243> |a| 3,|b| 4，且 a 与 b 的夹角为 60，求1 a b， 2a (a b)，3， 4 (2a b) (a 3b)。4、a,b是两个非零向量，且a b a b，那么a与a b的夹角为5、a (j3,1),b ( 2“3,2)，求 a与 b 的夹角。6、A(1,0) ,B(0,1) , C(2,5),求 cos BAC。7、非零向量a,b满

13、足a b ,b (b 2a),那么S与b的夹角为 8： ABC中 ABC 50, BC BA,那么BA与AC的夹角为 9：向量a与向量b的夹角为120°,假设向量ca b，且a丄c,那I-么'的值为bl10：a = 1b = 2, |a + b| = 2,那么b与2a-b的夹角余弦值为.11 ：向量丨a | =、2 , | b | =2, a和b的夹角为135，当向量a +b与a+b的夹角为锐角时，求的取值范围题型11、求向量的模的问题如向量的模：假设a (x,y)，那么|a| ；x2 y2， a |af， |a b | <(a b)21、 零向量 a (2,1),a.

14、b 10, a b 5(2,贝y b 2、向量a,b满足閒1,|b 2, a b 2,则a b 3、向量 a(1,亦),b( 2,0),则 ab 4、向量a(1,sin),b(1,cos ),则ab的最大值为 5、设点M是线段的中点，点A在直线外，BC16, |aB AC|AB Ac,则AM '()(A) 8(B) 4(C)2(D)16、 设向量a ,b满足ab 1及4a 3b 3，求3a 5b的值练习：向量a,b满足a 2b 5王3求a b和a b|7、 设向量a , b满足 冋1,冃 2,5 (a 2b),则2 b的值为 8向量a、b满足a 1 , |b| 4，那么| a b |的

15、最大值是最小值是。题型12、结合三角函数求向量坐标1. O是坐标原点，点A在第二象限，|OA| 2， xOA 150，求OA的 坐标。O是原点，点A在第一象限，|OA| 4、3， xOA 60，求OA的坐标。五、平行与垂直知识点：a/b aa b a b 0x1x2 y1y20题型13：向量共线问题1、 平面向量a (2,3x),平面向量b ( 2, 18),假设a / b，那么实 数x2、 设向量a (2,),b (2,3)假设向量a b与向量c ( 4, 7)共线，那 么 3、 向量a (1,),b (2, x)假设a b与4b 2a平行，那么实数x的值是 A. -2 B. 0C. 1D.

16、 24、已知向量 OA (k,12),OB(4,5),OC( k,10),且A, B, C三点共线，则k 练习：设 PA (k,12),PB (4,5), PC (10,k)，那么 丘=时，共线5、a,b不共线，c ka b, d a b，如果c / d，那么c与d的方向关系是练习：a (1,1),b (4, x) , u a 2b , v 2a b，且 u/v，那么 X =6、向量 a (1,2),b ( 2, m),且 a / b，那么 2a 3b 题型14、向量的垂直问题1、 向量a (x,1),b (3,6)且a b，那么实数x的值为2、 向量 a (1, n),b ( 1, n),若

17、 2a b与b垂直，贝V a 练习：a= 1, 2，b =-3 , 2假设a2b与2a-4 b垂直，求实数 k的值3、单位向量m和n的夹角为一，求证：(2n m) m3-fM4、 a (3,1),b (1,3),c (k,2),若(a c) b,则 k 练习：a (1,2),b (2, 3),若向量c满足于(c a)/ b ,c (a b,则 c 5、 以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形，b 90 ,那么点B的坐标是题型15、b在a上的投影为|b|cos ,它是一个 实数，但不一定大于0。1、|a| 3 , | b | 5，且a b 12，那么向量a在向量b上的投影为2、 a 8

18、, e是单位向量，当它们之间的夹角为§时，a在e方向上的投影为。练习：耳5,| 4, a与b的夹角，那么向量b在向量a上的投影为题型16、三点共线问题AB 丄(a 5b), BC22a 8b,CD 3(a b)，求证：A、B、D 三点共线。练习：AB a 2b,BC 5a 6b, CD 7a 2b，那么一定共线的三点是o3. A(1, 3) , B(8, 1)，假设点C(2a 1,a 2)在直线AB上，求a的值。4.四个点的坐标0(0,0) , A(3,4),B( 1,2) , C(1,1),是否存在常数t ,使OA tOB OC成立?5:e!,e2是平面内不共线两向量，ABeike

19、2,CB2eie2,CD3eie?，假设A, B, D三点共线，那么k=6： 设O是直线i外一定点，A、B、C在直线i上，且ob 3oa xOC ,那么x = 7:设a , b是两个不共线向量，假设a与b起点一样，t R, _ 时，a, t b ,1(a + b)三向量的终点在一条直线上。8:如图，在中，点 0是的中点，过点 0的直线分别交直线、 于不同的两点M N,假设=,=，那么n的值为.9:在的边，上分别取点 M N,使| ： | = 1 : 3, | : | = 1 : 4, 设线段与交于点 卩，记=a,= b,用a, b表示向量.练习：如图，在中，=,=，与交于点M 设=a,= b.

20、(1)用a、b表示;(2)在线段上取一点E,在线段上取一点F,使过M点，设=,=, 求证：+= 1.六、线段的定比分点：1定比分点的概念：设点P是直线养上异于Pl、P2的任意 一点，假设存在一个实数，使即 PP2，那么 叫做点P分有向线段PP2所成的比，P点叫做有向线段 匝的以定比为 的定比 分点；2.的符号与分点P的位置之间的关系：当P点在线段， 上时>0；当P点在线段! 2的延长线上时V 1 ；当P点在线段2 !的延长线上时10 ；例1、假设点P分AB所成的比为3，那么A分丽所成的比为43 线段的定比分点公式：设P1(x1, y1) > P2(x2, y2) , P(x, y)

21、分有 向线段匝所成的比为，那么，特别地，当 =1时，就得到线 段! 2的中点公式。题型17、定比分点2、假设M-3 , -2N 6, -1且，那么点P的坐标为3、A(a,0), B(3,2 a),直线与线段AB交于M，且AM 2MB，那么a等 于七、平移公式：如果点P(x, y)按向量a h,k平移至P(x,y ),那么； 曲线f (x, y) 0按向量a h,k平移得曲线f(x h, y k) 0.注意：1 函数按向量平移与平常“左加右减有何联系？ 2向量平移具有坐标不变性，题型18、平移1、按向量a把(2, 3)平移到(1, 2),那么按向量a把点(7,2)平移到点2、函数y sin2x的

22、图象按向量a平移后，所得函数的解析式是y cos2x 1，那么 a =八、向量中一些常用的结论1一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注 意运用；2iGi ibiia bi iai ibi，特别地，当 ab同向或有 0|a bi iai ibiiiai ibii ia bi ；当 a、b 反向或有 0 a b ia ibi iiai ibii ia bi ；当 a、b不共线iiai ibii低biiai ibi（这些和实数比拟类似）.3在ABC中，假设AX"% ,B x2,y2 ,C化、*，那么其重 心的坐标为G X1 X2 X3,y1 y2 y3 o女口331、假设/的三边的

23、中点分别为2, 1、-3 , 4、-1 , -1 那么/的重心的坐标为PG1(PA PB PC)3G 为 ABC的重心,特另U地PA PBPC 0 P 为ABC的重心； PA PBPB PC PCPA P为 ABC的垂心；向量(ABAC )(0）所在直线过 ABC的内心（是BAC的角|ab| |AC|平分线所在直线）； i ABi PC i BC i PA |Ca| PB 0 P ABC 的内心；3假设P分有向线段 丽所成的比为，点M为平面内的任一 点，那么，特别地P为RF2的中点；4向量PA> PB> PC中三终点A、B、C共线存在实数、使得PA PB PC且1 .女口2、平面直

24、角坐标系中，O为坐标原点，两点A（3,1） , B（ 1,3），假设点C满足OC 1 OA 2OB ,其中1, 2 R且12 1,那么点C的轨迹是题型19、判断多边形的形状AB 3e , CD 5e，且|AD| |BC|,那么四边形的形状是 A(1,0) ,B(4,3) , C(2,4) ,D(0,2)，证明四边形 ABCD 是梯形。A( 2,1) , B(6, 3) , C(0,5)，求证：ABC 是直角三角形。4、在中，假设BA BA AB CB 0，那么 ABC的形状为 A .等腰三角形B .等边三角形C.等腰直角三角形D .直角三角形 5、在平面直角坐标系内，OA ( 1,8),OB

25、( 4,1),OC (1,3),求证：ABC是等腰直角三角形。6、平面四边形 ABCD 中，AB a , BC b , CD c , DA d，且 a b be cd d a，判断四边形ABCD的形状.题型20：三角形四心1、 ABC的三个顶点 AB、C及ABC所在平面内的一点 P,假设PA PB PC 0那么点P 是的A .重心B.垂心C .内心 D .外心2.点O是三角形所在平面上一点，假设OAOB OBOC OCOA那么O是三角形ABC的(A)内心B外心C重心D垂心- 22I 23、点O是三角形所在平面上一点，假设OA OB OC ，那么0是三角形ABC的 (A)内心B外心C重心D垂心练

26、习、0, N, P在 ABC所在平面内，且OA OB OC , NA NB NC 0，且PA?PB PB?PC PC? PA，那么点 0, N, P依次是 ABC的4、在平面内有0是的和点Q假设AB (OA OB) AC (OC OA) 0，那么点a .重心 B .垂心 C内心 D .外心A重心外心垂心B重心外心内心C外心重心垂心D外心重心内心5、点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足OP OA (AB AC), R,那么动点P 一定通过 ABC的 A内心B外心C重心D垂心6、点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足Op OA , R，那么动点P 一定通过 ABC的 A内心B外心C重心D垂心7、点O是平面上一个定点，A、B、C是平面内不共线三点，动点P满足OP OAAB