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文档简介
1、最值与存在性探索型问题一、探索最值问题例1 如图,ABC中,BC=4,AC=2,ACB=60°,P为BC上一点,过点P作PD/AB,交AC于D。连结AP,问点P在BC上何处时,APD的面积最大? 分析:从题目条件看本题是一个几何问题,而从所求结论看,是求最大值的代数问题,因此把几何问题转化为代数中的函数问题是指导我们思路的灵魂。为了实现这种转化,就要把静止转化为运动,把位置关系转化为数量关系,得出函数的解析式,使问题得以解决。 如设BP=x,则点P在BC边上的运动转化为x的取值变化,并且图形中APD的存在条件制约了x的取值,所以0<x<4,这些都体现了位置关系与数量关系的
2、转化。ABC的面积是常量,ABP,APD,PDC的面积都是变量,ABP面积虽然是变量,但BP边上的高是常量,PCD面积是变量,但变化中PCD始终与BCA相似,这些都是把几何问题转化为函数问题时常用的观点。 解:设BP=x,APD的面积为y。 作AHBC于H, 则AH=AC·sinC=2·=3。 SABC=BC·AH=×4×3=6。 SABP=BP·AH=x。 PD/AB,PCDBCA, =()2。 SPCD=·SABC=(4-x)2。 SAPD=SABC-SABP-SPCD。 y=6-x-(4-x)2, 化简得:y=-x2+
3、x。 x=2,即P为BC中点时,APD的面积最大。 二、探索存在性问题例2 (大连试题)如图所示,已知A(1,0)、B,为直角坐标系内两点,点C在x轴负半轴上,且OC=2OA,以A点为圆心、OA为半径作A。直线CD切A于D点,连结OD。 (1)求点D的坐标; (2)求经过O、B、D三点的抛物线的解析式; (3)判断在(2)中所得的抛物线上是否存在一点P,使DCPOCD?若存在,求出P点坐标;若不存在,请说明理由。 思路:本例中第(3)小题是结论探索型题目。欲判断在第2小题中得到的抛物线上是否存在一点P,使DCPOCD,可从代数、几何两个方面入手去考虑。从代数入手,可先求抛物线与x轴的交点坐标,
4、然后证明该点在A上,进而证明该点满足条件DCPOCD。从几何入手,可先考虑A与x轴的另一交点(设为F)。不难证明DCFOCD。再证明点在(2)中所得的抛物线上,进而知F即为P点。 解:(1)连结AD,则ADCD于D,作DEOA于E。 点A坐标为(1,0),且OC=2OA,AC=3, sinACD=, sinADE=, AE=,因而OE=1=, DE=, D点坐标为(). (2)设抛物线y=ax2+bx+c经过O(0,0)、B()、D(), 则C=0,且 解得:, 所求的抛物线的解析式为y=-x2+x. (3)设A与x轴的另一个交点为F(2,0),连结DF, CD切A于D,CDO=CFD, 又D
5、CO=FCD,OCDDCF, 将x=2代入y=-x2+x中,得y=0, F(2,0)在抛物线上, 点F即为所求的P点, 抛物线y=-x2+x上存在一点P,使PCDDCO。 说明:本例并未要求考生判断结论的唯一性,若存在,找到一个就可以了,在这里,观察、分析,采用合情推理进行判断起了关键作用。 例3 已知点A(-1,-1)在抛物线y=(k2-1)x2-2(k-2)x+1上。 (1)求抛物线的对称轴。 (2)若B与A点关于抛物线的对称轴对称,问是否存在与抛物线只交于一点B的直线?如果存在,求符合条件的直线;如果不存在,说明理由。 思路(1)用待定系数法确定函数解析式,从而求抛物线对称轴。 (2)由
6、轴对称性可求B点坐标。结合图形进行综合分析,利用解方程组判定直线的存在性。 解答:(1) A(-1,-1)在抛物线y=(k2-1)x2-2(k-2)x+1上, -1=k2-1+2(k-2)+1, k2+2k-3=0, k1=1, k2=-3, k2-10, k1=1(舍去), k=-3. y=8x2+10x+1, 得对称轴为x=-. (2) B点与A点关于x=-对称, B点坐标为(x, -1),且B点在抛物线上, 由(1)知,抛物线为y=8x2+10x+1. -1=8x2+10x+1, 4x2+5x+1=0, x1=-1, x2=-, B点坐标为(-,-1). (i)假设存在直线y=mx+n与抛物线y=8x2+10x+1只交于一点B,则-1=-m+n,即 m-4n=4. 又由只有一个实数解, 得8x2+(10-m)x+1-n=0 =0, (10-m)2-32(1-n)=0. 由,解得y=6x+. (ii)当直线过B(-,-1)且与y轴平行时,直线与抛物线只有一个交点,此时直线为x=-. 符合条件的直线为y=6x+,x=-. 误区:误认为与抛物线只有一个公共点的直线只有y=6x+或x=-. 说明:在结论探索题中,常见的一类就是探索存在性的问题,这类问题的特点是探求命题的结论是
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