最值与存在性探索型问题(含解答)-

1、最值与存在性探索型问题一、探索最值问题例1 如图，ABC中，BC=4，AC=2，ACB=60°，P为BC上一点，过点P作PD/AB，交AC于D。连结AP，问点P在BC上何处时，APD的面积最大？ 分析：从题目条件看本题是一个几何问题，而从所求结论看，是求最大值的代数问题，因此把几何问题转化为代数中的函数问题是指导我们思路的灵魂。为了实现这种转化，就要把静止转化为运动，把位置关系转化为数量关系，得出函数的解析式，使问题得以解决。 如设BP=x，则点P在BC边上的运动转化为x的取值变化，并且图形中APD的存在条件制约了x的取值，所以0<x<4，这些都体现了位置关系与数量关系的

2、转化。ABC的面积是常量，ABP，APD，PDC的面积都是变量，ABP面积虽然是变量，但BP边上的高是常量，PCD面积是变量，但变化中PCD始终与BCA相似，这些都是把几何问题转化为函数问题时常用的观点。 解：设BP=x，APD的面积为y。 作AHBC于H， 则AH=AC·sinC=2·=3。 SABC=BC·AH=×4×3=6。 SABP=BP·AH=x。 PD/AB，PCDBCA， =()2。 SPCD=·SABC=(4-x)2。 SAPD=SABC-SABP-SPCD。 y=6-x-(4-x)2， 化简得：y=-x2+

3、x。 x=2，即P为BC中点时，APD的面积最大。 二、探索存在性问题例2 （大连试题）如图所示，已知A(1,0)、B，为直角坐标系内两点，点C在x轴负半轴上，且OC=2OA，以A点为圆心、OA为半径作A。直线CD切A于D点，连结OD。 （1）求点D的坐标； （2）求经过O、B、D三点的抛物线的解析式； （3）判断在（2）中所得的抛物线上是否存在一点P，使DCPOCD？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由。 思路：本例中第（3）小题是结论探索型题目。欲判断在第2小题中得到的抛物线上是否存在一点P，使DCPOCD，可从代数、几何两个方面入手去考虑。从代数入手，可先求抛物线与x轴的交点坐标，

4、然后证明该点在A上，进而证明该点满足条件DCPOCD。从几何入手，可先考虑A与x轴的另一交点（设为F）。不难证明DCFOCD。再证明点在（2）中所得的抛物线上，进而知F即为P点。 解：（1）连结AD，则ADCD于D,作DEOA于E。 点A坐标为（1，0），且OC=2OA，AC=3， sinACD=, sinADE=, AE=,因而OE=1=， DE=， D点坐标为(). （2）设抛物线y=ax2+bx+c经过O(0,0)、B()、D(), 则C=0，且 解得：， 所求的抛物线的解析式为y=-x2+x. （3）设A与x轴的另一个交点为F(2,0)，连结DF， CD切A于D，CDO=CFD， 又D

5、CO=FCD，OCDDCF， 将x=2代入y=-x2+x中，得y=0， F（2，0）在抛物线上， 点F即为所求的P点， 抛物线y=-x2+x上存在一点P，使PCDDCO。 说明：本例并未要求考生判断结论的唯一性，若存在，找到一个就可以了，在这里，观察、分析，采用合情推理进行判断起了关键作用。 例3 已知点A(-1,-1)在抛物线y=(k2-1)x2-2(k-2)x+1上。 （1）求抛物线的对称轴。 （2）若B与A点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B的直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由。 思路（1）用待定系数法确定函数解析式，从而求抛物线对称轴。 （2）由

6、轴对称性可求B点坐标。结合图形进行综合分析，利用解方程组判定直线的存在性。 解答：（1） A(-1,-1)在抛物线y=(k2-1)x2-2(k-2)x+1上， -1=k2-1+2(k-2)+1, k2+2k-3=0, k1=1, k2=-3, k2-10, k1=1(舍去), k=-3. y=8x2+10x+1, 得对称轴为x=-. （2） B点与A点关于x=-对称， B点坐标为(x, -1)，且B点在抛物线上， 由(1)知，抛物线为y=8x2+10x+1. -1=8x2+10x+1, 4x2+5x+1=0, x1=-1, x2=-, B点坐标为(-,-1). (i)假设存在直线y=mx+n与抛物线y=8x2+10x+1只交于一点B，则-1=-m+n，即 m-4n=4. 又由只有一个实数解， 得8x2+(10-m)x+1-n=0 =0, (10-m)2-32(1-n)=0. 由,解得y=6x+. (ii)当直线过B(-,-1)且与y轴平行时，直线与抛物线只有一个交点，此时直线为x=-. 符合条件的直线为y=6x+，x=-. 误区：误认为与抛物线只有一个公共点的直线只有y=6x+或x=-. 说明：在结论探索题中，常见的一类就是探索存在性的问题，这类问题的特点是探求命题的结论是