202X届高考数学一轮复习第五章平面向量与解三角形5.3正弦、余弦定理及解三角形课件

1、 5.3正弦、余弦定理及解三角形高考数学高考数学 (浙江专用)考点一正弦、余弦定理考点一正弦、余弦定理A A组自主命题组自主命题浙江卷题组浙江卷题组五年高考1.(2019浙江,14,6分)在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若BDC=45,则BD=,cosABD=.答案答案;12 257 210解析解析本题考查了两角差的余弦公式和正弦定理,通过解三角形考查了运算求解能力,通过长度和角度的计算体现了数学运算的核心素养.在BDC中,BC=3,sinBCD=,BDC=45,45由正弦定理得=,则BD=,在ABD中,sinBAD=,cosBAD=,ADB=135,cosAB

2、D=cos180-(135+BAD)=cos(45-BAD)=cos45cosBAD+sin45sinBAD=.sinBDBCDsinBCBDC4352212 2535452243557 210思路分析思路分析在BCD中,由正弦定理求BD的值;cosABD的值可通过两角差的余弦公式求解.解题反思解题反思三角恒等变换和正弦定理、余弦定理是解三角形的基础知识,在熟练掌握的前提下,应比较运算量大小,从而选取比较理想的解法.2.(2018浙江,13,6分)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60,则sinB=,c=.7答案答案;3217解析解析本题考查正弦定理、余弦定

3、理.由=得sinB=sinA=,由a2=b2+c2-2bccosA,得c2-2c-3=0,解得c=3(舍负).sinaAsinbBba2171.(2017浙江,11,4分)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率,理论上能把的值计算到任意精度.祖冲之继承并发展了“割圆术”,将的值精确到小数点后七位,其结果领先世界一千多年.“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积S6,S6=.考点二解三角形及其综合应用考点二解三角形及其综合应用答案答案3 32解析解析本题考查圆内接正六边形面积的计算.S6=611sin60=.123 322.(2017浙江,14,6分)已知ABC,AB=AC=4

4、,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则BDC的面积是,cosBDC=.答案答案;152104解析解析本题考查余弦定理,同角三角函数关系式,二倍角公式,三角形面积公式,考查运算求解能力.AB=AC=4,BC=2,cosABC=,ABC为三角形的内角,sinABC=,sinCBD=,故SCBD=22=.BD=BC=2,ABC=2BDC.又cosABC=,2cos2BDC-1=,得cos2BDC=,又BDC为锐角,cosBDC=.2222ABBCACAB BC14154154121541521414581043.(2016浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别

5、为a,b,c.已知b+c=2acosB.(1)证明:A=2B;(2)若ABC的面积S=,求角A的大小.24a解析解析(1)证明:由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B).由已知得cosB0,则B.又A(0,),故-A-B.所以,B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以,A=2B.0,22(2)由S=得absinC=,故有sinBsinC=sin2B=sinBcosB,因sinB0,得sinC=cosB.又B,C(0,),所以C=B.当B

6、+C=时,A=;当C-B=时,A=.24a1224a120,222224综上,A=或A=.24评析评析本题主要考查三角函数及其变换、正弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查运算求解能力.4.(2015浙江,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2.(1)求tanC的值;(2)若ABC的面积为3,求b的值.412解析解析(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos2B=sin2C.又由A=,即B+C=,得-cos2B=sin2C=2sinCcosC,解得tanC=2.(2)由tanC=2,C(0,)得sinC=

7、,cosC=.又因为sinB=sin(A+C)=sin,所以sinB=.由正弦定理得c=b,又因为A=,bcsinA=3,所以bc=6,故b=3.1212124342 55554C3 10102 234122评析评析本题主要考查三角函数、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.5.(2015浙江文,16,14分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan=2.(1)求的值;(2)若B=,a=3,求ABC的面积.4A2sin2sin2cosAAA4解析解析(1)由tan=2,得tanA=,所以=.(2)由tanA=,A(0,),得sinA=,cosA=.又由a=3,B=及正

8、弦定理=,得b=3.由sinC=sin(A+B)=sin得sinC=.设ABC的面积为S,则S=absinC=9.4A132sin2sin2cosAAA2tan2tan1AA251310103 10104sinaAsinbB54A2 5512评析评析本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识,同时考查运算求解能力.考点一正弦、余弦定理考点一正弦、余弦定理B B组统一命题、省（区、市）卷题组组统一命题、省（区、市）卷题组1.(2018课标全国理,6,5分)在ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=()A.4B.C.D.22C55230295答案答案A本题考查二倍角公式和余弦定理.cos

9、=,cosC=2cos2-1=2-1=-,又BC=1,AC=5,AB=4.故选A.2C552C1535222cosBCACBC ACC31252 1 55 22.(2017课标全国文,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=,则C=()A.B.C.D.212643答案答案B在ABC中,sinB=sin(A+C),则sinB+sinA(sinC-cosC)=sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,即sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,cosAsinC+sinAsi

10、nC=0,sinC0,cosA+sinA=0,即tanA=-1,即A=.由=得=,sinC=,又0C,C=,故选B.34sinaAsincC2222sinC12463.(2017山东理,9,5分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC为锐角三角形,且满足sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案答案A本题考查三角公式的运用和正弦定理、余弦定理.解法一:因为sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,所以sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sin(

11、A+C),所以sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sinB,即cosC(2sinB-sinA)=0,所以cosC=0或2sinB=sinA,即C=90或2b=a,又ABC为锐角三角形,所以0Cc2,故2b=a,故选A.方法总结方法总结解三角形时,可以由正弦定理、余弦定理将边角互化,边角统一后,化简整理即可求解.注意灵活运用三角公式.4.(2016天津,3,5分)在ABC中,若AB=,BC=3,C=120,则AC=()A.1B.2C.3D.413答案答案A在ABC中,设A,B,C所对的边分别为a,b,c,则由c2=a2+b2-2abcosC,得13=9+b2-23b,即b2+3b-4

12、=0,解得b=1(负值舍去),即AC=1.故选A.12评析评析本题考查了余弦定理的应用和方程思想,属容易题.5.(2019课标全国文,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B=.答案答案34解析解析本题考查正弦定理及三角函数求值,考查的核心素养为数学运算.在ABC中,由已知及正弦定理得sinBsinA+sinAcosB=0,sinA0,sinB+cosB=0,即tanB=-1,又B(0,),B=.346.(2018课标全国文,16,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c

13、2-a2=8,则ABC的面积为.答案答案2 33解析解析本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用以及三角形面积的求解.由已知条件及正弦定理可得2sinBsinC=4sinAsinBsinC,易知sinBsinC0,sinA=,又b2+c2-a2=8,cosA=,cosA0,cosA=,即=,bc=,ABC的面积S=bcsinA=.122222bcabc4bc324bc328 3312128 33122 33解题关键解题关键正确利用正弦定理将“边”转化为“角”,求出sinA是解决本题的关键.7.(2016课标全国,13,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,c

14、osC=,a=1,则b=.45513答案答案2113解析解析由已知可得sinA=,sinC=,则sinB=sin(A+C)=+=,再由正弦定理可得=b=.351213355134512136365sinaAsinbB63165352113解后反思解后反思在解三角形的问题中,给出边长及角的正弦或余弦值时,往往要用到两角和或差的正、余弦公式及正、余弦定理.8.(2015天津,13,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为3,b-c=2,cosA=-,则a的值为.1514答案答案8解析解析因为cosA=-,0A0,由cosB求sinB仅有一正解.12.(2019北

15、京文,15,13分)在ABC中,a=3,b-c=2,cosB=-.(1)求b,c的值;(2)求sin(B+C)的值.12解析解析本题主要考查余弦定理及其推论的应用,旨在考查学生在解三角形中的运算求解能力,以求三角形边为背景考查数学运算的核心素养和方程思想.(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=32+c2-23c.因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c.解得c=5.所以b=7.(2)由cosB=-得sinB=.由正弦定理得sinA=sinB=.在ABC中,B+C=-A.所以sin(B+C)=sinA=.12121232ab3 3143 31413.(2019江苏

16、,15,14分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.(1)若a=3c,b=,cosB=,求c的值;(2)若=,求sin的值.223sin Aacos2Bb2B解析解析本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识,考查运算求解能力.满分14分.(1)因为a=3c,b=,cosB=,由余弦定理得cosB=,得=,即c2=.所以c=.2232222acbac23222(3 )( 2)2 3ccc c1333(2)因为=,由正弦定理=,得=,所以cosB=2sinB.从而cos2B=(2sinB)2,即cos2B=4(1-cos2B),故cos2B=.因为sinB

17、0,所以cosB=2sinB0,从而cosB=.因此sin=cosB=.sin Aacos2BbsinaAsinbBcos2Bbsin Bb452 552B2 5514.(2019课标全国理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.(1)求A;(2)若a+b=2c,求sinC.2解析解析本题主要考查学生对正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换的掌握;考查了学生的运算求解能力;考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦

18、定理得cosA=.因为0A180,所以A=60.(2)由(1)知B=120-C,由题设及正弦定理得sinA+sin(120-C)=2sinC,即+cosC+sinC=2sinC,可得cos(C+60)=-.由于0C120,所以sin(C+60)=,故sinC=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos60-cos(C+60)sin60=.2222bcabc1226232122222624思路分析思路分析(1)先借助正弦定理将角化为边,然后利用余弦定理求出角A的余弦值,进而得出角A.(2)利用正弦定理将已知等式中的边化为角,利用三角恒等变换将原式化为含有角C的正弦、余弦的等式,利用角度变

19、换求出sinC.15.(2019北京理,15,13分)在ABC中,a=3,b-c=2,cosB=-.(1)求b,c的值;(2)求sin(B-C)的值.12解析解析本题主要考查正弦、余弦定理,同角三角函数的基本关系式,两角差的正弦公式等知识点,考查学生的运算能力,以及利用方程思想解决数学问题的能力,同时体现了直观想象的核心素养.(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=32+c2-23c.因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c.解得c=5.所以b=7.(2)由cosB=-得sinB=.由正弦定理得sinC=sinB=.在ABC中,B是钝角,所以C为锐角.所以cosC

20、=.所以sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=.12121232cb5 31421 sin C11144 3716.(2018课标全国理,17,12分)在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=2,求BC.2解析解析(1)在ABD中,由正弦定理得=.由题设知,=,所以sinADB=.由题设知,ADB90,所以cosADB=.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252=25.所以BC=5.sinBDAsinABADB5s

21、in452sinADB25212523525225方法总结方法总结正、余弦定理的应用原则.(1)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其中一对的比值或等量关系就可以通过该定理解决问题,在解题时要学会灵活运用.(2)运用余弦定理时,要注意整体思想的应用.(3)在利用正、余弦定理判断三角形形状时,等式两边一般不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.(4)在利用正弦定理求三角形解的个数问题时,可能会出现一解、两解或无解的情况,所以解答此类问题时需要进行分类讨论,以免漏解或增解.17.(2016江苏,15,14分)在ABC中,AC=6,cosB=,C=.(1)求AB的长;(2)求cos的

22、值.4546A解析解析(1)因为cosB=,0B,所以sinB=.由正弦定理知=,所以AB=5.(2)在ABC中,A+B+C=,所以A=-(B+C),于是cosA=-cos(B+C)=-cos=-cosBcos+sinBsin,又cosB=,sinB=,故cosA=-+=-.因为0A,所以sinA=.因此,cos=cosAcos+sinAsin=-+=.4521 cos B241535sinACBsinABCsinsinACCB2623524B4445354522352221021 cos A7 2106A66210327 210127 2620评析评析本题主要考查正弦定理、同角三角函数关系与

23、两角和(差)的三角函数,考查运算求解能力.18.(2015课标,17,12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍.(1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.sinsinBC22解析解析(1)SABD=ABADsinBAD,SADC=ACADsinCAD.因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得=.(2)因为SABD SADC=BD DC,所以BD=.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+

24、2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.1212sinsinBCACAB1221.(2018课标全国文,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC的面积为,则C=()A.B.C.D.2224abc2346考点二解三角形及其综合应用考点二解三角形及其综合应用答案答案C因为a2+b2-c2=2abcosC,且SABC=,所以SABC=absinC,所以tanC=1,又C(0,),所以C=.故选C.2224abc2cos4abC1242.(2019课标全国理,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B=,则ABC的面积为.3答

25、案答案63解析解析本题考查解三角形,余弦定理,三角形面积公式;通过余弦定理和三角形面积公式的运用考查推理论证能力和运算求解能力;考查的核心素养为逻辑推理和数学运算.由b2=a2+c2-2accosB及已知得62=(2c)2+c2-22cc,c=2(c=-2舍去).a=2c=4,ABC的面积S=acsinB=42=6.123331212333233.(2018北京文,14,5分)若ABC的面积为(a2+c2-b2),且C为钝角,则B=;的取值范围是.34ca答案答案;(2,+)3解析解析本题主要考查正弦、余弦定理,三角形面积公式,三角恒等变换.依题意有acsinB=(a2+c2-b2)=2acc

26、osB,则tanB=,0B,又A0,0A,则0tanA,故+=2.故的取值范围为(2,+).12343433casinsinCA2sin3sinAA123cos2sinAA12321tan A2326331tan A3ca12323ca4.(2017课标全国文,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60,b=,c=3,则A=.6答案答案75解析解析由正弦定理得=,sinB=,又cb,B=45,A=75.3sin606sinB22易错警示易错警示本题求得sinB=后,要注意利用bc确定B=45,从而求得A=75.225.(2015课标,16,5分)在平面四边形ABCD

27、中,A=B=C=75,BC=2,则AB的取值范围是.答案答案(-,+)6262解析解析如图,依题意作出四边形ABCD,连接BD.令BD=x,AB=y,CDB=,CBD=.在BCD中,由正弦定理得=.由题意可知,ADC=135,则ADB=135-.在ABD中,由正弦定理得=,所以=,即y=.2sinsin75xsin75xsin(135)ysin(135)y2sin2sin(135)sin2sin90(45 )sin2cos(45 )sin2(cossin )sin因为075,+75=180,所以30105,当=90时,易得y=;当90时,y=,又tan30=,tan105=tan(60+45)

28、=-2-,结合正切函数的性质知,22(cossin )sin211tan33tan60tan451tan60 tan4531tan(-2,),且0,所以y=(-,)(,+).综上所述:y(-,+).331tan211tan6222626262评析评析本题考查了三角函数和解三角形,利用函数的思想方法是求解关键,属偏难题.6.(2015北京,12,5分)在ABC中,a=4,b=5,c=6,则=.sin2sinAC答案答案1解析解析在ABC中,由余弦定理可得cosA=,由正弦定理可知=1.2222bcabc2225642 5 6 34sin2sinAC2sincossinAAC2cosaAc3244

29、6 评析评析本题主要考查正弦定理、余弦定理的推论以及二倍角公式的应用,考查学生的运算求解能力和知识的应用转化能力.7.(2019课标全国文,18,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin=bsinA.(1)求B;(2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围.2AC解析解析本题考查了正弦定理、二倍角公式、三角形面积公式以及学生对三角恒等变换的掌握情况;考查学生逻辑推理能力和运算求解能力;考查了逻辑推理和数学运算的核心素养.(1)由题设及正弦定理得sinAsin=sinBsinA.因为sinA0,所以sin=sinB.由A+B+C=180,可得sin=co

30、s,故cos=2sincos.因为cos0,故sin=,因此B=60.2AC2AC2AC2B2B2B2B2B2B12(2)由题设及(1)知ABC的面积SABC=a.由正弦定理得a=+.由于ABC为锐角三角形,故0A90,0C90.由(1)知A+C=120,所以30C90,故a2,从而SABC.34sinsincACsin(120)sinCC32tanC12123832因此,ABC面积的取值范围是.33,82思路分析思路分析(1)用正弦定理将边化成角,再利用三角恒等变换求解角B.(2)用正弦定理先表示出a,再用面积公式和锐角三角形的性质求出角C的范围,进而求出ABC面积的取值范围.8.(2018

31、北京理,15,13分)在ABC中,a=7,b=8,cosB=-.(1)求A;(2)求AC边上的高.17解析解析(1)在ABC中,因为cosB=-,所以sinB=.由正弦定理得sinA=.由题设知B,所以0A.所以A=.(2)在ABC中,因为sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=,所以AC边上的高为asinC=7=.1721 cos B4 37sinaBb322233 3143 3143 329.(2018天津文,16,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsinA=acos.(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B

32、)的值.6B解析解析本题主要考查同角三角函数的基本关系,两角差的正弦与余弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识,考查运算求解能力.(1)在ABC中,由正弦定理=,可得bsinA=asinB,又由bsinA=acos,得asinB=a-cos,即sinB=cos,可得tanB=.又因为B(0,),可得B=.(2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=,有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=.由bsinA=acos,可得sinA=.因为ac,故cosA=.因此sin2A=2sinAcosA=,cos2A=2cos2A-1=.所以,sin(2A-B)=sin2

33、AcosB-cos2AsinB=-=.sinaAsinbB6B6B6B33376B37274 37174 371217323 31410.(2017课标全国理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ABC的面积为.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求ABC的周长.23sinaA解析解析本题考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换,考查学生利用三角形面积公式进行运算求解的能力.(1)由题设得acsinB=,即csinB=.由正弦定理得sinCsinB=.故sinBsinC=.(2)由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-,即c

34、os(B+C)=-.所以B+C=,故A=.由题设得bcsinA=,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=.故ABC的周长为3+.1223sinaA123sinaA12sin3sinAA2312122331223sinaA3333思路分析思路分析(1)首先利用三角形的面积公式可得acsinB=,然后利用正弦定理,把边转化成角的形式,即可得出sinBsinC的值;(2)首先利用sinBsinC的值以及题目中给出的6cosBcosC=1,结合两角和的余弦公式求出B+C,进而得出A,然后利用三角形的面积公式和a的值求出bc的值,最后利用余弦定理求出b+c的

35、值,进而得出ABC的周长.1223sinaA方法总结方法总结解三角形的综合应用.(1)应用正弦定理、余弦定理主要是将条件转化为仅有边或仅有角的形式,以便进一步化简计算,例如:将csinB=变形为sinCsinB=.(2)三角形面积公式:S=absinC=acsinB=bcsinA.(3)三角形的内角和为.这一性质经常在三角化简中起到消元的作用,例如:在ABC中,sin(B+C)=sinA.123sinaA12sin3sinAA12121211.(2017课标全国理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinA+cosA=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为B

36、C边上一点,且ADAC,求ABD的面积.37解析解析本题考查解三角形.(1)由已知可得tanA=-,所以A=.在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去),或c=4.(2)由题设可得CAD=,所以BAD=BAC-CAD=.故ABD面积与ACD面积的比值为=1.又ABC的面积为42sinBAC=2,所以ABD的面积为.32323261sin2612AB ADAC AD1233思路分析思路分析(1)由sinA+cosA=0,可求得tanA=-,注意到A是三角形内角,得A=,再由余弦定理求c.(2)由题意知CAD=,BAD=,于是可求得的值,再由S

37、ABC=42sinBAC=2得解.332326ABDACDSS123一题多解一题多解(2)另解一:由余弦定理得cosC=,在RtACD中,cosC=,CD=,AD=,DB=CD=,SABD=SACD=2sinC=.另解二:BAD=,由余弦定理得cosC=,CD=,AD=,SABD=4sinDAB=.另解三:过B作BE垂直AD,交AD的延长线于E,在ABE中,EAB=-=,AB=4,BE=2,BE=CA,从而可得ADC EDB,BD=DC,即D为BC中点,SABD=SABC=24sinCAB=.27ACCD73712773736277312332326121212312.(2016课标全国,17

38、,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求C;(2)若c=,ABC的面积为,求ABC的周长.73 32解析解析(1)由已知及正弦定理得,2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,(2分)2cosCsin(A+B)=sinC.故2sinCcosC=sinC.(4分)可得cosC=,所以C=.(6分)(2)由已知,得absinC=.又C=,所以ab=6.(8分)由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcosC=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.(10分)所以ABC的周长为5+.(12分)123123

39、3237评析评析本题重点考查了正弦定理、余弦定理及三角形面积公式,同时,对三角恒等变换的公式也有所考查.在解题过程中,要注意先将已知条件中的“边”与“角”的关系,通过正弦定理转化为“角”之间的关系,再运用三角函数知识求解.13.(2016北京,15,13分)在ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求B的大小;(2)求cosA+cosC的最大值.22解析解析(1)由余弦定理及题设得cosB=.又因为0B,所以B=.(6分)(2)由(1)知A+C=.cosA+cosC=cosA+cos=cosA-cosA+sinA=cosA+sinA=cos.(11分)因为0A,所以当A=时,cosA+cosC

40、取得最大值1.(13分)2222acbac22acac224342234A2222222224A3442思路分析思路分析第(1)问条件中有边的平方和边的乘积,显然应选用余弦定理求解.第(2)问用三角形内角和定理将原三角函数式化为只含一个角的三角函数式,再注意角的取值范围,问题得解.评析评析本题考查余弦定理、三角恒等变换及三角函数的性质.属中档题.14.(2015四川,19,12分)如图,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.(1)证明:tan=;(2)若A+C=180,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan+tan+tan+tan的值.2A1 cossinAA2A2B2C2D

41、解析解析(1)证明:tan=.(2)由A+C=180,得C=180-A,D=180-B.由(1),有tan+tan+tan+tan=+=+.连接BD.在ABD中,有BD2=AB2+AD2-2ABADcosA,在BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BCCDcosC,所以AB2+AD2-2ABADcosA=BC2+CD2+2BCCDcosA.则cosA=.于是sinA=.2Asin2cos2AA22sin22sincos22AAA1 cossinAA2A2B2C2D1 cossinAA1 cossinBB1cos(180)sin(180)AA1cos(180)sin(180)BB2sin A2s

42、in B22222()ABADBCCDAB ADBC CD222265342 (6 53 4) 3721 cos A23172 107连接AC.同理可得cosB=,于是sinB=.所以,tan+tan+tan+tan=+=+=.22222()ABBCADCDAB BCAD CD222263542 (6 35 4) 11921 cos B211196 10192A2B2C2D2sin A2sin B2 72 102 196 104 103评析评析本题主要考查二倍角公式、诱导公式、余弦定理、简单的三角恒等变换等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程、化归与转化等数学思想.考点一正

43、弦、余弦定理考点一正弦、余弦定理C C组教师专用题组组教师专用题组1.(2017课标全国文,16,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B=.答案答案3解析解析由正弦定理及三角形的内角和定理或余弦定理可得.解法一:2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinBcosB=B=.解法二:由余弦定理可得2bcosB=a+c,所以2bcosB=b,故cosB=.又B为ABC的内角,故B=.1232222abcab2222bcabc123名师点睛名师点睛解三角形问题,多为边或角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理

44、结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤:第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向.第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实现边角之间的互化.第三步:求结果.2.(2015重庆,13,5分)在ABC中,B=120,AB=,A的角平分线AD=,则AC=.23答案答案6解析解析依题意知BDA=C+BAC,由正弦定理得=,sin=,C+BAC=180-B=60,C+BAC=45,BAC=30,C=30.从而AC=2ABcos30=.122sinBDA3sinB12CBAC221263.(2017山东文,17,12分)

45、在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,=-6,SABC=3,求A和a.ABAC解析解析本题考查向量数量积的运算及解三角形.因为=-6,所以bccosA=-6,又SABC=3,所以bcsinA=6,因此tanA=-1,又0A0).则a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC.代入+=中,有+=,变形可得sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B).在ABC中,由A+B+C=,有sin(A+B)=sin(-C)=sinC,所以sinAsinB=sinC.sinaAsinbBsincCcos AacosBbsinCccossinAkAcossinB

46、kBsinsinCkC(2)由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有cosA=.所以sinA=.由(1)可知sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB,所以sinB=cosB+sinB,故tanB=4.652222bcabc3521 cos A45454535sincosBB评析评析本题考查的知识点主要是正、余弦定理以及两角和的正弦公式.1.(2017北京理,15,13分)在ABC中,A=60,c=a.(1)求sinC的值;(2)若a=7,求ABC的面积.37考点二解三角形及其综合应用考点二解三角形及其综合应用解析解析本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式.(1)在

47、ABC中,因为A=60,c=a,所以由正弦定理得sinC=.(2)因为a=7,所以c=7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得72=b2+32-2b3,解得b=8或b=-5(舍).所以ABC的面积S=bcsinA=83=6.37sincAa37323 31437121212323解后反思解后反思根据所给等式的结构特点,利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关键.在求解面积时,经常用余弦定理求出两边乘积.2.(2017课标全国理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cosB;(2)若a+c=6,ABC的面积为2,

48、求b.2B解析解析本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用.(1)由题设及A+B+C=得sinB=8sin2,故sinB=4(1-cosB).上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去)或cosB=.(2)由cosB=得sinB=,故SABC=acsinB=ac.又SABC=2,则ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2=4.所以b=2.2B151715178171241717217215117解后反思解后反思在余弦定理和三角形面积公式的运用过程中,要注意“整体运算”的技巧.如本题中

49、b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)中的转化就说明了这一点.3.(2017江苏,18,16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为32cm,容器的底面对角线AC的长为10cm,容器的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器和容器中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;(2)将l放在容器中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.7解析解

50、析本小题主要考查正棱柱、正棱台的概念,考查正弦定理、余弦定理等基础知识,考查空间想象能力和运用数学模型及数学知识分析和解决实际问题的能力.(1)由正棱柱的定义,CC1平面ABCD,所以平面A1ACC1平面ABCD,CC1AC.记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.因为AC=10,AM=40,所以MC=30,从而sinMAC=.记AM与水面的交点为P1,过P1作P1Q1AC,Q1为垂足,则P1Q1平面ABCD,故P1Q1=12,从而AP1=16.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24cm)72240(10 7)3411sinPQMAC

51、(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,OO1平面EFGH,所以平面E1EGG1平面EFGH,O1OEG.同理,平面E1EGG1平面E1F1G1H1,O1OE1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.过G作GKE1G1,K为垂足,则GK=OO1=32.因为EG=14,E1G1=62,所以KG1=24,从而GG1=40.设EGG1=,ENG=,62 142221KGGK222432则sin=sin=cosKGG1=.因为,所以cos=-.在ENG中,由正弦定理可得=,解得sin=.因为00,所以A.于是sinA+sinC=sinA+sin=sinA+cos2A=-2sin2A

52、+sinA+1=-2+.sincosAAabsinsinAB2A2,22222A20,422A21sin4A98因为0A,所以0sinA,因此-2+.由此可知sinA+sinC的取值范围是.4222221sin4A98982 9,28评析评析本题以解三角形为背景,考查三角恒等变换及三角函数的图象与性质,对考生思维的严谨性有较高要求.5.(2015陕西,17,12分)ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求ABC的面积.37解析解析(1)因为mn,所以asinB-bcosA=0,由正弦定理,得sinA

53、sinB-sinBcosA=0,又sinB0,从而tanA=,由于0A0,所以c=3.故ABC的面积为bcsinA=.解法二:由正弦定理,得=,从而sinB=,又由ab,知AB,所以cosB=.故sinC=sin(A+B)=sin73123 327sin32sin B2172 773B=sinBcos+cosBsin=.所以ABC的面积为absinC=.333 2114123 326.(2015安徽,16,12分)在ABC中,A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.342解析解析设ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bcc

54、osBAC=(3)2+62-236cos=18+36-(-36)=90,所以a=3.又由正弦定理得sinB=,由题设知0B,所以cosB=.在ABD中,由正弦定理得AD=.223410sinbBACa33 101010421 sin B11103 1010sinsin(2 )ABBB6sin2sincosBBB3cosB10考点一正弦、余弦定理考点一正弦、余弦定理三年模拟A A组组 20172019 20172019年高考模拟年高考模拟考点基础题组考点基础题组1.(2019浙江杭州高级中学高三上期中,5)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=()A.2B.1C.5D.1225答案

55、答案D因为SABC=ABBCsinB=sinB=,所以sinB=,所以B=或.当B=时,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=1,则AC=1,此时ABC显然为直角三角形,舍去;当B=时,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2ABBCcosB=5,则AC=,此时ABC为钝角三角形.故选D.1222122243443452.(2018浙江台州第一次调考(4月),7)在ABC中,边a,b,c所对的角分别为A,B,C,若a2=b2+c2-bc,sinC=2cosB,则()A.A=B.B=C.c=bD.c=2a3343答案答案D由余弦定理的推论和a2=b2+c2-bc,可知cosA=,

56、所以A=.而sinC=2cosB=-2cos(A+C)=sinC-cosC,所以cosC=0,即C=,进而B=.由正弦定理知,=,即c=2a,c=b,故选D.32222bcabc32632312a32b1c233.(2019浙江三校第一次联考(4月),14)已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若A=,b=(4+2)acosB,且b=1,则B=;ABC的面积为.63答案答案;51214解析解析由正弦定理知sinB=sinA=(4+2)sinAcosB,所以tanB=(4+2)sinA=2+,从而B=;所以sinB=,再次利用正弦定理得,a=b=,由三角形内角和定理知C=-=,所以A

57、BC的面积S=absinC=1=.ba333512624sinsinAB62251265121212622624144.(2019浙江浙南联盟高三上期末,14)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若bsinA=asinC,c=1,则b=,ABC的面积的最大值为.答案答案1;12解析解析由已知得=,由正弦定理知b=c=1,所以SABC=bcsinA=sinA,当且仅当A=时取等号.sinaAsinbC12121225.(2019浙江杭州二模(4月),13)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知cos2C=-,则sinC=;当a=2,2sinA=sinC时,b=.1

58、4答案答案;或210466解析解析由二倍角公式知1-2sin2C=-,所以sinC=.因为2sinA=sinC,所以由正弦定理知c=2a=4,易知cosC=,由余弦定理知22+b2-22bcosC=42,所以当cosC=时,b2-b-12=0,解得b=2,当cosC=-时,b2+b-12=0,解得b=,综上,b=或b=2.141046464666466666.(2019浙江宁波效实中学高三上期中,16)如图,在ABC中,B=60,AC=7,点D在边BC上,BD=3,cosADC=,则AB=,CD=.17答案答案8;2解析解析由条件得,sinADB=,cosADB=-,sinB=,cosB=,s

59、inBAD=sin(B+ADB)=.由正弦定理得=,AB=8.过A作AEDC于E(图略),易证ADE ACE,从而得AE=4,BE=4,DE=1,CE=1.CD=2.4 371732123 314sinABADBsinBDBAD37.(2019浙江金丽衢第一次联考,18)如图,在ABC中,已知点D在边AB上,AD=3DB,cosA=,cosACB=,BC=13.(1)求cosB的值;(2)求CD的长.45513解析解析(1)在ABC中,cosA=,A(0,),所以sinA=.同理可得,sinACB=.所以cosB=cos-(A+ACB)=-cos(A+ACB)=sinAsinACB-cosAc

60、osACB=-=.(7分)(2)在ABC中,由正弦定理得,AB=sinACB=20.又AD=3DB,所以BD=AB=5.在BCD中,由余弦定理得,CD=9.(14分)4521 cos A2415351213351213455131665sinBCA1335121314222cosBDBCBD BCB22165132 5 1365 21.(2019浙江高考信息优化卷(一),7)在ABC中,角ABC,B,C所对的边分别是a,b,c,AD为边BC上的高.已知AD=a,b=1,则c+的最大值为()A.4B.3C.2D.1361c考点二解三角形及其综合应用考点二解三角形及其综合应用答案答案A因为SABC