湖南省永州市2013届高三数学第一次模拟考试试题理湘教版

1、3331永州市2013年高考第一次模拟考试试卷数学（理科）注意事项：1 本试卷分选择题和非选择题两部分。考试时间120 分钟，满分 150 分。答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上， 并认真核准条形码上的准考证号、姓名及科目，在规定的位置贴好条形码。2回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。3回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4考试结束时，只交答题卡。 参考公式：1锥体的体积公式V=- Sh,其中S是锥体的底面积，h是锥体的高.3如果事件A,

2、B互斥，那么P（A+B=P（A） +P（B）、选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1 设集合A二x| -1：x : 2, B二x|x2)，则COS(2-)=3333（第 15 题图）412x,g(x) =ax+bx(a,b R,a*0)，若y=f(x)的图象与y=g(x)的x图象有且仅有两个不同的公共点A（xi,yi） ,0X2,y2），则下列判断正确的是E,ZC=匹，则/AED=_.610.已知x,y,zR,且x2y2z2= 1，则x 2y 3z的最大 值是.f X一2cOS 11 .已知在平面直角坐标系xoy中,圆

3、C的参数方程为(：I y =1 2sin_：:为参数），与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线I的极坐标方程为 2sin（）=1，则圆C截直线I所得的弦3长为_.（二）必做题（1216 题）12 .二男二女共四个学生站成一排照相，两 个 女 生 必 须 相 邻 的 站 法 有种.（用数字作答）*T T13 .已知A、B是圆C（C为圆心）上的两点，|AB|= 2,则AB AC=_2 214 .双曲线 C:乂=1 的左、右焦点分别为Fi、F2,P是C右支上一动点，97点Q的坐标是（1, 4）,则|PFi| + |PQ的最小值为 _ .15 .执行

4、如图所示的程序框图，则输出的复数z是_ .1616.电脑系统中有个“扫雷”游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则:在答题卡中对应题号的横线上.（一）选做题（请考生在）9、10、11 三题中任选两题作答，如全做则按前两题计分）.D.当 a 0 时,、填空题（本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分，满分 35 分，把答案填9.如图，AB是OO的直径，C是AB延长线上一点，CD与O0相切于点A. _79&设函数f(x)=B.A.当 av0 时,xi+X20,B.当av0 时,Xi+X2v0,yi+C.当a 0 时,xi+X2 0,yi+y2 2 且yw2”的概率；（2） 设E

5、为抽中作品的两项得分之和，求E的数学期望.作品八、x创新性1 分2 分3 分实 用性1 分2:022 分1413 分226u（El（第16题图）（甲）（乙）619.(本小题满分 12 分)如图所示，直角梯形ABCD中,ZA=ZD= 90,AD=2,AB=3,CD=4,P在线段AB上，BP= 1,O在CD上,且OP/ AD将图甲沿OP折叠使得平面OCBH底面ADOP得到一个多面体(如图乙)，M N分别是AC OP的中点.求证：MNL平面ACD(2)求平面ABC与底面OPA断成角(锐角)20.(本小题满分 13分)提高大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.一般情况下，大桥上的车流速度v(单位

6、：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当车流 密度不超过 50辆/千米时，车流速度为 30 千米/小时.研究表明：当 50vxw200 时，k车流速度V与车流密度X满足V(x) =40，当桥上的车流密度达到 200 辆/千米250 X时，造成堵塞，此时车流速度为0 千米/小时.(1)当 0 2 且y 2 且yw2”的概率为=0.35.520分2 题，如果多做则按前两题计分）9.310.1411 .412. 1213. 214. 11151 73.15.+ i2 2三、解答题（本大题共17.（本题满分 12 分）16(1)A6 小题，共 75 分,C, E； (2)B, D, F,

7、G解答须写出文解：（I）在厶ABC中,（n） 由余弦定理可得,c =3 .又由正弦定理b sin Csin B =ca2+c2-b2cosB =-2acc bsin C sin B 4533_ 1_94.59二 sin(B-C) =sinBcosCcosBsinC2二 sinC = 1 -cos2C9(2)方法一：由表可知“创新性”得分y有1分、2分、3分三个等级，每个等级分别有 5 件，6 件，9 件，“创新性”得分x的分布列为：则“创新性”得分的数学期望为13911Ex=1232.2；410205“实用性”得分y有1分、2分、3分三个等级，每个等级分别有 “实用性”得分y的分布列为:故“实

8、用性”得分的数学期望为“ 1 C 3 c 1 23 CCEy=1232.3510210所以E数学期望EE=E(x+y)=Ex+Ey= 2.2 + 2.3 =12 分由表中可知对应的作品数量分别为件，3 件，6 件，.8 分贝 U 作品的总得分E为： 10 分所以E数学期望为11233EE =23456 =4.5102052010212 分19.(本小题满分 12 分)证明：(1) 取CD的中点为Q连接MQ OQ OQ丄CD依题意知：面OCDL底面OPADADL OD ADL平面OCD而OQ面OCD ADLOQ又CD AD= D,所以0Q面ACD11MQ .ACD的 中位线,故MQAD,NOAD

9、,22则 MQ NO ,所以MN/ OQ故MNL平面ACD(2)方法一：如图所示，分别以OP OD OC为x轴，y轴, 轴建立空间直角坐标系.巳巳2,0,1),A(2,2, 0.Q0 ,0,2),底面OPAD勺一个法向量耳m =(0,0,1),设平面ABC的法向量为n =(x, y,z),AB =(0, -2,1), CB =(2, 0, -1) ,.7 分方法二：作品的总得分E的可能取值为 2 分，3 分，4 分，5 分，6 分，x123p1394102010 分y11 23P13151024.52 件，1 件，8E23456P丄12331020520104 件，6 件，10 件,的分布列0

10、1020.(本小题满分 13 分)解：(1)由题意：当 0vxw50 时，v(x) = 30;当 50wxw200 时，由于v(X)=40-250 x再由已知可知，当x= 200 时，v(0) = 0,代入解得k= 2000.故函数v(x)的表达式为300：x _50v(x)二200040 -50：x辽2001250-x430 x0 . x 50依题意并由(1)可得f (x):2000 x40 x -50：x _ 2001250 x依题知:n AB =0 xn CB =2 x 0 y - z=0_2y z = 02x _z =0令x= 1,则y= 1,z= 2,：=(1,1,2),迹：幕=2故

11、平面ABC与底面OPA斷成角的余弦值为方法二：延长CB交OP于E,连接AE则AE是面ABC与底面OPA啲交线，过O作O吐AE于F,连CF则/CFO就是二面角C-AE- O的平面角,OEXAP 4X2厂OF2 2 ,AE22CF =：；OF2OC2=2 3,3，/ CFO=OF=2_2CF2晶故平面ABC与底面OPA斷成角的余弦值为12 分PP当P50 xw=200=时2x00 Xf(x)一4 x -=0 -x+X+-42X50 -x=1X2-2.0DX -XV5X0=1-&2_X00取等号当且仅当40(250-x)500000250 -X即X =250 - 50 .5:138时,f(x

12、)取最大值。.1 2分011当 0wxw50 时，f(x) = 30 x，当x= 50 时取最大值 1500.212（这里也可利用求导来求最大值）综上，当车流密度为 138 辆/千米时, 最大值约为 3056 辆/小时.21.(本题满分 13 分)解：(1)抛物线C2:y2= 4x, 2p= 4 , 设Mxo,yo),|MF=x+P =x01 =22，X0= 1 ,y0= 2 ,22x椭圆C:椭圆C:4b求得 b 斗 2 ,22:ab3b2_4，2 _a22yX1,a =2b ,42得 2ab 0）的离心率2=1 过点M(1 , 2),ba=22,2 2椭圆 C 的方程是乞+ =18 2点 N

13、(1 , 2),直线l的方程为y+ 2=k(x 1),与 C1： 联立消去y得：4x2 (kx-k-2)2=8, 整理得(4 k2)x2-2k(k 2)x - k24k - =0(i)y2- 4x2设P(X1,y1)，易知 1,代入直线l的方程得2y+ 2 =k(x 1)与y=X1是方程（i）的两根,2k2_8k _8y1 =4 k2，_ k2+4k YX14 k24x联立消去X得：ky24y 4k 8 =0(ii)显然 0,设点 Q（X2,y2），易知一 2,y2是方程（i）的两根，一 2y2=Vk8k得 y2二2匚,代入抛物线得 X2二,kk2k2+4k -4 2k28k8(k +2)22

14、k +4.故 P(2，2),Q(2,)，M1,2).10 分4 k2 4 k2k2 k4k8 弋 k16 T 4k+4 4M_(口，三心珂有讣 由MPL MC有MP MQ =0,.1即(4k-8)(4k 4) . 4(k -16)=0k2(4 k2) (4 k2)，整理得 k25k=0 ,求得 k =17.222.(本题满分 13 分)解：(1)函数f(x)=ln(x)-p、,x的定义域为0,f，(x)_ 1_ P _2x/X-p(1+x)1+x2忑2(1+x)仮.13 分213514依题意，2 ,2-P(1 hx)乞0恒成立，所以p _由x-=1心，知仁)max，.p _1 , p的取值范围

15、为1,=)1 1首先，由a = 3得a2=122 3=4,212x2411an -0时有an 1- an22ann0，- an 1- an，n (n +1)4-n N*(n _2)，都有a._4.(用数学归纳法证明也可)1 1111n(n 1) 2n1n n 12,11丄1,11丄1而当再由 am又得an111二122ann及an_4n (n +1)4-1T72an青1=1T7211ann (n +1)4n (n +1)41 1 1 1In ax Gn122市向=1 n122E ln a.n (n +1)4n (n +1)41+ 丄,n 14ln a* 1In an乞In122n (n +1).10由(1)知当p_1 时f (x)为减函数，取当x 0时f(x)：f(0) =0,故p=