特征值与特征向量优秀教学设计

1、特征值与特征向量教学目标】1亲历矩阵特征值与特征向量意义的探索过程，体验分析归纳得出矩阵特征值与特征向 量的存在与性质，进一步发展学生的探究、交流能力。2掌握矩阵特征值与特征向量的定义及其性质。3能从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。教学重难点】重点：掌握阵特征值与特征向量的定义及其性质。难点：从几何直观上，利用线性变换求特征值与特征向量。教学过程】一、新课引入 教师：对于线性变换，是否存在平面内的直线，使得该直线在这个线性变换作用下保持不 变？是否存在向量， 使得该向量在这个线性变换的作用下具有某种 “不变性 ”？为了解决我们的 问题，我们今天将学习矩阵特征值与特征向量。二、讲授新

2、课 教师：请同学们回忆一下，我们在前面的课程里面，学过哪些基本的变换？ 学生：伸缩变换，反射变换等等。 教师：那下面我们来研究一下伸缩变换，反射变换一些不变的性质，我一起来看例题。x 1 0 x例 1：对于相关 x 轴的反射变换 ： x 1 0 x ，从几何直观上可以发现，只有 x 轴 y 0 1 y和平行于 y 轴的直线在反射变换 的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。因此，反射 k0变换 只把形如 1 和的向量（其中 k1， k2是任意常数），分别变成与自身共线的0k2向量。可以发现，反射变换 分别把向量01k2变成k100k2特别的，1反射变换 把向量 1 10 变成 1把向量变成用

3、矩形的形式可表示为101 1 100100110110 ， 010110例 2：对于伸缩变换 ：1002，从几何直观上可以发现，只有 x 轴和平行于 y 轴的直线在伸缩变换 的作用下保持不动，其他的直线都发生了变化。因此，伸缩变换 只把形k0如k1 和 0 的向量（其中 k1 ，k2是任意常数）分别变成与自身共线的向量。 可以发现，0k2伸缩变换 把向量k10k2 变成k1，202k2特别地，伸缩变换把向量变成，把向量00 1 0 1 11 变成 2 2 2 1 。用矩形的形式可表示为 0 2 0 1 0101020教师：让学生结合引入的问题，探讨出“不变形” 。教师：总结并引入课题的主内容矩

4、阵特征值与特征向量的定义。 接下来，我们先来学习阵特征值与特征向量的定义与相关性质 ，它的具体内容是：ab，则称 是矩阵 A定义：设矩阵 A ca db ，如果存在数以及非零向量 ，使得 A的一个特征值， 是矩阵 A 的属于特征值 的一个特征向量。 注意：特征向量必须是非零向量。特征值与特征向量是相伴出现的。性质：一般地，设 是矩形 的属性特征值 的一个特征向量， 则对任意的非零常数 k， k 也是矩阵 A 的属性特征值 的特征向量。一般地，属性矩阵的不同特征值的特征向量不共线。 它是如何在题目中应用的呢？我们通过一道例题来具体说明。31例 1试从几何直观上，利用线性变换求矩阵 A 2 2 的

5、特征值与特征向量。1322教师板书展示解析。根据例题的解题方法，让学生自己动手练习练习：试从几何直观上，利用线性变换求矩阵 A312 2 的特征值与特征向量。1322三、课堂总结（1）这节课我们主要讲了ab定义：设矩阵 A a b ，如果存在数 以及非零向量 ，使得 A ，则称 是矩阵 A cd的一个特征值， 是矩阵 A 的属于特征值 的一个特征向量。性质：一般地，设 是矩形 的属性特征值 的一个特征向量， 则对任意的非零常数 k，k 也是矩阵 A 的属性特征值 的特征向量一般地，属性矩阵的不同特征值的特征向量不共线。 （2）它们在解题中具体怎么应用？四、习题检测 1从几何直观上，找出下列线性变换的所有特征值和特征向量： （1）旋转变换 R；2）恒等变换；3）零变换 0（把平面上的每个向量都变为4）关于 x 轴的正投影变换0 向量）；xy5）关于 y 轴的反射变换6）平行于 y 轴的切变