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文档简介
1、专题九解析几何第二十六讲椭圆2019 年1. (2019全国I理10)已知椭圆C的焦点为F1(1,0), F2(1,0),过F2的直线与| AF2 |=2曰|,|AB|=|BFJ,则C的方程为2_ xD. 十52x 2/A.+y =1222x y /B. +工=13222x y /c.+ =1432. (2019全国II理21 (1)已知点 A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-1 .2记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;3. (2019北京理4)已知椭圆1 加= 1(a >b>0 )的离心率为-,则22(A) a2=2
2、b(B)223a2 = 4b(C) a=2b(D)3a =4b22x y4.( 2019全国III理15)设F F2为椭圆© +乙=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限 若MF1F236 20为等腰三角形,则 M的坐标为2010-2018 年、选择题2b2= 1(ab>0)的左,右焦点,A是C的左顶点,点Px1. (2018全国卷n )已知F1, F2是椭圆C: a在过A且斜率为 Y3的直线上,PF1F2为等腰三角形,NF1F2P = 120 = ,则C的离心率为 6A. 2322_ x y_2. (2018上海)设P是椭圆 +<=1上的动点,则 P到该椭圆的两个焦点的
3、距离之和为(533.4.5.6.7.8.9.A. 2.2B. 2.3C. 2.5 D. 4.222一 ,一 x y 一、 一 一(2017浙江)椭圆 =1的离心率是A. 小3(2017新课标出)直径的圆与直线aY3已知椭圆C.D.- x y .C : -2 + 2 = 1(a > b > 0)的左、a bbx ay+2ab = 0相切,则C的离心率为C.3(2016年全国III)已知O为坐标原点,F是椭圆C:2x+2a右顶点分别为Ai, A2,且以线段AA2为D.2Y2=1(aAbA0)的左焦点,a, b分别为C b2的左,右顶点.P为C上一点,且PFx轴.过点A的直线l与线段PF
4、交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为(2016年浙江)已知椭圆C1:2 x -2 m=1 (m > 1)与双曲线C2:2 x 2.-2-y2 =1(n >0)的焦点重合, ne2分别为C1, C2的离心率,则A . m >n 且 a1C. m <n 且 e% >1(2014福建)设P,Q分别为x2 +(y6fA. 5 2B. mn 且 已e < 1x22=2和椭圆 + y =1上的点,则 P,Q两点间的取大距离是10 ,B. . 462 C. 7-2 D.(2013新课标1)AB的中点坐标为A 2+金=145 36x已知椭圆-2
5、 + a(1, T),2y2=1(a>b>0)的右焦点为则E的方程为2C.22Ayr1F(3,0),过点F的直线交椭圆于 A、B两点.若22D t8+y9=1(2012新课标)设F1、F2是椭圆E :2- + “2 1(a>b>0)的左、右焦点, P为直线 a bx = 3a上一点,2F2PF1是底角为30o的等腰三角形,则 E的离心率为A、B、C、D、二、填空题10.2x 2(2018浙江)已知点P(0,1),椭圆 一+ y =m(m>1)上两点A,4B满足AP =2PB ,则当m=一时,12.13.14.点B横坐标的绝对值最大.222xyx(2018北京)已知
6、椭圆M :=+=1但Ab >0),双曲线N: abm2y彳=1 .若双曲线N的两条渐近线n与椭圆M的四个交点及椭圆 M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆;双曲线N的离心率为M的离心率为22b(2016江苏省)如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆 与+=1ebA0 )的右焦点,直线y =a b2与椭圆交于B,C两点,且NBFC=90)则该椭圆的离心率是 .x y(2015新课标1) 一个圆经过椭圆 一十一=1的二个顶点, 164且圆心在X的正半轴上,则该圆的标准方程为(2014江西)过点 M (1,1)作斜率为一1的直线与椭圆C :222土 .Ea2 b2= 1(ab>0)
7、相交于A,B两点,15.若M是线段AB的中点,则椭圆 C的离心率等于22x y(2014辽宁)已知椭圆 C : 一 + =1 ,点M与C的焦点不重合,若 M关于C的焦点的对称点分16.别为A, B,线段MN的中点在C 上,则 | AN | +| BN 尸22 x y(2014江西)设椭圆c: a b= 1(a>b>0 )的左右焦点为F1, F2,作F2作x轴的垂线与C交于A, B两点,F1B与y轴相交于点D ,若AD _L FB ,则椭圆C的离心率等于17.22 y(2014安徽)设F3F2分别是椭圆E:x +与=1(0 <b <1)的左、右焦点,过点 F1的直线交椭圆
8、E于bA,B两点,若 AFi| =3BFi , AF2 _Lx轴,则椭圆E的方程为22x y(2013福建)椭圆 F: -y +=1(a >b>0)的左、右焦点分别为F1, F2 ,焦距为2c .若直线a by = 3 x c与椭圆厂的一个交点M满足/MF1F2 =2/MFzFi ,则该椭圆的离心率等于19.2 x (2012江西)椭圆 a2y+q=1(a > b > 0)的左、右顶点分别是 A,B ,左、右焦点分别是F1,F2 .b| AF1 |,| F1F21,| F1B |成等比数列,则此椭圆的离心率为20.2,、 一一,一一,一 x 2,(2011浙江)设F1,
9、F2分别为椭圆 一 + y =1的左、3f右焦点,点 A,B在椭圆上,若F1A=5F2B;点A的坐标是解答题(2018全国卷I)设椭圆2C: +y2 =1的右焦点为2F ,过F的直线l与C交于A, B两点,点M坐标为(2,0).22.(1)当l与x轴垂直时,求直线(2)设O为坐标原点,证明:(2018全国卷出)已知斜率为AM的方程;OMA "OMB .k的直线l与椭圆C :22x y一 +工=1交于A, B两点,线段 AB的中点为43M (1,m) (m 0).1证明:k < 一一;2(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且FP+FA+FB =0 .证明:|FA|, |FP|,
10、 |FB |成等差数列,并求该数列的公差.23.(2018天津)设椭圆xr+x7=1(a>b >0)的左焦点为F ,上顶点为B .已知椭圆的离心率为,a b3点A的坐标为(b,0),且FBAB -62.(1)求椭圆的方程;AQPQ(2)设直线l : y = kx(k > 0)与椭圆在第一象限的交点为P ,且l与直线AB交于点Q .5.2 . 一一 =sin/AOQ(O为原点),求k的值.24.(2017新课标I)22x y 已知椭圆C : -2 + -2 =1(a a b a 0),a b四点 R(1,1), P2(0,1),25.26.、3求C的方程;"3已=(1
11、,二一)中恰有三点在椭圆 c上.2(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A, B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:2(2017新课标n)设 O为坐标原点,动点 M在椭圆C:人十y2=1上,过M做x轴的垂线,垂足为2N,点 P 满足 NP = J2NM ' .(1)求点P的轨迹方程;(2)设点Q在直线x = -3上,且OP PQ =1 .证明:过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F .22x y(2017江苏)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E :=十三 = 1(a >b >0)的左、右焦点分别a b1为F1, F2,离心率为1,两准线之间的距离为
12、8.点P在椭圆E上,且位于第一象限,过点 F1作直 2线PF1的垂线l1 ,过点F2作直线PF2的垂线l2 .(1)求椭圆E的标准方程;(2)若直线l1,L的交点Q在椭圆E上,求点P的坐标.427.22彳xy1(2017天津)设椭圆=1(a >b >0)的左焦点为F ,右顶点为 A,离心率为一.已知A是抛ab221物线y =2 px( p >0)的焦点,F到抛物线的准线l的距离为一.2(I)求椭圆的方程和抛物线的方程;(n )设l上两点P , Q关于x轴对称,相交于点D .若4APD的面积为求直线AP的方程.直线AP与椭圆相交于点 B ( B异于点A),直线BQ与x轴x2y2
13、 228.(2017山东)在平面直角坐标系 xOy中,椭圆E: -2+当=1 (a Ab>0)的离心率为,焦距为2 .a b2(I)求椭圆E的方程;3(n)如图,动直线l: y=kixX3交椭圆E于A,B两点,C是椭圆E上一点,直线OC的斜率为k2 ,2一 . 2 且k1k2=J , M是线段OC延长线上一点, 且MC : AB =2:3 , L M的半径为 MC, OSQT 4是M的两条切线,切点分别为 S,T .求/SOT的最大值,并求取得最大值时直线 l的斜率.29.(2016年北京)已知椭圆C:22xy+ =1(a > b > 0)的离心率为ab,A(a,0) , B
14、(0,b), O(0,0), 2AOAB的面积为1.(I)求椭圆C的方程;PB与x轴交于点N.(n)设P是椭圆C上一点,直线 PA与y轴交于点M ,直线求证:| AN | 1 BM |为定值.22230. (2015新课标2)已知椭圆 C: 9x +y =m(m>0),直线l不过原点 O且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A, B,线段AB的中点为M .(I )证明:直线 OM的斜率与l的斜率的乘积为定值;(n)若l过点(m,m),延长线段 OM与C交于点P,四边形OAPB能否为平行四边行?若能,求 3此时l的斜率;若不能,说明理由.2231. (2015北京)已知椭圆C:与+jy2=1(
15、a >b >0 )的离心率为 半,点P(0, 1)和点A(m, n)(m w 0)都在椭圆C上,直线PA交x轴于点M .(I )求椭圆C的方程,并求点 M的坐标(用m , n表示);(n)设O为原点,点B与点A关于x轴对称,直线 PB交x轴于点N.问:y轴上是否存在点 Q,使得ZOQM =NONQ ?若存在,求点Q的坐标;若不存在,说明理由.22x y32. (2015安徽)设椭圆E的万程为 "+22 = 1(a >b >0),点。为坐标原点,点 A的坐标为(a,0),a b点B的坐标为(0, b ),点M在线段AB上,满足 BM=2 MA ,直线OM的斜率为
16、45(I)求E的离心率e ;(n)设点C的坐标为(0,-b), N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为 %,求E的方程.x2y2 一. 3 一 ,33.(2015山东)平面直角坐标系 xOy中,已知椭圆C :=十七=1(a a b > 0)的离心率为 ,左、右 a b2焦点分别是FF2.以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.(I)求椭圆C的方程;22P的直线y = kx + m交椭圆E于(n)设椭圆E:8万+上万=1, P为椭圆C上任意一点,过点 4a2 4b2A, B两点,射线PO交椭圆E于点Q.求但的值;|OP|(ii)求 AB
17、Q面积的最大值.34.(2014新课标1)已知点A(0, 2),椭圆E:0+与=1但>b>0)的离心率为 叵,F是椭圆E的 a2b22右焦点,直线 AF的斜率为 拽,O为坐标原点.3(I )求£的方程;(n )设过点 A的动直线l与E相交于P,Q两点,当AOPQ的面积最大时,求l的方程.22-一 ,一 一 x y 35.(2014浙江)如图,设椭圆C :-2+J=1(ab >0 )动直线l与椭圆C只有一个公共点 a b第一象限.(I)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标;(n)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:点P到直线li的距离的最大值为 a-b .
18、36. (2014新课标2)设F1 , F2分别是椭圆C:岑+ 'y2=1(abA0)的左,右焦点,M是C上一点且a bMF2与x轴垂直,直线 MF1与C的另一个交点为 N.(I)若直线 MN的斜率为4 ,求C的离心率;(n)若直线 MN在y轴上的截距为2,且MN =5 F1N ,求a,b . 2237. (2014安徽)设Fi,F2分别是椭圆E:与+a =1(aAb>0)的左、右焦点,过点 Fi的直线交椭圆 a bE 于 A, B 两点,|AFi|=3| BFi |(I)若 |AB|=4, MBF2的周长为 16,求 |AF2;3 .(n )若cos/AF2B =一,求椭圆E的
19、离心率.38.(2014山东)在平面直角坐标系 xOy中,椭圆C :与+丫2 =1(a >b >0)的离心率为 正,直线y = x a2 b22被椭圆C截得的线段长为4 .105(I)求椭圆C的方程;(n)过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不是椭圆C的顶点).点D在椭圆C上,且AD_LAB,直线BD与X轴、y轴分别交于M, N两点.(i )设直线BD, AM的斜率分别为ki,k2,证明存在常数 九使得匕=九卜2,并求出入的值;(ii)求AOMN面积的最大值.2与= 1(a1A 0,b1A 0)和椭圆 62(2014湖南)X如图5, O为坐标原点,双曲线C1 :a1一 _ 2
20、 3 .= 1(a2Ab2 > 0)均过点P(二一,1),且以Ci的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的 3四边形是面积为2的正方形.(I)求Ci,C2的方程;(n)是否存在直线l ,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且|OA +高温|?证明你的结论.图540.2 X(2014四川)已知椭圆 C: a2+ 4=1(ab0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端 b点构成正三角形.(I )求椭圆C的标准方程;(n)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x = -3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆 C于点P, Q.(i)证明:OT平分线段PQ (其中O为坐标原点);(ii)当|TF
21、 1最小时,求点T的坐标.|PQ|2241. (2013安徽)已知椭圆C: + 4=1(a >b>0)的焦距为4,且过点P(J2J3). a b(I )求椭圆C的方程;(n )设Q(Xo, yo)(Xoy0 *0)为椭圆C上一点,过点Q作x轴的垂线,垂足为E .取点A(0, 272),连接AE ,过点A作AE的垂线交x轴于点D .点G是点D关于y轴的对称点,作直线 QG ,问这样作出的直线 QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点?并说明理由.42. (2013湖北)如图,已知椭圆 Ci与C2的中心在坐标原点 O,长轴均为MN且在x轴上,短轴长分别为2m, 2n (m >n),过原
22、点且不与 x轴重合的直线l与C1,C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A,8, C, D,记m=, BDM和 ABN的面积分别为 S和S2 . n第20题图(I )当直线l与y轴重合时,若S1 =?§ ,求九的值;(n)当K变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线I,使得S1=ZS2 ?并说明理由.43. (2013天津)设椭圆 0+q=1(aAbA0)的左焦点为F,离心率为,过点F且与x轴垂直的直 a b3线被椭圆截得白线段长为 4江. 3(I )求椭圆的方程;(n )设A, B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线与椭圆交于 C, D两点. 若A? DB +ADCb =8 ,
23、求 k 的值.F1,F2,离心率为 Y3 ,过F1且垂直222.一 _ x y44. (2013山东)椭圆C :二十% =1(a Ab A0)的左、右焦点分别是 a2 b2于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为I .(I)求椭圆C的方程;(n)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1, PF2.设/F1PF2的角平分线PM交C的46.长轴于点M (m,0 ),求m的取值范围;(出)在(n)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点.设直线PFi, PF2的斜率分别为一 八 .11ki*2,若k=0,试证明十为定值,并求出这个定值.kk1 kk222x y(2012北东)已知椭圆 C : a b= 1(a >b>0)的一个顶点为 A(2, 0), 离心率为 -2 .直线y =k(x -1)与椭圆C交于不同的两点 M,N.(I)求椭圆C的方程;(n)当 AMN得面积为叵时,求k的值.22x y(2013安徽)如图,Fi,F2分别是椭圆C : +=1 ( a>b>0)的左、右焦点, A是椭圆C的顶 a b点,B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,ZFi A F2=60 .(I)求椭圆C的离心率;(n)已知
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