大学数学：第1章 第1节函数

1、华南农业大学理学院应用数学系前前 言言大学数学包括大学数学包括微积分微积分和和线性代数线性代数两部分两部分微积分发展简史微积分发展简史n15世纪的文艺复兴的思想基础世纪的文艺复兴的思想基础n17世纪发明的直角坐标系提供条件世纪发明的直角坐标系提供条件n费马，巴罗等人的先驱探索费马，巴罗等人的先驱探索n牛顿，莱布尼茨提出系统理论牛顿，莱布尼茨提出系统理论教材教材参考书参考书网上资源网上资源大学数学大学数学中国农业出版社中国农业出版社张国权张国权 钟谭卫主编钟谭卫主编高等数学高等数学同济大学主编同济大学主编高等教育出版社高等教育出版社辅导类参考书辅导类参考书http:/ 函数的概念及特性函数的概念

2、及特性& 极限的概念及运算极限的概念及运算& 导数的概念导数的概念& 求导运算求导运算& 微分的概念及运算微分的概念及运算函数 第一节学习重点学习重点求函数的定义域求函数的定义域把复杂函数分解成简单函数的复把复杂函数分解成简单函数的复 合合理解函数的概念理解函数的概念 设设 x 和和 y 是两个变量。是两个变量。D 是一个给定的数集。如果对于是一个给定的数集。如果对于每个数每个数 x D ，变量，变量 y 按照一定法则总有（唯一）确定的数按照一定法则总有（唯一）确定的数值和它对应，则称值和它对应，则称 y y 是是 x x 的函数的函数，记作记作 y = f (x), 数集数集 D 叫叫这个函

3、这个函数数的的定义域定义域，x 叫做叫做自变量自变量， y 叫做叫做因变量因变量。f (a) 表示函数表示函数 f (x) 在在 x= a 时的时的函数值函数值f3函数函数 f (x) = 3x中中 对应法则对应法则 f 是什么？是什么？ f （1）=？什么是函数 function函数的映射定义函数的映射定义:fDR对应对应映射映射函数函数多对一一对一非空数集设设 D 为非空数集。称一个映射为非空数集。称一个映射实数集为函数关系或函数，称为函数关系或函数，称 D 为函数的为函数的定义域定义域，f 为为对应法则对应法则。定义域定义域 D 和和对应法则对应法则 f 是函数关系的两要素是函数关系的两

4、要素f (D)= y| y = f (x), x D 称为函数的值域称为函数的值域()f DR 函数函数 f (x) =lg x2 与与 f (x) =2lg x 是同一函数是同一函数吗？吗？ f (x) = x2 与与 f (t) = t2 呢呢?函数的表示方法函数的表示方法(1) 公式法公式法324yxx(2) 表格表格月份123456销售量(件)100105110115111120(3) 图象法图象法函数的图象：函数的图象：称平面点集称平面点集,( )x y xD yf x为函数为函数( )yf x的图象。的图象。21( )1xf xx求函数的定义域21010 xx 111xx 11x

5、所以定义域为所以定义域为( 1,124( )lgxf xx求函数的定义域(0,1)(1, 22400,lg0 xxx且例例 题题解答解答解解函数的定义域是使得式子有意义的所有的自变量取值。函数的定义域是使得式子有意义的所有的自变量取值。 符号函数符号函数10sgn0010 xyxxxyxo1-1函数举例取整函数取整函数 yx xx表示不超过的最大整数。0.80211.9910.81 3.54 yxo123-1-212-1-2 分段函数分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数，称为表示的函数，称为分段函数分段函数201( )

6、11xxf xxxyxO2yx1yx 111( )2222f(1)2 12f(3)1 34f 注意：求分段函数的函数值时，要根据自变量的取值范围，确定注意：求分段函数的函数值时，要根据自变量的取值范围，确定相应的函数表达式；分段函数的定义域为各定义区间之并集。相应的函数表达式；分段函数的定义域为各定义区间之并集。( 2)12f 例如：例如：邮费的计算、薄利多销政策下的价格等，都是分段函数。邮费的计算、薄利多销政策下的价格等，都是分段函数。 集合的特征函数集合的特征函数 整标函数整标函数AR1,( )0,AxAxxA1, 2,n ( )nf nx定义域为正整数集定义域为正整数集N1,2,3,n

7、1,x( )f n 2,x3,x数列数列数列是一类特殊函数。数列是一类特殊函数。 设设 函数函数 f (x) 的定义域为的定义域为 D ，yx-MMo( )yf x若存在正数若存在正数 M 使对任意使对任意 x D, 都有都有|( )|f xM 则则 称称 f (x) 在在 D 上上有有 界界, 或或 称称 f (x)是是有有 界函数界函数（bounded function )。( )sinf xx 如在（， ）内有界函数的几种特性 有界性有界性1( )sinf xx也是有界函数1212()()xxf xf x1212()()xxf xf x在定义域的子区间在定义域的子区间 I 上任意两点上任

8、意两点 x 1 和和x 2则则 f (x) 是是 区间区间 I 上的上的 增函数增函数则则 f (x) 是是 区间区间 I 上的上的 减函数减函数x1x2xyo1( )f x2( )f xxyo1x2x1( )f x2()f x 单调性单调性如果如果如果如果xDxD （即） 设函数设函数 f (x) 的的定义域定义域 D 关于原点对称关于原点对称()( )fxf xxD对于任意 f (x) 为为 偶函数偶函数 ()( )fxf x f (x) 为为 奇函数奇函数 yxo( )yf xxxAAxyo( )yf xxxAA偶函数偶函数的图像关于的图像关于 y 轴轴对称对称 奇函数奇函数的图像关于的

9、图像关于 原点原点对称对称 奇偶性（对称性）奇偶性（对称性）()( )f xlf xxDxlD有 设函数设函数 f (x) 的的定义域为定义域为 D。如果存在一个不为零的如果存在一个不为零的数数 l 使得使得 对于任一对于任一 且且恒成立，则称恒成立，则称 f (x) 为为周期函数周期函数l 称为称为 f (x) 的的周期周期。32lx2l2l32loy1( )0 xD xx为有理数为无理数是周期函数吗，若是，周期是多少？最小正周期是多少？是周期函数吗，若是，周期是多少？最小正周期是多少？ 周期性在所有周期中的最小正数在所有周期中的最小正数称为函数的称为函数的最小正周期最小正周期。是周期函数，

10、所有有理数是周期函数，所有有理数都是周期，无最小正周期。都是周期，无最小正周期。xyae=2.7182818基本初等函数 幂函数：幂函数：yx指数函数：指数函数：0,1aaxye对数函数：对数函数：logayxlogeyxlnyx自然对数自然对数三角函数：三角函数：sin ,cos ,tan ,cot ,yx yx yx yx1seccosyxx1cscsinyxx反三角函数：反三角函数：arcsin ,arccos ,yxyxarctan ,cotyxyarcx 直接函数的直接函数的定义域定义域是其反函数是其反函数的的 值域值域；而直接函数的；而直接函数的值域值域是其是其反反 函数的函数的定

11、义域定义域。 互为反函数的两个函数在图象上互为反函数的两个函数在图象上关于直线关于直线 y=x 对称。对称。( )yfx1( )yfxyxoxy反函数反函数 inverse function设有函数设有函数( )yf x是定义在区间是定义在区间 上的上的单调函数单调函数，由其逆映射，由其逆映射D确定的函数确定的函数1( )xfy称为函数称为函数( )yf x的的反函数反函数1f习惯上用习惯上用 x 表示自变量，表示自变量，y 表示因变量。于是表示因变量。于是( ),yf xxD的反函数记成的反函数记成1( ),()yfxxf D3,yxxR13,.xyyR13,.yxxR解出解出x交换交换x,

12、y函数的复合函数的复合 Composition of functions 由常数和基本初等函数出发经过由常数和基本初等函数出发经过有限次有限次四则运算和四则运算和有限次有限次的函数复合步骤所构成并的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示可用一个式子表示的函数称为的函数称为初等初等函数函数,yusinuxsinyx2 ,uy lnuxln2xy ( ),yf u( ),ug v( )yfx( ),yf u( )vx( )yfgx( )ux2,yucos ,uvlnvx2cos (ln)yx引例引例:已知两个函数已知两个函数 y = sin u 和和 u = 2 x ， 把把u 代入得代入得 y = sin2x ，y = sin2x 称为这两个函数的称为这两个函数的复合函数复合函数。再如。再如 的值域应包含的值域应包含 的定义域的定义域( )ux( )yf u于xuyf 中间变量复合函数分解为简单函数复合函数分解为简单函数24(1)9yx14yu29ux2(2)(arctan)2xy 2,yuarctan ,uv2xv sin2yxsin(ln )2xy sinyu12uv2vx2uy sinuvlnvxsin xyxsinlnsin