几何证明选讲

1、第一章几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质1.理解相似三角形的定义与性质，了解平行截割定理2会证明和应用直角三角形射影定理基础自主梳理梳理基础知识 检测自身能力1平行线等分线段定理定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段 _，那么在其他直线上截得的线段也 _ 推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 _ 推论2经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线 _ 2平行线分线段成比例定理定理三条平行线截两条直线，所得的 _成比例推论平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的 _成比例知知 识识 梳梳 理理相等相等平分第三边平分另一腰对应线段对应线段3相似三角形的判定及性质(1

2、)相似三角形的判定定义 _，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)预备定理平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似判定定理1对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的 _对应相等，那么这两个三角形相似简述为：两角对应相等，两三角形相似判定定理2对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应 _，并且夹角相等，那么这两个三角形相似简述为：两边对应 _且夹角相等，两三角形相似判定定理3对于任意两个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应 _，那么这两个三角形相似简述为：三边对

3、应 _，两三角形相似对应角相等两个角成比例成比例成比例成比例(2)两个直角三角形相似的判定定理如果两个直角三角形的一个锐角对应 _，那么它们相似如果两个直角三角形的两条直角边对应 _，那么它们相似如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应 _，那么这两个直角三角形相似(3)相似三角形的性质性质定理相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于 _；相似三角形周长的比等于 _；相似三角形面积的比等于 _；相似三角形外接圆(或内切圆)的直径比、周长比等于相似比，外接圆(或内切圆)的面积比等于 _ 相等成比例成比例相似比相似比相似比的平方相似比的平方4直

4、角三角形的射影定理直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的 _；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的 _比例中项比例中项课课 前前 自自 测测解析：由于ABA1B1，则有AOBA1OB1，且对应边的相似比为1：2，那么两三角形对应的各线段之比均为1：2，则对应的外接圆的直径之比也是1：2，故A1OB1的外接圆直径为2.答案：2答案：33在ABC中，D，E分别为AB，AC上的点，且DEBC，ADE的面积是2 cm2，梯形DBCE的面积为6 cm2，则DE：BC的值为_解析：ADEABC，利用面积比等于相似比的平方可得答案答案：1：24如右图，已知在ABC中，CDAB于D点，BC2BDAB，

5、则ACB_.答案：905如右图，已知在ABC中，ACB90，CDAB于D，AC6，DB5，则AD的长为_解析：在RtABC中，ACB90，CDAB，AC2ABAD.设ADx，则ABx5，又AC6，62x(x5)，即x25x360.解得x4(舍去负值)，AD4.答案：4热点分类讲练点击重点难点 关注热点题型热点之一平行线分线段成比例定理的应用1在与有关比例问题的证明中，要结合平行线分线段成比例定理，构造平行线进行解决2作平行线的方法：(1)利用中点作出中位线可得平行关系(2)利用已知线段的比例，作线段的平行线思路探究(1)结合题目给出的条件，可利用平行线分线段成比例定理证明(2)结合图形和(1)

6、的结论进行合理的代换(3)利用(2)的结论进行变形热点之二相似三角形的性质与判定定理的应用三角形相似的证明方法很多，解题时应根据条件，结合图形选择恰当的方法一般的思考程序是：先找两对内角对应相等；若只有一个角对应相等，再判定这个角的两邻边是否对应成比例；若无角对应相等，就要证明三边对应成比例例2如下图，已知 ABCD中，G是DC延长线上一点，AG分别交BD和BC于E、F两点，证明AFADAGBF.思维拓展一般地，证明等积式成立，可先将其化成比例式，再根据三角形相似证明其成立三角形相似具有传递性，如果A1B1C1A2B2C2，A2B2C2A3B3C3，那么A1B1C1A3B3C3.本题就是利用其

7、传递性来解决问题的即时训练： 如右图，BD、CE是ABC的高，求证：ADEABC.热点之三射影定理的应用1在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中“比例式”2证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法例3一直角三角形的两条直角边之比是1：3，则它们在斜边上的射影的比是_即时训练： 如下图所示，在ABC中，ADBC于D，CE是中线，DCBE，DGCE于G，EC的长为4，则EG_.解析：连接DE.因为ADBC于D，所以ADB是直角三角形，则DE1/2ABBEDC.又因为DGCE于G.所以DG垂直平分CE，故EG2.答案：2高考动态研究感悟高考真题 检验实战

8、技能直直 指指 考考 向向 本考点主要考查相似三角形的判定与应用，属中档题考查时多与圆的有关知识联系，涉及射影定理、相似比等基本知识经经 典典 考考 题题自自 主主 体体 验验 为方便教学使用，本部分单独装订成活页装，请做课时作业(60) 第二节直线与圆的位置关系会证明和应用以下定理：(1)圆周角定理；(2)圆的切线判定定理与性质定理；(3)相交弦定理；(4)圆内接四边形的性质定理与判定定理；(5)切割线定理基础自主梳理梳理基础知识 检测自身能力1圆周角定理(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 _ (2)圆心角定理圆心角的度数等于 _ 推论1同弧或等弧所对的圆周角 _；同

9、圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也 _ 推论2半圆(或直径)所对的圆周角是 _；90的圆周角所对的弦是 _ 知知 识识 梳梳 理理一半它所对弧的度数相等相等直角直径2圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理1圆内接四边形的对角 _ 定理2圆内接四边形的外角等于它的内角的 _ (2)判定判定定理如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点 _ 推论如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点 _ 互补对角共圆共圆3圆的切线的性质及判定定理(1)性质性质定理圆的切线垂直于经过切点的 _ 推论1经过圆心且垂直于切线的直线必过 _ 推论2经过切点且垂直于切线的直线必过 _

10、(2)判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 _ 4弦切角的性质定理弦切角等于它所夹的弧所对的 _ 半径切点圆心切线圆周角5与圆有关的比例线段(1)相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的 _ 相等(2)割线定理从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的 _ 相等(3)切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 _ (4)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的 _ 积积比例中项夹角6平行射影(1)正射影的定义：给定一个平面，从一点A作平面的垂线，垂足为点A，称点

11、A为点A在平面上的正射影(2)平行射影的定义：设直线l与平面相交，称直线l的方向为投影方向过点A作平行于l的直线(称为投影线)必交于于一点A，称点A为A沿l的方向在平面上的平行射影7平面与圆柱面的截线用一个平面去截一个圆柱，当平面与圆柱的两底面平行时，截面是一个 _ ；当平面与圆柱的两底面不平行时，截面是一个 _ 圆椭圆8平面与圆锥面的截线在空间中，取直线l为轴，直线l与l相交于O点，夹角为，l围绕l旋转得到以O为顶点，l为母线的圆锥面，任取平面，若它与轴l的交角为(当与l平行时，记0)，则(1)，平面与圆锥的交线为 _；(2)，平面与圆锥的交线为 _；(3)CD，K、M分别在AD、BC上，D

12、AMCBK，求证：C、D、K、M四点共圆证明：在四边形ABMK中，DAMCBK，A、B、M、K四点共圆连结KM，有DABCMK，DABADC180，CMKKDC180.故C、D、K、M四点共圆热点之三相交弦定理、切割线定理的应用1相交弦定理、切割线定理主要是用于与圆有关的比例线段的计算与证明解决问题时要注意相似三角形知识及圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用2应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等思维拓展相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面

13、在与定理相关的图形不完整时，要用辅助线补齐相应部分在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理；见到两条割线就要想到割线定理；见到切线和割线时就要想到切割线定理即时训练： 如右图，已知O的割线PAB交O于A，B两点，割线PCD经过圆心，若PA3，AB4，PO5，求O的半径解：设圆的半径为R，由PAPBPCPD，得3(34)(5R)(5R)，解得R2.高考动态研究感悟高考真题 检验实战技能直直 指指 考考 向向 以解答题的形式考查与圆相关的角的问题、四点共圆问题、圆的切线问题以及与圆有关的比例线段问题，是高考对本节内容的常规考法.2010年课标全国卷以解答题的形式考查了圆的综合问题，是一个新的考查方向经经 典典 考考 题题自自 主主