第 04 章 动量及角动量

1、第第 4 章章 动量和角动量动量和角动量第第 4 章章 动量和角动量动量和角动量4.1 动量定理动量定理 动量守恒定律动量守恒定律4.2 质心质心 质心运动定理质心运动定理4.3 碰撞问题碰撞问题4.5 质点的角动量质点的角动量 角动量守恒定律角动量守恒定律4.4 火箭飞行基本原理火箭飞行基本原理4.6 质点系的角动量质点系的角动量一、动量与冲量一、动量与冲量vmp单位：单位：kgms-1 冲量是反映力对时间的累积效应的物理量。冲量是反映力对时间的累积效应的物理量。冲量：作用力与作用时间的乘积。冲量：作用力与作用时间的乘积。恒力的冲量：恒力的冲量：)(12ttFI变力的冲量：变力的冲量：21d

2、)(ttttFI单位：单位：Ns牛顿第二定律：牛顿第二定律：amtvmFtvmFtm ddd)(d0dd动量：动量：4.1 动量定理动量定理 动量守恒定律动量守恒定律二、质点动量定理二、质点动量定理由牛顿运动定律：由牛顿运动定律：tptvmFddd)(dtFpdd如果力的作用时间从如果力的作用时间从 ，质点动量从，质点动量从 则：则： tt 0pp0000dvmvmpptFItt质点动量定理：质点动量定理： 质点在运动过程中，所受合外力的冲质点在运动过程中，所受合外力的冲量等于质点动量的增量。量等于质点动量的增量。动量定理的微分式：动量定理的微分式：(2) 动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合

3、矢量叠加动量定理中的动量和冲量都是矢量，符合矢量叠加原理。或以原理。或以分量形式分量形式进行计算。进行计算。ttzzzzttyyyyxxttxxmvmvtFImvmvtFImvmvtFI000000ddd(1) 反映了力在时间上的累积作用对质点产生的效果。反映了力在时间上的累积作用对质点产生的效果。说明说明000dvmvmpptFItt(3) 冲击、冲击、 碰撞问题中碰撞问题中估算估算平均冲力平均冲力tttFtttIF0d10(4) 适用于适用于惯性系惯性系，在非惯性系中，只有添加惯性力的冲，在非惯性系中，只有添加惯性力的冲量后才成立量后才成立F(t)FtF00ttpp解：解：0440d mv

4、mvtF4)(mvtmgFtgmFv)(4(1) 根据动量定理：根据动量定理：30047t(s)F(N)例例4-1 m=10 千克木箱，在水平拉力作用下由静止开始千克木箱，在水平拉力作用下由静止开始运动，拉力随时间变化如图。已知木箱与地面摩擦系数运动，拉力随时间变化如图。已知木箱与地面摩擦系数为为 =0.2，求：，求： (1) t=4 秒时刻木箱速度；秒时刻木箱速度；(2) t=7 秒时刻木箱速度；秒时刻木箱速度；(3) t=6 秒时刻木箱速度。秒时刻木箱速度。mF)m/s(44)102 . 01030( d )2(4774mvmvtF)74( 1070ttF4747d)1070(mvtmgt

5、mv)m/s( 5 . 24d)5(747ttv)m/s( 44d)5(646ttv30047t(s)F(N)( mgFF例例4-2 质量为质量为m的行李，垂直地轻放在传送带上，传送的行李，垂直地轻放在传送带上，传送带的速率为带的速率为v ，它与行李间的摩擦系数为，它与行李间的摩擦系数为， 试计算试计算：(1) 行李将在传送带上滑动多长时间行李将在传送带上滑动多长时间? (2) 行李在这段时间内运行李在这段时间内运动多远动多远? (3) 有多少能量被摩擦所耗费有多少能量被摩擦所耗费?0fmvmgttF(1) 以地面为参照系以地面为参照系(2) 由质点动能定理由质点动能定理0212fmvmgxx

6、FA解解:(或：或： )221atxmxOvgvtgvx22mxOv(3) 被摩擦损耗的能量等于一对摩擦力做的功被摩擦损耗的能量等于一对摩擦力做的功)(fvtxFA以传送带为参考系：以传送带为参考系：2221)2(mvgvmg三、质点系的动量定理三、质点系的动量定理设设 有有N个质点构成一个系统，个质点构成一个系统，末速度末速度 。第第 i 个质点：个质点：外力外力 ，iF内力内力 ，if初速度初速度 ，0iviv质量质量im由质点动量定理：由质点动量定理：0d0iiiittiivmvmtfF 0d0iiiittiivmvmtfF 0if其中：其中：m21f2fm1PPPtFtti 00di质

7、点系的动量定理：质点系的动量定理：微分式：微分式：tPFidd质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。质点系统所受合外力的冲量等于系统总动量的增量。PPPtFtti 00d四、动量守恒定律四、动量守恒定律系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。系统所受合外力为零时，系统的总动量保持不变。iivmP 0iF当当 时，时， 常矢量。常矢量。( (2) )当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统的总当外力作用远小于内力作用时，可近似认为系统的总动量守恒。（如：碰撞、打击等）动量守恒。（如：碰撞、打击等） ( (1) )动量守恒是指系统动量总和不变，但系统内动量守恒是指系统动量总和不变，但

8、系统内各个质点的动量可以变化各个质点的动量可以变化, , 通过内力进行传递和交换。通过内力进行传递和交换。说明说明(3) 分量式分量式)0()0()0(时时当当常常量量时时当当常常量量时时当当常常量量iziziziyiyiyixixixFvmPFvmPFvmP(4) 定律不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域。定律不仅适合宏观物体，同样也适合微观领域。例例4-3 已知高已知高H，傾角为，傾角为 的斜面光滑。小车的斜面光滑。小车质量质量 M，从顶端滑至中点时刚好有一钢球从顶端滑至中点时刚好有一钢球 m 从从 h 高度掉入。求小高度掉入。求小车到达底部时的速度车到达底部时的速度V ?解：解：m、M

9、系统，冲击过程系统，冲击过程HhmM (M+m)gNvmMmvMvMm)(sin由于由于m与与M间的冲击作间的冲击作用力远大于重力在斜面用力远大于重力在斜面上的分量，重力在冲击上的分量，重力在冲击过程中可以忽略，过程中可以忽略，斜面斜面方向动量守恒方向动量守恒!冲击过程后，冲击过程后，m、M、地球系统机械能守恒：地球系统机械能守恒：22)(212)()(21VmMgHmMvmM解得：解得：2)sin2(mMghmgHMgHVghvmghmvmm2 212 2212gHvHMgMvMMu例例4-4 炮车的质量为炮车的质量为M，炮弹的质量为，炮弹的质量为m。若炮车与地面。若炮车与地面有摩擦，摩擦系

10、数为有摩擦，摩擦系数为 , 炮弹相对炮身的速度为炮弹相对炮身的速度为u， 求炮身求炮身相对地面的反冲速度相对地面的反冲速度 v 。解：解：选取炮车和炮弹组成系统选取炮车和炮弹组成系统运用质点系的动量定理：运用质点系的动量定理：0)(d)(0uvmvMtfNgmgMx方向：方向：) 1 ()cos(d0uvmMvtf内、外力分析。内、外力分析。水平的动量守恒吗水平的动量守恒吗 ？y方向：方向：)2(sind)(0mutmgMgNxygMgmNf) 1 ()cos(d0uvmMvtf)2(sind)(0mutmgMgN)( mgMgN很很短短，) 3(Nf)2(sind0mutNsin cos )

11、(umumvmMmMmuv)sin(cosugMgmNf讨论：讨论：1. 若炮车与地面没有摩擦若炮车与地面没有摩擦0mMmuvcos2. 若炮车与地面有摩擦，但水平发射炮弹若炮车与地面有摩擦，但水平发射炮弹0mMmuv3. 自锁现象，即自锁现象，即 v=0 时时cotmMmuv)sin(cosEND4.2 质心质心 质心运动定理质心运动定理一、质心一、质心 质心质心是与质量分布有关的一个代表点，它的位置在是与质量分布有关的一个代表点，它的位置在平均意义上代表着质量分布的中心。平均意义上代表着质量分布的中心。ccc质心的位矢：质心的位矢：iiiiimrmrcmxmxiiic分量式：分量式：mmr

12、rddcmymyiiicmzmziiic质量连续分布的物体：质量连续分布的物体：xyzirimcrOcmmxxddc分量式：分量式：smsddVmdd质量线分布：质量线分布：质量面分布：质量面分布：质量体分布：质量体分布：mmrrddcmmyyddcmmzzddclmldd例例4-5 求半圆求半圆环环的质心。的质心。llRRxdmmxxdc0dsin1R 质心不一定位于物体内部。质心不一定位于物体内部。解：解：RxyOdlc2RdddRlmll二、质心运动定理二、质心运动定理iiiiiimvmmtrmtrvddddcciiivmvmciiiiimrmrc为质点系的动量为质点系的动量零动量系零动

13、量系质心坐标系：质心坐标系：由质心位矢公式：由质心位矢公式：0cr0cv0iiivmccddamtvmFii由质点系动量定理：由质点系动量定理：c1ddvmtFii0d0iiiiiittiivmvmtF 质心运动定理：质心运动定理： 质心的运动等同于一个质点的运动，这质心的运动等同于一个质点的运动，这个质点具有质点系的总质量，它受到的外力为质点系所个质点具有质点系的总质量，它受到的外力为质点系所受的所有外力的矢量和。受的所有外力的矢量和。微分形式：微分形式：0ccvmvm1. 适用于惯性系。适用于惯性系。0, 0caFii质心系是惯性系，质心系是惯性系，质心系是非惯性系。质心系是非惯性系。0,

14、 0caFii2.3. 动量守恒、功能原理、角动量定理在质心系中成立。动量守恒、功能原理、角动量定理在质心系中成立。4. 质点系相对惯性系的运动可分解成：质点系相对惯性系的运动可分解成： 随质心的运动随质心的运动+相对质心的运动。相对质心的运动。222212121iiiiciiiivmvmvm资用能资用能说明说明质点系在实验室系的总动能：质点系在实验室系的总动能：例例4-6 三棱体三棱体 C、滑块、滑块 A、B，各面均光滑。各面均光滑。已知已知mC=4mA=16mB , =300， =600。求。求A下降下降 h=10cm时三棱体时三棱体 C 在水平方向的位移。在水平方向的位移。解：解：0)(

15、)(xmxxmxxmCBBAA水平方向无外力水平方向无外力, 质心水平位置不变。质心水平位置不变。ABCh tan/ hxA)cm(8 . 3 CBABBAAmmmxmxmxx设三棱体设三棱体 位移为位移为 ： 0cx0 iixm sin/cos hxB例例4-7 质量为质量为M的人，手里拿着质量为的人，手里拿着质量为m的物体，此人用的物体，此人用与地平线成与地平线成 的速度的速度v0 向前跳去，当他到达最高点时，把向前跳去，当他到达最高点时，把物体以相对于自己以速度物体以相对于自己以速度 u 向后抛出，问由于物体的抛出向后抛出，问由于物体的抛出，他跳过的距离与不抛物体时相比可增加多少？，他跳

16、过的距离与不抛物体时相比可增加多少？人不向后抛出物体，所跳人不向后抛出物体，所跳过的距离：过的距离：解法一解法一 取地面坐标系，用动量守恒定律求解。取地面坐标系，用动量守恒定律求解。人在最高点向后抛出物体的过人在最高点向后抛出物体的过程中，应用动量守恒定律：程中，应用动量守恒定律：gvRcossin220cos)()(0vMmuVmMVmMRR+RxyuVO抛出物体后人的速度：抛出物体后人的速度： MmmuvVcos0比不抛出物体时速度增加了：比不抛出物体时速度增加了：MmmuV抛出物体后多跳过的距离：抛出物体后多跳过的距离：2TVtVRgvMmmusin0解法二解法二 质心坐标系中应用动量守

17、恒定律。质心坐标系中应用动量守恒定律。uvVMVmv0MmmuV在下落时间过程中，人相对于质心运动的距离，即为人在下落时间过程中，人相对于质心运动的距离，即为人比不抛出物体时多跳过的距离比不抛出物体时多跳过的距离:tVRmMRR+RxyuVOgvMmmusin0解法三解法三 应用质心运动定律求解。应用质心运动定律求解。人以相对于自己速度人以相对于自己速度u 抛出抛出物体物体m，下落后，人，下落后，人M与物与物体体m之间的距离：之间的距离：gvuutlsin0cxxRMmMxx联立方程后，可得落地时人离质心距离为：联立方程后，可得落地时人离质心距离为：mMmxMxxmMcENDmMRR+Rxyu

18、VOgvR2sin20gMmmuvMmml)(sin0一、碰撞过程一、碰撞过程1. 压缩阶段压缩阶段2. 恢复阶段恢复阶段4.3 碰撞问题碰撞问题微观粒子：碰撞微观粒子：碰撞 散射散射 弹性碰撞：弹性碰撞：碰撞后物体的形变可以完全恢复，且碰碰撞后物体的形变可以完全恢复，且碰撞前后系统的总机械能守恒。撞前后系统的总机械能守恒。 非弹性碰撞：非弹性碰撞：碰撞后物体的形变只有部分恢复，系碰撞后物体的形变只有部分恢复，系统有部分机械能损失。统有部分机械能损失。 完全非弹性碰撞：完全非弹性碰撞：碰撞后物体的形变完全不能恢复，碰撞后物体的形变完全不能恢复，两物体合为一体一起运动。系统有机械能损失。两物体合

19、为一体一起运动。系统有机械能损失。(1) 弹性碰撞弹性碰撞v2v1v20v102211202101vmvmvmvm动量守恒：动量守恒：动能守恒：动能守恒：2222112202210121212121vmvmvmvm21202102112mmvmvmmv21101201222mmvmvmmv201012vvvv1. 当当m1=m2时，时， 则则:102201vvvv讨论讨论 在一维弹性碰撞中在一维弹性碰撞中, 质量相等的两个质点在碰撞中交质量相等的两个质点在碰撞中交换彼此的速度。换彼此的速度。2. 若若v20=0，且，且 m2m1，则，则:21202102112mmvmvmmv211012012

20、22mmvmvmmv02101vvv质量很小的质点与质量很大的静止质点碰撞后，调转运质量很小的质点与质量很大的静止质点碰撞后，调转运动方向，而质量很大的质点几乎保持不动。动方向，而质量很大的质点几乎保持不动。3. 若若v20=0， 且且m2m1， 则则:1021012vvvv质量很大的入射质点与质量很小的静止质点碰撞后速度几质量很大的入射质点与质量很小的静止质点碰撞后速度几乎不变，但质量很小的质点却以近两倍的速度运动起来。乎不变，但质量很小的质点却以近两倍的速度运动起来。(2) 完全非弹性碰撞完全非弹性碰撞动量守恒：动量守恒：vmmvmvm)(2120210121202101mmvmvmv机械

21、能损失：机械能损失：)2121()(21220221012210kkvmvmvmmEEE)(2)(212201021mmvvmmEvv20v10动量守恒：动量守恒：(3) 非弹性碰撞：非弹性碰撞：2211202101vmvmvmvm碰撞定律：碰撞定律： 碰撞后两球的分离速度碰撞后两球的分离速度(v2-v1)与碰撞前与碰撞前两球的接近速度两球的接近速度(v10-v20) 成正比。比值由两成正比。比值由两球的质料决定。球的质料决定。201012vvvve恢复系数恢复系数v2v1v20v10碰后两球的速度：碰后两球的速度：2120102101)(1 (mmvvemvv2120101202)(1 (m

22、mvvemvv机械能损失：机械能损失：2201021212k)()1 (21vvmmmmeE完全非弹性碰撞：完全非弹性碰撞： e =0 v2=v1非弹性碰撞：非弹性碰撞： 0 e 1 弹性碰撞：弹性碰撞： e =1 （v2-v1）= （v10-v20）201012vvvve例例4-8 已知板已知板 M，l；小球；小球 m, v0 , h。弹簧。弹簧 k，桌面光滑，桌面光滑，掉下时与板为弹性碰撞。求掉下时与板为弹性碰撞。求(1) 弹簧最大压缩量，弹簧最大压缩量， (2) 若若只发生一次碰撞，则只发生一次碰撞，则v0 应满足什么条件？应满足什么条件？解：解：ghvvvyx2,0MVvmmvyy22

23、222212121MVvvmvvmyxyx（1）碰撞时（）碰撞时（y方向碰撞）方向碰撞）, 小球速度为：小球速度为：弹性碰撞：弹性碰撞：hlm v0kxy解得：解得：MmghmV22MmghmMvy2碰后，板、弹簧、地球系统：碰后，板、弹簧、地球系统：yMgyykykMV20202212121得：得：kMghMmmVkMy22kMgy 0 其中(2)小球从桌面下落至板上经历的时间：小球从桌面下落至板上经历的时间：ght/21球要与板发生碰撞，球要与板发生碰撞， 首先首先须满足条件须满足条件 1：ltv10一次碰撞后，小球弹起再落一次碰撞后，小球弹起再落回原碰撞处经历的时间：回原碰撞处经历的时间：gvty/22hlm v0k得：得：lhgvlhgmMMm 2 230lttv)(210设平板质量很大，碰后弹