椭圆及其标准方程案例

1、椭圆及其标准方程内容和内容解析(1)内容椭圆是常见的曲线，通过对引言及日常生活的体验，学生对椭圆已经有了一定的认识.本节将在此基础上，引导他们具体学习椭圆的定义、椭圆的标准方程的推导.本节是继直线与圆的方程之后，用坐标法研究曲线和方程的又一次实际演练(2)内容解析圆锥曲线是高中数学中十分重要的内容之一.它的许多几何性质在日常生活、生产和科学技术中都有着广泛的应用 .本节是圆锥曲线与方程的第一节课，主要学习椭圆的定义 和标准方程.它是本章也是整个解析几何部分的重要基础知识，原因如下：第一，在教材结构上，本节内容起到一个承上启下的重要作用.一方面，前面学生用坐标法研究了直线和圆，而对椭圆概念与方程

2、的研究是坐标法的深入，另一方面，椭圆、双曲线、 抛物线无论是定义、性质、方程还是坐标法运用上都有很多相似之处，可以说学习椭圆就是学习其他圆锥曲线的基础.第二，对椭圆定义与方程的研究，将曲线与方程对应起来，体现了函数与方程、数与形结合 的重要思想.而这种思想，将贯穿于整个高中阶段的数学学习第三，对椭圆定义与方程的探究过程，使学生经历了观察、猜测、实验、推理、交流、反思 等理性思维过程，培养了学生的思维方式，加强了运算能力，提高了他们提出问题、分析问 题、解决问题的能力，为后续知识的学习奠定了基础目标和目标解析(1)目标通过观察、实验、证明等方法的运用，让学生能够理解椭圆的定义，掌握椭圆标准方程

3、的两种形式，并根据条件会求椭圆的标准方程.通过对椭圆的认识及其方程的推导，使学生的分析、探究、抽象、概括等逻辑思维能力得到一定提高，用坐标法解决圆锥曲线问题的能 力得到加强.鼓励学生积极、主动的参与教学的整个过程，激发其求知的欲望(2)目标解析椭圆及其标准方程是圆锥曲线的基础，它的学习方法对 圆锥曲线 这一章具有导向和引领作用，直接影响其他圆锥曲线的学习，它是后继学习的基础和示范.同时，也是求曲线方程的深化和巩固.因此，学生对椭圆定义的理解，直接影响到他们对后续双曲线及抛物线 定义的理解，又因为对椭圆定义的学习及其标准方程的推导过程是培养学生观察、分析、发现、概括、推理和探索能力的极好素材，所

4、以让学生理解椭圆的定义及标准方程的推导，成 为本节课的重点.另外，让学生集体参与、主动参与，让学生动手、动脑，通过观察、猜想、 归纳等合情推理，鼓励学生多向思维、积极活动、勇于探索.所以，在平等的教学氛围中，让学生体验数学学习的成功与快乐，增加学生的求知欲和自信心；培养学生不怕困难、勇于 探索的优良作风，增强学生审美体验，提高学生的数学思维的情趣，给学生以成功的体验，形成学习数学知识的积极态度成为本节课要达成的情感目标教学重点：椭圆的定义、椭圆标准方程的推导教学问题诊断分析(1)教学的第一个问题是椭圆是怎样画出的，椭圆中存在的等量关系是什么，定义中要有什么样的约束条件？解决方案：可通过两定点距

5、离、绳长与图形的关系，通过操作，完善定义；利用三角形中的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边原理，完善定义(2)教学的第二个问题是平面直角坐标系怎么建立可以使得标准方程变得简单解决方案：引导学生类比“圆心在原点及不在原点的圆的方程的求解过程”得到建系的方法.(3)教学的第三个问题是椭圆标准方程的推导与化简中含有两个根式的等式化简.解决方案：由于用两边同时平方法化简较为繁琐，有些学生完成可能的有困难，老师要及时加以指导.(4)教学的第四个问题可能是焦点在Y轴上的椭圆方程的得出.解决方案：可以利用类比“化归”的思想，通过翻折和旋转的方式实现图形变换，从而利用 焦点在x轴上椭圆的标准方程得到焦点在

6、 y轴上椭圆的标准方程， 避免繁琐、重 复的推导过程.教学难点：椭圆标准方程的推导教学支持条件分析动手切割圆锥形的事物，结合教材中的课后阅读材料，让学生了解圆锥曲线名称的来历及 圆锥曲线的样子.对椭圆定义的引入，可借助多媒体辅助工具及实物模型，直观形象的进行展示，让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，进而形成正确的概念 借助绳子及图钉等作为教具，动手绘制椭圆，通过演示，让学生掌握椭圆绘制方法并从中理解椭圆定义的实质.注意椭圆的定义与椭圆的标准方程的联系推导椭圆的标准方程时，可利用多媒体辅助工具， 让学生类比圆的方程的求解方法，得到求椭圆标准方程的建系方法.利用多媒体辅助翻转图形，启发学生得

7、到焦点在y轴上的椭圆的标准方程.然后，鼓励学生探索椭圆的两种标准方程的异同点，进一步加深对椭圆的认识合理利用实物展台，对学生所获得的经验进行展示，引导学生积极参与学习活动，培养学生的好奇心和学习兴趣；体验学习数学的成功与快乐，增强自信心教学过程(一)直观感受，形象体会把装有咖啡的圆柱形杯子适度倾斜，让学生观察水面所形成的图形动手切割圆锥形的胡萝卜，让学生观察切片的形状多媒体辅助：圆及其水平放置的直观图，椭圆形状的实物得出结论一一椭圆，教材中的课后阅读材料，介绍“圆锥曲线”名称的由来设计目的：利用生动形象的演示实验及实物展图，提高学生的学习兴趣、激活思维，使他们的注意力、记忆力、思维凝聚在一起，

8、加强学生对椭圆形象的认识，通过介绍“圆锥曲 线”名称的由来，让学生对圆及椭圆之间的形变关系有一点点的体会(二)新课教学1、椭圆的定义【问题一】将一根绳子的两端固定在同一个图钉处，再将铅笔套在绳子的折点处绷紧， 然后旋转一周，便可在一块硬纸板上绘制出一个圆.如果将绳子的两端分别固定在距离小于绳长的两个图钉上，将铅笔卡在绳子内侧的任意位置绷紧，同样旋转一周，可以在硬纸板上绘制出什么样的图形呢？事实上，是可以做到的.将绳子的一端固定在硬纸板上的图钉处，将铅笔套在绳子的另 一端，旋转一周，便得到一个圆 .结合将装有咖啡的圆柱形杯子适度倾斜，得到的咖啡上底 面是椭圆形，可知圆形和椭圆形存在着形变的关系.

9、圆柱形杯子倾斜时，圆形水面的圆心便会向两侧均匀移动，圆心这个定点就拆分成为两个定点，到定点的距离也就变成了到两个定点之间的距离关系， 再进行探索便可发现， 当绳子的长度大于两个定点间的距离时，将铅笔卡在绳子上拉直，再旋转一周，所得到的图形便是椭圆形了.得出结果后，教师可就圆的绘制及椭圆的绘制过程及结果进行实践展示，加深学生的印象，也为后续问题做铺垫设计目的：让学生对所掌握的知识重新进行归纳及整理，能大胆猜想，敢于实践，培养 他们的探究精神.焦点及焦距的定义：椭圆的两个定点通常称为椭圆的两个焦点，两个焦点间的距离称之为焦距.【问题二】设椭圆的两个焦点分别为Fi, F2,椭圆上任一点P ,能否从以

10、上绘制出的椭圆图形中，抽象出一个等量关系，并由此归纳椭圆的定义？由椭圆的绘制过程， 容易观察出，绳子的长度始终是保持不变的， 不妨设绳子的长度为 2a,焦距为2c,则可得到等式：|PFi |+|PE |=2a (2a>2c),定义：平面上到两个定 点Fi ,F2的距离之和恒等于常数 2a ( 2a >| F1F2 |)的点的轨迹.设计目的：锻炼学生的观察能力，培养学生抽象概括的能力【问题三】椭圆的定义中，去掉 2a>| FF21这个条件，所得到的轨迹还是椭圆吗？ 事实上，当绳子的长度恰好等于两定点间的距离时，是无法绘制出椭圆的，即满足| PFi | +| PF2 | = 2a

11、 ( 2aHF1F2 |)的点P的轨迹是线段 RF2,当绳子的长度小于两定点间 的距离时，是无法绘制出图像的，即满足|PF1|十|PF2|=2a ( 2a <| F1F2 D的点P是不存在的.设计目的：培养学生严密的逻辑思维能力，让他们懂得分析问题时，应注意全面性.在归纳定义时，再次强调定义要满足三个条件：平面内（这是大前提）；任意一点到两个定点的距离的和等于常数；常数大于| RE| .2、椭圆标准方程的推导播放课件：哈雷慧星 1986年2月9日是上世纪第二次也是最后一次回归地球，天文学家推算出哈雷慧星每隔 76年到达离地球最近点一次.【问题四】天文学家推算出76年以后它还将光临地球上空

12、的依据是什么？原来，哈雷彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行的周期及轨道的周期，预测它接近地球的时间.由此可说明轨迹方程有很大作用，怎样才能算出彗星运行轨道的方程呢？设计目的：利用课件生动形象的演示提高学生学习兴趣、激活学生思维，使学生的注意、记忆、思维凝聚在一起，加强学生对椭圆形象的认识，提高参与程度，让学生认识到学习椭 圆的必要性.复习回顾：验证.学生可能会有如下几种求曲线轨迹方程的步骤：建系一一设点一一列式一一化简（坐标法）启发学生类比求圆的方程的建系方法，建立适当的直角坐标系建系方案：万案万案1:以定点Fi为原点，两定点

13、的连线为2：以定点F2为原点，两定点的连线为X轴;X轴;万案万案4:以两定点的连线为 Y轴，其垂直平分线为 X轴.方案2方案3万案13:以两定点的连线为 X轴，其垂直平分线为 Y轴;【问题五】类比圆的方程的推导， 四种建系方案中，哪些方案得出的椭圆的方程较为简便？222_事实上，圆心在原点，半径为 r的圆的万程为x +y =r ；圆心为（a,0） （a=0）,222半径为r的圆的万程为（xa） +y =r ；圆心为（a,b） （a,b=0）,半径为r的圆的方程为（x-a）2 +（y -b）2 =r2,可观察得出，圆心在原点的圆的方程最为简便，抓住图形的对称性来建立直角坐标系是这种建系方案最大的

14、特点.从而，可猜想，方案 3及方案4的建系 方法得出的椭圆的方程应该比较简便以方案三为例，推导椭圆的标准方程:建系：以Fi,F2所在直线为x轴，以线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标设点：设 M (xi, y)是椭圆上任意一点，为了使Fi,F2的坐标简单及化简过程不那么繁杂，设 | F1F2 |= 2c(c> 0),则 Fi(- c,0), F2(c,0)设M与两定点F1,52的距离的和等于2a列式：|MFi|+IMF21= 2a , J(x+ c)2+ y2 + J(x- c)2 + y2 = 2a,化简：(这里是本节的一个难点.为突破难点，教师进行设问：我们怎么化简带根式的

15、式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？还有没有其他方法，集思广议，进行筛选后，选择方案如下).(x + c)2 + y2 = 2a-(x- c)2 + y2两边平方，得：(x+ c)2 + y2 = 4a2 - 4a , (x- c)2 + y2 + (x- c)2 + y2即 a2- cx = a、(x- c)2 + y2两边平方，得：a4- 2a2cx + c2x2 = a2(x- c)2+a2y2整理，得：(a2- c2)x2 + a2y2 = a2(a2- c2)令 a2- c2 = b2(b > 0),则方程可简化为：b2x2 +a2 y2 = a2b222整理成：j

16、 4=1(a b 0)a2 b222指出：方程 二十1=1(a >b >0)叫做椭圆的标准方程，焦点在 x轴上，焦点是 a b一一222Fi(-c,0),F2(c,0),c =a -b【难点突破】1、学生对含有两个根式之和的等式进行化简有一定困难，可采用以下方法突破难点：首先让学生明确，含根号的等式化简的目的就是要去掉根号，变无理式为有理式；其次复习含有一个根式的等式的化简方法一一将根式放在等式的一边，其它项移到等式另一边，两边平方可去掉根号；有了这一基础，可启发学生，化简含两个根式之和的等式， 只要将两个根式分别放在等号两边，其中一边只含一个根式，平方一次后即可转化为只含一个根式

17、的化简问题.2、化简的方法还有很多，如等差中项法等，可布置为课后的思考题，发散学生的思维， 进一步锻炼学生的计算能力.【问题六】如果以 f1，F2所在直线为y轴，线段F1F2的垂直平分线为 x轴，建立直角 坐标系，焦点是F1(0,c), F2(0,c),椭圆的方程又如何呢？教师可结合多媒体进行辅助，翻转方案 3的图形，引导学生得出焦点在y轴上的椭圆22的标准方程为：石将=1(a b 0)a b【问题七】已知椭圆标准方程，如何判断焦点位置？引导学生思考：看 x2, y2的分母大小，哪个分母大就在哪一条轴上.设计目的：通过对比总结，强化不同类型的方程的异同，从而深化学生对椭圆标准方 程的理解；通过

18、讨论，学生自主学习，构建新的知识体系，不但能学习到真正属于自己的、 可灵活运用的知识，而且在此过程中掌握求知的方法，深化学生对椭圆标准方程的理解(三)典型例题研究: 例1、下列方程是否表示椭圆，为什么？2L = 0 ；(3)422 yX =1 ；(4)522土 L =1；(2)44思考题方程Ax2 + By2 = C中，A、B、C满足什么条件，方程可以表示椭圆？设计目的：使学生进一步熟悉椭圆的标准方程，在辨别中加深印象，加强对知识的理解例2、已知a =4, b=3,求焦点分别在 x、y轴上的椭圆的标准方程.分析：(略)变式训练1根据已知条件，求焦点分别在 x、y轴上的椭圆的标准方程.(1) a=6,b=4；(2) a=3,b=1；(3) a = 5,c=2；(4)b=U3,c = V2 .设计目的：检测学生的掌握情况，及时反馈，强化知识点的学习，为下节课内容的学习打好基础；加深对所学知识的理解和运用，使学生掌握基础知识， 利于学生思维能力的培养例3、已知椭圆两个焦点的坐标分别是 (-2,0 ), (2,0 ), 并且经过点，5,-3 ；,求它的标准 2 2方程.解：