曲线运动题型总结

1、 专题五 曲线运动一、运动的合成和分解【题型总结】1速度的合成：（1）运动的合成和分解 （2）相对运动的规律 例：一人骑自行车向东行驶，当车速为4ms时，他感到风从正南方向吹来，当车速增加到7ms时。他感到风从东南方向（东偏南45）吹来，则风对地的速度大小为（ ）A. 7m/s B. 6ms C. 5ms D. 4 msV风对车V风对地V车对地V风对车解析：“他感到风从正南方向（东南方向）吹来” ，即风相对车的方向是正南方向（东南方向）。而风相对地的速度方向不变，由此可联立求解。解：=45V风对车=7 4=3 ms V风对地= ms答案：C2绳（杆）拉物类问题 绳（杆）上各点在绳（杆）方向上的

2、速度相等 合速度方向：物体实际运动方向分速度方向：沿绳（杆）伸（缩）方向：使绳（杆）伸（缩）垂直于绳（杆）方向：使绳（杆）转动 例：如图所示，重物M沿竖直杆下滑，并通过绳带动小车m沿斜面升高问：当滑轮右侧的绳与竖直方向成角，且重物下滑的速率为v时，小车的速度为多少？解：方法一：虚拟重物M在t时间内从A移过h到达的运动，如图（1）所示，这个运动可设想为两个分运动所合成，即先随绳绕滑轮的中心轴O点做圆周运动到B，位移为s1，然后将绳拉过s2到C若t很小趋近于0，那么0，则s10，又OAOB，OBA（180)90亦即s1近似s2，故应有：s2hcos因为cos，所以vvcos方法二：重物M的速度v的

3、方向是合运动的速度方向，这个v产生两个效果：一是使绳的这一端绕滑轮做顺时针方向的圆周运动；二是使绳系着重物的一端沿绳拉力的方向以速率v运动，如图（2）所示，由图可知，vvcos （1） （2）练习1：一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，如图所示，设汽车和重物的速度的大小分别为，则（ ）A、 B、 C、 D、重物B的速度逐渐增大解析：（微元法）设经过t，物体前进，绳子伸长：， ，. ， 练习2：如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B（可视为质点）。将其放在一个直角形光滑槽中，已知当轻杆与槽左壁成角时，A球沿槽下滑的速度为VA，求此时B球的速度VB？VBVB1VB2BAVAVA

4、1VA2解：A球以VA的速度沿斜槽滑下时，可分解为：一个使杆压缩的分运动，设其速度为VA1；一个使杆绕B点转动的分运动，设其速度为VA2。而B球沿斜槽上滑的运动为合运动，设其速度为VB，可分解为：一个使杆伸长的分运动，设其速度为VB1，VB1=VA1；一个使杆摆动的分运动设其速度为VB2；由图可知： 3渡河问题（1）以时间为限制条件：时间最短：使船头垂直于河岸航行 （d为河宽） （为合速度与水流速度的夹角）普通情况： （为船头与河岸的夹角）（2）以位移为限制条件： （d为河宽） （为船头与河岸的夹角） 船的真实方向指的是船的航行方向；船的划行方向指的是船头指向。例1：在抗洪抢险中，战士驾驶摩托

5、艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2,战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为() 解析：摩托艇要想在最短时间内到达对岸，其划行方向要垂直于江岸，摩托艇实际的运动是相对于水的划行运动和随水流的运动的合运动，垂直于江岸方向的运动速度为v2，到达江岸所用时间t=；沿江岸方向的运动速度是水速v1在相同的时间内，被水冲下的距离，即为登陆点距离0点距离。 答案：C例2：某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T1；若此船用最短的位移过河，则需时间为T2，若船速大于

6、水速，则船速与水速之比为（ ） (A) (B)(C) (D)解析：设船速为 ，水速为 ，河宽为d ，则由题意可知 ： 当此人用最短位移过河时，即合速度方向应垂直于河岸，如图所示，则 联立式可得： ，进一步得 答案：AMm【巩固练习】1、 一个劈形物体M，各面都光滑，放在固定的斜面上，上表面水平，在上表面放一个光滑小球m，劈形物体由静止开始释放，则小球在碰到斜面前的运动轨迹是（ ）A、 沿斜面向下的直线 B、竖直向下的直线 C、无规则的曲线 D、抛物线解析：由于小球初速度为零，所以不可能做曲线运动；又因为小球水平方向不受力，水平方向运动状态不变，所以只能向下运动。答案：C同类变式1下列说法中符合

7、实际的是：（）A足球沿直线从球门的右上角射入球门B篮球在空中划出一条规则的圆弧落入篮筐C台球桌上红色球沿弧线运动D羽毛球比赛时，打出的羽毛球在对方界内竖直下落。解析：足球在空中向前飞行时，只受重力作用，一定做曲线运动；抛出的篮球，所受重力的方向不可能总与篮球的速度方向垂直，所以不可能是规则的圆弧；滚动的台球所受合力是摩擦力，与运动方向相反，只能做减速直线运动；打出的羽毛球受到重力及较大的空气阻力作用，其中空气阻力总与运动方向相反，随着运动速率减小而减小，二力合力的大小及方向都在不断变化，所以打出的球较高时有可能竖直下落。答案：D同类变式2匀速上升的载人气球中，有人水平向右抛出一物体，取竖直向上

8、为y轴正方向，水平向右为x轴正方向，取抛出点为坐标原点，则地面上的人看到的物体运动轨迹是下图中的： A B C D 解析：物体具有竖直向上的初速度，在空中只受重力作用，所以做斜上抛运动（水平方向作匀速运动、竖直方向做竖直上抛运动。）答案：B2、如图所示为一空间探测器的示意图，P1 、P2 、P3 、P4是四个喷气发动机， P1 、P2的连线与空间一固定坐标系的x轴平行，P3 、P4的连线与y轴平行每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转动开始时，探测器以恒定的速率vo向正x方向平动要使探测器改为向正x偏负y 60 的方向以原来的速率vo平动，则可( ) A先开动P1 适当时间，

9、再开动P4 适当时间 B. 先开动P3 适当时间，再开动P2 适当时间 C. 开动P4 适当时间 D. 先开动P3 适当时间，再开动P4 适当时间解析:火箭、喷气飞机等是由燃料的反作用力提供动力，所以 P1 、P2 、P3 、P4分别受到向左、上、右、下的作用力。使探测器改为向正x偏负y 60 的方向以原来的速率vo平动，所以水平方向上要减速、竖直方向上要加速。答案：A3、如图所示，A、B为两游泳运动员隔着水流湍急的河流站在两岸边，A在较下游的位置，且A的游泳成绩比B好，现让两人同时下水游泳，要求两人尽快在河中相遇，试问应采用下列哪种方法才能实现？（ ）A. A、B均向对方游（即沿虚线方向）而

10、不考虑水流作用B. B沿虚线向A游且A沿虚线偏向上游方向游C. A沿虚线向B游且B沿虚线偏向上游方向游D. 都应沿虚线偏向下游方向，且B比A更偏向下游解析:游泳运动员在河里游泳时同时参与两种运动，一是被水冲向下游，二是沿自己划行方向的划行运动。游泳的方向是人相对于水的方向。选水为参考系，A、B两运动员只有一种运动，由于两点之间直线最短，所以选A。答案：A二、平抛运动【题型总结】1斜面问题：分解速度：例：如图所示，以水平初速度抛出的物体，飞行一段时间后，垂直撞在倾角为的斜面上，求物体完成这段飞行的时间和位移。解： ， 练习：如图所示，在倾角为370的斜面底端的正上方H处，平抛一小球，该小球垂直打

11、在斜面上的一点，求小球抛出时的初速度。解：小球水平位移为，竖直位移为由图可知，又，解之得：.分解位移：例：如图，在倾角为的斜面顶端A处以速度水平抛出一小球，落在斜面上的某一点B处，设空气阻力不计，求小球从A运动到B处所需的时间和位移。解：设小球从A处运动到B处所需的时间为t ，则水平位移 ，竖直位移 。 ， 练习1：（求平抛物体的落点）如图，斜面上有a、b、c、d四个点，ab=bc=cd。从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落在斜面上b点。若小球从O点以速度2v0水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的（ ） Ab与c之间某一点Bc点Cc与d之间某一点 Dd点解析：当水平速度变为2

12、v0时，如果作过b点的直线be，小球将落在c的正下方的直线上一点，连接O点和e点的曲线，和斜面相交于bc间的一点，故A对。答案：A练习2：（证明某一夹角为定值）从倾角为的足够长的A点，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为，第二次初速度，球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为，若，试比较的大小。解析： ， 所以。即以不同初速度平抛的物体落在斜面上各点的速度是互相平行的。练习3：（求时间或位移之比）如图所示，AB为斜面，BC为水平面，从A点以水平初速度v向右抛出一小球，其落点与A的水平距离为s1，从A点以水平初速度2v向

13、右抛出一小球，其落点与A的水平距离为s2，不计空气阻力，可能为：A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 1：5解析：若两物体都落在水平面上，则运动时间相等，有，A是可能的。若两物体都落在斜面上，由公式得，运动时间分别为，。水平位移，C是可能。若第一球落在斜面上，第二球落在水平面上（如图所示），不会小于1：4，但一定小于1：2。故1：3是可能的，1：5不可能。答案：ABC练习4：（斜面上的最值问题）在倾角为的斜面上以初速度v0平抛一物体，经多长时间物体离斜面最远，离斜面的最大距离是多少？解：方法一：如图所示，速度方向平行斜面时，离斜面最远由，则运动时间为，此时横坐标为。又此时速度方向反向

14、延长线交横轴于处： 。方法二：建立如图所示坐标系把运动看成是沿x方向初速度为，加速度为的匀加速运动和沿y方向的初速度为，加速度为的匀减速运动的合运动。最远处，所以，2类平抛运动：例：如图所示，光滑斜面长为 ，宽为 ，倾角为 ，一物体从斜面右上方P点水平射入，而从斜面左下方顶点Q离开斜面，求入射初速度。解：物体在光滑斜面上只受重力和斜面对物体的支持力，因此物体所受到的合力大小为F，方向沿斜面向下；根据牛顿第二定律，则物体沿斜面方向的加速度应为a加，又由于物体的初速度与a加垂直，所以物体的运动可分解为两个方向的运动，即水平方向是速度为v0的匀速直线运动，沿斜面向下的是初速度为零的匀加速直线运动。在

15、水平方向上有 b= v0 t，沿斜面向下的方向上有aa加t2。练习：如图所示，有一个很深的竖直井，井的横截面为一个圆，半径为，且井壁光滑，有一个小球从井口的一侧以水平速度抛出与井壁发生碰撞，撞后以原速率被反弹，求小球与井壁发生第次碰撞处的深度。解：由于小球与井壁相碰时，小球的速率不变，因此在水平方向上小球一直是匀速率运动，当小球与井壁相碰n次时，小球在水平方向上通过的路程： ，所以用的时间 ，由于小球在竖直方向上做的是自由落体运动，因此小球在竖直方向上的位移即小球与井壁发生第n次碰撞时的深度为3相对运动中的平抛运动：例：正沿平直轨道以速度v匀速行驶的车厢内，前面高h的支架上放着一个小球，如图所

16、示，若车厢突然改以加速度a ，做匀加速运动，小球落下，则小球在车厢底板上的落点到架子的水平距离为多少？解：方法一：小球水平运动，小车水平运动 方法二：， 同类变式若人在车厢上观察小球，则小球运动轨迹为 直线 （填“直线”或“曲线”）qO因为，所以运动轨迹为直线。练习：沿水平直路向右行驶的车内悬一小球，悬线与竖直线之间夹一大小恒定的角，如图所示，已知小球在水平底板上的投影为O点，小球距O点的距离为h.，若烧断悬线，则小球在底板上的落点P应在O点的_侧；P点与O点的距离为_。解：烧断悬线前，悬线与竖直方向的夹角，解析小球的受力可知小球所受合力 ，根据牛顿第二定律知，车与球沿水平向右做匀加速运动，其

17、加速度为 （题设隐含条件）烧断悬线后，小球将做平抛运动，设运动时间为t ，则有 对小球： 对小车：球对车的水平位移，负号表示落点应在O点的左侧，距离OP为htan 。【巩固练习】1、如图所示，房间里距地面H高的A点处有一盏白炽灯（可视为点光源），一小球以初速度从A点沿水平方向垂直于墙壁抛出，恰好落在墙角B处，那么，小球抛出后，它的影点在墙上的运动情况是（ ）A匀速运动 B匀加速运动 C变速运动 D无法判断解析：由相似三角形可知：由平抛规律可得：EP=gt2,AE=v0t,AF=v0。小球刚好落在墙角处，则有：s=FQ =EP=（v0 t由此可知：小球影子以速度v=沿墙向下做匀速运动.答案：A同

18、类变式如图所示，从地面上方D点沿相同方向水平抛出的三个小球分别击中对面墙上的A、B、C三点，图中0点与D点在同一水平线上，知O、A、B、C四点在同一竖直线上，且OA=AB=BC，三球的水平速度之比为：=_。解析：由和设OA=AB=BC=h ，则，；整理得：=； ： =答案： ； 2、把物体甲从高H处以速度平抛，同时把物体乙从距物体甲水平方向距离为s处由地面以速度竖直上抛，不计空气阻力，两个物体在空中某处相遇，下列叙述中正确的是（ ）A、 从抛出到相遇所用的时间是B、 如果相遇发生在乙上升的过程中，则C、 如果相遇发生在乙下降的过程中，则D、 若相遇点离地面的高度为 ，则解析：对A选项：； 对B

19、、C选项： 在上升过程中相遇：在下降过程中相遇： 对D选项：答案：ABD同类变式2如图所示，P、Q两点在同一竖直平面内，且P点比Q点高，从P、Q两点同时相向水平抛出两个物体，不计空气阻力，则（ ）A. 一定会在空中某点相遇 B. 根本不可能在空中相遇C. 有可能在空中相遇D. 无法确定能否在空中相遇解析：P、Q在竖直方向上都是做自由落体运动，在相等时间内通过的竖直位移相等。由于P点比Q点高，所以P点总在Q点上方。答案：B同类变式2如图所示，质量均为m的 A、B两个弹性小球，用长为2l的不可伸长的轻绳连接。现把A、B两球置于距地面高H处（H足够大），间距为l。当A球自由下落的同时，B球以速度v0

20、指向A球水平抛出。求：（1）两球从开始运动到相碰，A球下落的高度。 （2）A、B两球碰撞（碰撞时无机械能损失）后，各自速度的水平分量。 （3）轻绳拉直过程中，B球受到绳子拉力的冲量大小。 解：（1）设A球下落的高度为h 联立解得 （2）由水平方向动量守恒得 由机械能守恒得 式中 ， 联立解得 ， （3）由水平方向动量守恒得 18m3m， 3、如图所示，排球场总长为18m，设球网高度为2m，运动员站在网前3m处正对球网跳起将球水平击出。(1)若击球高度为2.5m，为使球既不触网又不出界，求水平击球的速度范围；(2)当击球点的高度为何值时，无论水平击球的速度多大，球不是触网就是越界？解:(1)排球

21、被水平击出后，做平抛运动，如图所示.v0h0H9mx1x2若正好压在底线上，则球在空中的飞行时间：由此得排球越界的临界速度.若球恰好触网，则球在网上方运动的时间:.由此得排球触网的临界击球速度值.使排球既不触网又不越界，水平击球速度v的取值范围为: .v0hHx1x2(2)设击球点的高度为h，当h较小时，击球速度过大会出界，击球速度过小又会触网，临界情况是球刚好擦网而过，落地时又恰好压在底线上，如图所示，则有:，得.即击球高度不超过此值时，球不是出界就是触网.同类变式一位同学将一足球从楼梯顶部以的速度踢出（忽略空气阻力），若所有台阶都是高0.2m, 宽0.25m，问足球从楼梯顶部踢出后首先撞到

22、哪一级台阶上？解： 方法一：设足球落在第n级台阶上方法二： 落在第三级台阶上方法三：所有台阶的棱角都在同一斜面上，取小球的轨迹与这个斜面的交点为P，此过程小球的水平位移为x，竖直位移为y，则：，由几何知识可得：由以上各式得， 2n3，小球首先撞到第三级台阶上。三、圆周运动【规律方法】1、 明确研究对象，分析运动状态：若有某个固定点或固定轴，开始运动瞬间初速度与外力垂直，且外力为变力，物体将做圆周运动。若切线方向有加速度，则物体做非匀速圆周运动；若切线方向无加速度，则物体做匀速圆周运动。例：如图所示，将完全相同的两小球A、B用长L0.8 m的细绳悬于以速度v4 m/s向右匀速运动的小车顶部，两球

23、与小车的前、后壁接触，由于某种原因，小车突然停止，此时悬线的拉力之比FBFA为（g取10 m/s2）A11 B12 C13 D14解析：小车突然停止，球B也随之停止，故FBmg球A开始从最低点摆动，则：FAmgm ，FAm（g）3mg 答案： C2、确定圆心与轨道半径：质点与转轴的垂点为圆心，垂线为半径例:如图所示，竖直放置的光滑圆环，半径R=20cm，在环上套有一个质量为m的小球，若圆环以w=10 rad/s的角速度转动（取g=10m/s2），则角的大小为（ ）A30B45C60D9解析：答案：C 3、受力分析，确定向心力的来源；将外力沿切线方向和法线方向正交分解，列式求解：几种常见的匀速圆

24、周运动的实例图形受力分析以向心加速度方向建立坐标系利用向心力公式例:如图所示，半径为r的圆形转筒，绕其竖直中心轴oo转动，小物块a靠在圆筒的内壁上，它与圆筒间的动摩擦因数为，现要使小物块不下落，圆筒转动的角速度至少为：（ C ） A B C D解析：弹力提供向心力，而不是摩擦力，则： 答案：C【题型总结】（一）圆周运动的典型实例：1、传动问题皮带传动：在皮带不打滑的情况下，皮带及两轮边缘上的点线速度一样大，对于A、B两点，其线速度、角速度、周期有以下关系： 齿动传动：两齿动边缘上点的线速度大小均相同，两齿轮的齿数与半径成正比，设两轮的齿数分别为 ，角速度、周期有以下关系： 同轴传动：两盘均与转

25、轴固定在一起，两盘上各点的角速度、周期均相同，即 ，A、B两点的线速度关系为：例：如图所示，是生产流水线上的皮带传输装置，传输带上等间距地放着很多半成品产品。A轮处装有光电计数器，它可以记录通过A处的产品数目。已知测得轮A、B的半径分别为rA=20cm，rB=l0cm，相邻两产品距离为30cm，lmin内有41个产品通过A处，求：（1）产品随传输带移动的速度大小；（2）A、B轮轮缘上的两点P、Q及A轮半径中点M的线速度和角速度大小，并在图中画出线速度方向；（3）如果A轮是通过摩擦带动C轮转动，且rC=5 cm，在图中描出C轮的转动方向，求出C轮的角速度（假设轮不打滑）。 解：产品与传送带保持相

26、对静止的条件下，产品速度的大小就等于传送带上每一点速度的大小，在传送带不打滑的条件下，传送带上各点运动速度的大小都等于A、B轮缘上点的线速度的大小。由传送带相邻产品的间距及单位时间内通过A处的产品的个数可以确定出皮带上点的速度，进而知道A、B轮缘上的两点P、Q线速度的大小，然后由线速度与角速度的关系，求出A、B两轮的角速度及A轮半径中点M的线速度及C轮的角速度.由题意知，1分钟内有41个产品通过A处，说明1分钟内传输带上的每点运动的路程为两产品间距的40倍。设传输带运动速度大小为v，则：（1）v=m/s=0.2m/s（2）vP=vQ=0.2ms。A轮半径上的M点与P点的角速度相等，故vM=vP

27、=0.2ms=0.1m/sP=M=rads=lrads，Q=2P=2rads（3）C轮的转动方向如图所示，如果两轮间不打滑，则它们的接触处是相对静止的，即它们轮缘的线速度大小是相等的，所以CrC=ArA。C轮的角速度C=A=1rads=4rads点评：解决此类问题的关键：两个隐含条件：若皮带不打滑，两轮上与皮带相接触的轮边缘处各点的线速度大小相等，同一轮上各点的角速度相等。熟练应用关系进行解析。链轮链条后轮飞轮踏板练习：某种变速自行车，有六个飞轮和三个链条，如图所示，链轮和飞轮的齿数如下表所示，如图所示，某种变速自行车有六个飞轮和三个链轮，链轮和飞轮的齿数如下表所示，前后轮直径为660mm，人

28、骑汽车前进速度为4m/s时，名称链轮飞轮齿数N/个483828151618212428（1）脚踩踏板做匀速圆周运动的角速度最小值为：（ B ） A 1.9rad/s B 3.8rad/s C 6.5rad/s D 7.1rad/s（2）若人以相同的角速度带动脚踏板，则由于链轮和飞轮不同的组合，自行车能得到的最大速度和最小速度之比为多少？解：（1）齿数N与转速n间的关系，即当物体转一圈，正好转过N个齿，故链轮和飞轮间的转速之比为齿数倒数之比。因此脚踏板的最小角速度即是链轮的最小角速度因： =2n2/N, 所以链: 飞=N飞：N链，从式中可知齿数之比要最小，才能使链最小链: 飞=N飞：N链=15:

29、38链=飞=3.8rad/s （2）因为V=r; 故V大小取决于。又链: 飞=N飞：N链，故飞: 链 =N链：N飞因链不变，故当N链：N飞最大时，飞即最大；故当N链：N飞最小时，飞即最小因此，Vmax:Vmin=：=16：52、子弹问题：例：如图所示，为测定气体分子速率的装置图，该装置全部放在高真空容器中，其中A、B是两圆盘，它们能绕共同轴以相同的角速度转动，两盘相距20cm,盘上各开一很窄的细缝,两盘细缝间成6夹角，现有一定速率的分子垂直板面射向A板细缝,调节圆盘的转速,使转速从零逐渐增大,当分子首次垂直通过两盘的细缝时,测得圆盘转速为1500r/min, 求（1）此时分子速率多大？（2）若

30、继续增大圆盘转速,分子能否通过两圆盘细缝？若能,求出分子能通过两圆盘时转速满足条件。解：（1）分子通过A、B两盘所用时间 在这段时间内盘转过的角度 当首次垂直通过两盘的细缝时，6，代入式解得： （2）若转速增大，只要满足 ，分子就能通过B盘上的细缝（其中）由式得：点评：解决此类问题的关键：在一定时间内转过的角度（通常为始边与终边的夹角）=（-）t-2k=0t-2k由于圆周运动的周期性，这类问题往往有多个解，不能忽略。练习1：如图所示，MN是两个共轴圆筒的横截面，外筒半径为R，内筒半径比R小得多，可以忽略不计，筒两端封闭且筒间抽成真空。两筒以相同的角速度绕其中心轴线（图中垂直于纸面）做匀速转动。

31、设从M筒内部可以通过窄缝S（与中心轴线平行）不断地向外射出两种不同速率V1，V2的微粒，从S处射出时的初速度方向却是沿筒的半径方向，微粒到达N筒后就附着在N筒上。如果R，V1和V2都不变，而取一合适的值，则：（ ）A 有可能使微粒落在N筒上的位置都在处一条与s缝平行的窄条上。B 有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一处如b处一条与S缝平行的窄条上。C 有可能使微粒落在N筒上的位置分别在两处，如b、c处与S缝平行的窄条上。D 只要时间足够长，N筒上将到处都落有微粒。解析：由S缝射出的微粒做匀速直线运动；N筒上a、b、c三点随筒做匀速圆周运动微粒落在N筒上某点，可看成两个做不同运动的质点相遇的问题由

32、于S缝与a、b、c三点的相对位置一定，因而微粒从S缝射出的先后与我们要讨论的相遇问题没有影响，只要对速度为v1和v2的两个微粒研究即可 a、b、c三点的运动周期为T=2/,两种微粒匀速运动到N筒的时间分别为：t1= R/v1,t2=R/v2若v1v2（反之也可）,则t1t2微粒若能落在a点，运动时间必须是周期T的整数倍，即t1= kT，t2=NTk的取值为1，2，3，n；（n为正整数），N的取值为k+1，k+2，k+3，k+n显然，只要取某一适当的值，上述相遇的条件可以满足。（例如v1 = 2v2，则t2 = 2t1，调整使T= t1，即k=1，则N=2），因此，选项A是正确的。微粒落在b点的

33、条件是：t1= kT+T，t2= NT+T。K取1，2，3，n；N取k+1，k+2，k+3，k+n（n为正整数）。适当调整值，上述条件可以满足，故选项B也是正确的。（例如v1= 6v2，则t2= 6t1，调整使T= 5t1 / 6，当k取1，N取7时，两微粒都可打在b处，ab弧长为2R / 5），因此，选项B是正确。 微粒落在b、c两处的条件是： t1= kT+T1，t2= NT+T2，K取1，2，3，n；N取1，2，3，n（n为正整数），适当调整值，上述条件可以满足，故选项C也是正确的。微粒只有两种速率，只选取某一值，不可能在N筒上到处落有微粒，因此选项D是错误的。练习2：一个半径为R的纸质

34、圆筒，绕其中心轴逆时针匀速转动，角速度为，一颗子弹沿AO方向打进纸筒，从纸筒上的B点穿出，如图所示。从子弹打入纸筒到穿出纸筒的过程中纸筒未转够一周，若AB弧所对的圆心角为，则子弹的速度大小v应是：（ ） A、R B、R/ C、2R/ D、2R/（-）解析：假设纸筒静止不动，子弹从A点将沿直线转过2k+，所用时间为2R/V，由于纸筒在匀速转动，所以实际转过2k+-。 答案：D练习3：如图所示，竖直圆筒内壁光滑，半径为，顶部有一个入口，在的正下方 处有一个出口，一质量为 的小球沿切线方向的水平槽射入圆筒内，要使小球从处飞出，小球射入入口的速度 满足什么条件?在运动过程中球对筒的压力多大？解：小球从

35、入口处射入后的运动可分解为一个在水平面内作匀速圆周运动，线速度即入射速度；另一个在竖直方向上作自由落体运动。设小球在圆筒内绕过圈后从处飞出，则：在水平面内小球做圆周运动通过的路程为 竖直方向的位移： 联立消去解 小球在运动过程中,水平方向上仅受到,充当向心力3、雨滴问题：例：雨伞边缘的半径为r，距水平地面的高度为h，现将雨伞以角速度匀速旋转，使雨滴自伞边缘甩出，落在地面上成一个大圆圈。求：(1)大圆圈的半径是多少？ (2)雨滴落到地面时速率是多少？解：（1）雨滴离开雨伞的速度为v0r，雨滴做平抛运动的时间为t雨滴的水平位移为xv0tr雨滴落在地上形成的大圆的半径为R (2)设雨滴落地时的速率为

36、v，根据机械能守恒定律：解得， 点评：解决此类问题的关键：练习：如图所示，在圆柱形屋顶中心天花板O点，挂一根L=3 m的细绳，绳的下端挂一个质量m为0.5 kg的小球，已知绳能承受的最大拉力为10 N.小球在水平面内做圆周运动，当速度逐渐增大到绳断裂后，小球以v=9 m/s的速度落在墙边.求这个圆柱形房屋的高度H和半径R.（g取10 m/s2） 解：设绳与竖直方向夹角为，则cos=,所以=60，小球在绳断时离地高度为：h=H-Lcos 小球做匀速圆周运动的半径为：r=LsinF向=mmgtanmv2=mg(H-mv02联立式求得：H=3.3 m,平抛运动时间为：t=0.6 s,水平距离为：s=

37、v0t=m,圆柱半径为：R=4.8 m.4、碰钉问题：例：在光滑的水平面上相距40 cm的两个钉子A和B，如图5-21所示，长1 m的细绳一端系着质量为0.4 kg的小球，另一端固定在钉子A上，开始时，小球和钉子A、B在同一直线上，小球始终以2 m/s的速率在水平面上做匀速圆周运动若细绳能承受的最大拉力是4 N，那么，从开始到细绳断开所经历的时间是( )A0.9 sB0.8 sC1.2 s D1.6 s解：当小球绕A以1 m的半径转半圈的过程中，拉力F1m0.41.6 N，绳不断当小球继续绕B以(10.4)0.6 m的半径转半圈的过程中，拉力F2m0.42.67 N，绳不断当小球再碰到钉子A，

38、将以半径 (0.60.4)0.2 m做圆周运动，拉力F3m0.48 N绳断所以，在绳断之间小球转过两个半圈，时间分别为t10.5 s，t20.3 s所以，断开前总时间是tt1t2(0.50.3)s0.8 s答案：B点评：解决此类问题的关键：抓住线速度、轨道半径的变化。练习： 如图所示，质量为m的小球用长为L的悬绳固定于O点，在O点的正下方处有一颗钉子，把悬绳拉直与竖直方向成一定角度，由静止释放小球，当悬线碰到钉子的时候（ ）A、小球的速度突然变大B、小球的向心加速度突然变大C、小球的角速度突然增大D、悬线的张力突然增大解析：由于惯性，且碰钉瞬间外力与初速度垂直，所以小球的线速度不变，但圆周的半

39、径突然减小，故变大，变大，故BC正确，A错；在碰钉时，根据牛顿第二定律，有，可知r减小，F增大。故D正确。答案：BCD（二）圆周运动的临界问题：1、竖直平面内：（1）、如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：临界条件：小球达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，即mg= v临界=（v临界是小球通过最高点的最小速度，即临界速度）.能过最高点的条件：vv临界. 此时小球对轨道有压力或绳对小球有拉力不能过最高点的条件：vv临界（实际上小球还没有到最高点就已脱离了轨道）.（2）、如图所示，有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过最

40、高点的情况：临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度v临界=0.图（a）所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况是：当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即N=mg；当0vN0.当v=时，N=0；当v时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大.图（b）所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况是：当v=0时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即N=mg.当0vN0.当v=时，N=0.当v时，管的上侧内壁对小球有竖直向下指向圆心的压力，其大小随速度的增大而增大.图(c)的球沿球面运动，轨道对小球只能支

41、撑,而不能产生拉力。在最高点的v临界=.当v时，小球将脱离轨道做平抛运动。例1: 如图所示，轻杆长为2L，水平转轴装在中点O，两端分别固定着小球A和B。A球质量为m，B球质量为2m，在竖直平面内做圆周运动。当杆绕O转动到某一速度时，A球在最高点，如图所示，此时杆A点恰不受力，求此时O轴的受力大小和方向；保持问中的速度，当B球运动到最高点时，求O轴的受力大小和方向；在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不受力的情况？请计算说明。解析：对A球：恰好不受力， 对B球：由牛顿第三定律，B球对O轴的拉力，竖直向下。令B球恰好不受力.对A球: 由牛顿第三定律，A球对O轴的拉力，竖直向下。 若B球在上端A

42、球在下端:对B球：对A球：，联系得。若A球在上端，B球在下端，对A球：对B球： ，联系得,显然不成立所以,能出现O轴不受力的情况，此时。例2：如图所示，在电机距轴O为r处固定一质量为m的铁块电机启动后，铁块以角速度绕轴O匀速转动求电机对地面的最大压力和最小压力之差解：铁块在竖直面内做匀速圆周运动，其向心力是重力mg与轮对它的力F的合力由圆周运动的规律可知： 当m转到最低点时F最大，当m转到最高点时F最小设铁块在最高点和最低点时，电机对其做用力分别为F1和F2，且都指向轴心，根据牛顿第二定律有：在最高点：mgF1m2r在最低点：F2mgm2r设电动机的质量为M，对电动机有：在最高点：N1+F1=

43、Mg在最低点：N2=F2+Mg电动机对地面的最大压力和最小压力分别出现在铁块m位于最低点和最高点时，且压力差的大小为：FN2-N1=F2F1由上式可解得：F2m2r发散（1）若m在最高点时突然与电机脱离，它将如何运动? 平抛运动（2）当角速度为何值时，铁块在最高点与电机恰无做用力?电机对铁块无做用力时，重力提供铁块的向心力，则mgm12r即 1（3）如图所示是一电动打夯机的原理示意图，电机质量为M，则多大时，电机可以“跳”起来? 铁块在最高点时，铁块与电动机的相互做用力大小为F1，则F1mgm22rF1Mg即当2时，电动机可以跳起来， （4）如图所示，在质量为M的电动机上，装有质量为的偏心轮，

44、飞轮转动的角速度为，当飞轮重心在转轴正上方时，电动机对地面的压力刚好为零.则飞轮重心离转轴的距离多大?在转动过程中，电动机对地面的最大压力多大? 取整体为研究对象，整体所受合力为（M+m）g，具有向下的加速度2r由牛顿第二定律的拓展公式可知： 当偏心轮的重心转到轴的正下方时，电动机对地面的压力最大。整体所受合力为N-（M+m）g，具有向上的加速度2r由牛顿第二定律的拓展公式可知： 2、水平面内：在水平面上做圆周运动的物体，当角速度变化时，判断物体离心或向心运动（半径变化）的趋势，并根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在（特别是接触力，如静摩擦力、绳的拉力等），以及这个力存在时的方向。（1

45、）拉力：假设法：假设两绳均受拉力作用，所得值为正，证明绳子拉紧；所得值为负，证明绳子松弛。例:如图所示，直角架ABC的AB边为竖直杆，BC边为水平杆，B点和C点各系一细绳，共同吊着一个质量为1kg的小球于D点，且BDCD，ABD= 30,BD=40cm,当直角架以AB为轴，以10rad/s的角速度转动时，求细绳BD、CD所受拉力各为多少？（g=9.8m/s2）解： ， ，CD绳已松弛， 极限法：分别求出一绳拉紧且另一绳松弛的临界条件。例:如图所示，两绳系一质量为m=0.1kg的小球，上面绳长L=2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30与45，求：（1）球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？（2）

46、当角速度为3rad/s时，上、下两绳拉力分别为多大？解：(1)BC恰好拉直，但F2仍然为零，设此时的角速度为1，则有FxF1sin30m12Lsin30FyF1cos30mg0代入已知解得，12.40 rad/s.AC由拉紧转为恰好拉直，但F1已为零，设此时的角速度为2，则有FxF2sin45m22Lsin30FyF2cos45mg0代入已知解得23.16 rad/s.可见，要使两绳始终张紧，必须满足2.40 rad/s3.16 rad/s.（2）由（1）可知，两绳拉力、都存在。将数据代入两式解得：，发散解题时注意圆心的位置（半径的大小）。如果时，则AC与轴的夹角小于。如果，则BC与轴的夹角大

47、于45。练习：如图所示，为竖直转动轴，MN为固定在上的水平光滑杆。有两个质量相等的金属球A、B套在水平杆上，AC、BC为抗拉能力相同的两根细绳，C端固定在转动轴上，当细绳拉直时，A、B两球转动半径之比恒为2：1，当转轴转动角速度逐渐增大时，则（ ）A. AC绳先断B. BC绳先断C. 两绳同时断 D. 不能确定哪根绳先断解析：两小球具有相同角速度，绳子拉力的水平分力提供向心力，如图所示： 因为ACBC，所以，由牛顿第三定律可知，球A对AC绳拉力大于球B对BC绳拉力。故绳AC先断。 （2）弹力：例:如图所示，一根水平轻质硬杆以恒定的角速度绕竖直OO转动，两个质量均为m的小球能够沿杆无摩擦运动，两

48、球之间用劲度系数为k的弹簧连接，弹簧原长为l0，靠近转轴的球与轴之间也用同样的弹簧与轴相连如图所示，求每根弹簧的长度。解：当两球绕轴OO做匀速圆周运动时，两球的受力情况如图所示，分别用l、L表示A、B两球左侧弹簧在做圆周运动时的长度，再列出圆周运动方程： 由、联解得 （3）支持力：mgNT例：一个光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为 = 30，如图104所示。一长为L的绳（质量不计），一端固定在圆锥体的顶点O处，另一端拴着一个质量为m的小物体（可看做质点）。物体以速度v绕圆锥体的轴线在水平面内做匀速圆周运动。当v时，求绳对物体的拉力；当v时，求绳对物体的拉力。

49、解：当物体以某一速率绕圆锥体的轴线做水平匀面内的匀速圆周运动时，临界条件是圆锥体对物体的弹力为零，此时物体刚好与圆锥面接触但不发生形变。而当速率变大时，物体将脱离圆锥面，从而导致绳对物体的拉力大小和方向都要变化。因此，此题的关键是先求出临界状态下线速度的值。以小物体为研究对象，假设它与圆锥面接触，而没有弹力作用。受力如图所示，根据运动定律得：Tcos = mg Tsin = 解、得：v = （1）因为v1 =v ，所以物体m与圆锥而接触且有压力，受力如图所示，由运动定律得：T1cos + Nsin = mg T1sinNcos = m 解、得拉力：T1 =(3+ 1) （2）因为v2 =v ，所以物体m脱离圆锥面，设绳子与轴线的夹角为 ，受力如图所示，由运动定律得：T2sin = m T2cos = mg 解、得绳子拉力：T2 = 2mg（4）摩擦力：例：如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m若A与转盘间的最大静摩擦力为f=2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的