构件的强度和刚度

1、第3章 构件的强度和刚度学习目标 理解各种基本变形的应力概念和分布规律； 掌握虎克定律及材料在拉伸和压缩时的机械性能指标的含义； 掌握各种基本变形的应力和强度计算方法； 掌握弯曲刚度的基本计算方法； 了解应力集中和交变应力的概念及材料在交变应力作用下的破坏特点。31 分布内力与应力、变形与应变的概念311 分布内力与应力 杆件受力作用时截面上处处有内力。由于假定了材料是均匀、连续的，所以内力在个截面上是连续分布的，称为分布内力。用截面法所求得的内力是分布内力的合力，它并不能说明截面上任一点处内力的强弱。为了度量截面上任一点处内力的强弱程度，在此引入应力这一重要概念。截面上一点的内力，称为该点的

2、应力。与截面相垂直的应力称为正应力，用表示；截面相切的应力称为切应力，也称剪应力，用表示。在国际单位制中，应力的基本单位是Nm2，即Pa。工程中常用单位为MPa，GPa，它们的换算为：l MPa=106Pa=1 Nmm2 1 GPa=103MPa=103 Nmm2312应 变在外力的作用下，构件的几何形状和尺寸的改变统称为变形。一般讲，构件内各点的变形是不均匀的，某点上的变形程度，称为应变。 围绕构件内K点取一微小的正六面单元体，如图31(a)所示，设其沿轴方向的棱边长为，变形后的边长为+，如图31(b)所示，称为的线变形。 当趋于无穷小时，比值=表示一点处微小长度的相对变形量，称为这一点的线

3、应变或正应变，用表示。 一点处微小单元体的直角的改变量图31(c)，称为这一点的切应变，用表示。 线应变和切应变是度量构件内一点变形程度的两个基本量，它们都是无量纲的量。 图31正应变和切应变32轴向拉伸与压缩的应力应变及虎克定律321 拉伸与压缩时横截面上的应力 拉压杆，如图32(a)(b)所示，横截面上的轴力是横截面上分布内力的合力，为确定拉压杆横截面上各点的应力，需要知道轴力在横截面上的分布。试验表明，拉压杆横截面上的内力是均匀分布的，且方向垂直于横截面。因此，拉压杆横截面上各点只产生正应力且正应力沿截面均匀分布，如图32(c)(d)所示。设拉压杆横截面面积为A，轴力为FN，则横截面上各

4、点的正应力为 = (3-1) 正应力的符号规定与轴力相同。即拉应力为正，压应力为负。例31 如图33所示圆截面杆，直径d=40 mm，拉力F=60 kN，试求11，22截面上的正应力。解 (1)计算两截面上的轴力 FNl=FN2=60 kN (2)计算两截面上的应力图32拉伸与压缩时横截面上的应力 图33圆截面杆11截面的面积为 A1= =856 mm222截面的面积为 A2= = l 256 mm211截面上的正应力为 1= = 701 MPa22截面上的正应力为 2= 477 Mpa322拉压杆的变形和应变杆件在轴向外力作用下，杆的长度和横向尺寸都将发生改变。杆件沿轴线方向的伸长(或缩短)

5、量，称为轴向变形或纵向变形，将杆件横向尺寸的缩短(或伸长)量，称为横向变形。 设圆截面等直杆原长为，截面面积为A，在轴向外力F作用下，杆长由变为1，则杆件的轴向变形为=1。杆件拉伸时，为正；压缩时，为负。为杆件的绝对变形，其大小与原尺寸有关，为了准确地反映杆件的变形情况，消除原尺寸的影响，需要计算单位长度的变形量即相对变形，称为线应变。对于轴力为常量的等截面直杆，杆的纵向变形沿轴线均匀分布，故其轴向线应变为=。杆件拉伸时，为正；杆件压缩时，为负值。323虎克定律实验研究指出：在一定范围内，杆件的绝对变形与所施加的外力F及杆件长度成正比，而与杆件的横截面面积A成反比。引入与杆件材料有关的比例系数

6、E，上式可写为 = (32)这一比例关系，称为虎克定律。其中F是轴向力，即FN。比例系数E称为材料的拉压弹性模量，它表示材料抵抗拉(压)变形的能力，弹性模量愈大，变形愈小，E的数值与材料有关。常用工程材料的E值，可查阅相关机械设计手册。从公式(32)还可以看出，分母EA愈大，杆件变形愈小，所以EA称为杆件的抗拉(压)刚度，它表示杆件抵抗拉伸(或压缩)变形的能力。将 =代人=，可得虎克定律的另一表达式 =E (33)公式表明，在一定范围以内，杆件横截面上的正应力与纵向线应变成正比。例32 求图34(a)所示杆的轴向变形、最大正应力max及最大线应变max。已知：A1=2A2=100 mm2，E=

7、200 GPa，1=2=400 mm，F=10 kN。解：(1)作轴力图根据杆所受外力，可作出杆的轴力图，如图34(b)所示。 图34(2)计算杆的轴向变形由轴力图和杆的结构图可知，应先分别计算AB段的变形1，和BC段变形2，再求杆的总变形。 AB段： 1=0.2 mm (伸长) BC段： 2= = =04 mm(缩短) 杆的总变形： =1+2=0.2 mm04 mm =02mm (缩短)(3)计算杆的最大正应力max 由轴力图和杆的结构图可知，杆的最大正应力发生在BC段，为 max = =200 MPa(压)(4)计算杆的最大线应变max由=可知，最大线应变与最大正应力相对应，故max也出现

8、在BC段上的各点，为max = =0.001 (压)33材料在拉伸、压缩时的力学性能 材料的力学性能是指材料在受力和变形过程中所具有的特性指标。它是材料的固有特性，可以通过实验获得。上一节介绍的材料弹性模量E，就是材料重要的力学性能指标。331 材料拉伸时的力学性能 拉伸试验一般在常温、静载荷条件下进行，试验时采用标准试件。圆截面的标准试件，如图35所示。 图35圆截面拉伸试件 试件两端是夹持部分，中间工作长度和直径的关系为=l0d或=5d。 试件装到试验机上后，缓慢增加拉力F，试件在标距长度内产生变形，将对应的和绘成F一曲线，称为拉伸图。一般在试验机上能自动绘出。1低碳钢的拉伸试验 低碳钢是

9、工程上广泛使用的材料，在此以低碳钢Q235为例研究其拉伸时的力学性能。 图36是低碳钢的拉伸图。由于试验与试件长度和横截面积A有关，因此，即使同一材料当试件尺寸不同时，拉伸图也不相同。为消除试件尺寸的影响，将纵坐标F除以试件的横截面积A得到盯=FA，横坐标除以试件的长度得到=,即可绘出关系曲线，称为应力一应变图，如图37所示。该图表示从加载开始到破坏为止应力与应变的对应关系。图36低碳钢的拉伸图 图37低碳钢拉伸图 通过试验，对照关系曲线，可以看出低碳钢的拉伸试验分为4个阶段。 (1)弹性阶段 在图37所示应力一应变图的OA段内，如果卸去外力，试件的变形将全部消失，说明在此阶段材料只产生弹性变

10、形，所以OA段称为弹性阶段。弹性阶段的最高点A所对应的应力，是材料只发生弹性变形的最大应力，称为材料的弹性极限，用e表不。 在弹性阶段内的OA段，关系曲线为一直线，说明在此阶段内与成正比，即符合虎克定律，=E。直线最高点A所对应的应力，是正应力与正应变成正比的最大应力，称为材料的比例极限，用p表示。直线OA的斜率，数值上等于材料的弹性模量E。 弹性极限e和比例极限p的物理意义并不相同，但两者数值相近，例如，低碳钢Q235的e和p都约为200 MPa。因此，实际应用中对两者通常不作严格区分，即认为在弹性阶段范围内材料服从虎克定律。 (2)屈服阶段 在应力超过弹性极限e后的关系曲线上，出现一段近似

11、水平的小锯齿形曲线BC。此时，说明的应力有波动但几乎未增加，材料却发生很大的变形。此时，材料失去抵抗变形的能力，这种现象称为材料的屈服，BC段也被称为屈服阶段。在屈服阶段除第一次下降的最小应力外的最低应力称为屈服极限，用s表示。低碳钢Q235的s约为235 Mpa。 工程上一般不允许材料发生塑性变形，因此，屈服极限是材料的重要强度指标。 (3)强化阶段 屈服阶段过后，关系曲线又成为上升的曲线，此时材料恢复抵抗变形的能力，这种现象称为材料的强化，CD段称为强化阶段。强化阶段的最高点D所对应的应力是材料所能承受的最大应力，称为强度极限，用b表示。低碳钢Q235的b约为380 MPa。 强化阶段，应

12、变随应力增加而显著增大，此时的变形主要是塑性变形。 (4)缩颈阶段 应力达到强度极限b时，试件在内部不均匀或有缺陷的薄弱处会出现局部收缩，称为缩颈现象，即图示DE段，最后导致试件断裂。 试件断裂后，其弹性变形随着载荷的消失而恢复，剩余塑性变形。断裂的两段试件总1。减去原来的长度，再除以原长的百分比，称为材料的伸长率，用表示，即 = 100 伸长率大的材料，在轧制或冷压加工成型时不易断裂，并能承受较大的冲击载荷。工程中按伸长率的大小将材料分为两类，5的材料，如结构钢、铝材等，称为塑性材料，低碳钢Q235的伸长率约为2530，是典型的塑性材料；<5的材料，如铸铁、工具钢、陶瓷等，称为脆性材料

13、。试件试验前截面面积为4，断裂后断口最小横截面的面积为A1，则 = ×100 其中，称为断面收缩率。低碳钢Q235的断面收缩率约为60。 2铸铁的拉伸试验 铸铁拉伸时的关系曲线，如图38所示。图中没有明显的直线，也没有屈服和缩颈现象，试件是突然断裂的。铸铁断后伸长率约为0.50.6，是典型的脆性材料。衡量脆性材料强度的唯一指标是强度极限b。 图38铸铁拉伸图 332材料压缩时的力学性能为避免试件被压弯，金属材料的压缩试件应为短圆柱形，圆柱的高度一般为直径的2.53.5倍。 1低碳钢的压缩试验 如图39所示，实线部分是低碳钢压缩时的关系曲线，虚线是低碳钢拉伸时的关系曲线。由图可见，在屈

14、服阶段以前，压缩与拉伸的曲线基本相同，说明低碳钢压缩与拉伸时的弹性模量E，比例极限p， 弹性极限e和屈服极限s是相同的，只是超过屈服极限s后，由于试件被压扁，横截面积不断增大，抗压能力不断提高，试件只会压扁而不会断裂，因此，无法得到低碳钢的抗压强度极限b。 2铸铁的压缩试验 如图310所示，实线部分是铸铁压缩时的关系曲线，虚线是铸铁拉伸时的关系曲线。由图可见，铸铁拉伸和压缩的关系曲线中均没有明显的直线部分，材料近似服从虎克定律。铸铁压缩也没有屈服极限，但铸铁压缩时的强度极限是拉伸时的45倍，所以铸铁常用于承受压力的构件。 铸铁在压缩时，有明显的变形，试件略呈鼓形。破坏时，端面与轴线大致成50左

15、右。图39低碳钢压缩图 图310铸铁压缩图 工程材料在拉伸和压缩时的力学性能可查阅相关机械设计手册。表3l列出了几种常用的工程材料在拉伸和压缩时的力学性能和应用，仅供参考。表31常用工程材料在拉伸和压缩时的力学性能(常温、静载)材料名称 屈服极限强度极限塑性指标应用举例或牌号 /MPa/MPa/% /%A3钢（Q235）235 39224一般零件，如拉杆、螺钉、轴等A5钢（Q275）274 490 6082035号钢3135292045机器零件45号钢3535971640灰口铸铁拉147372压 6401300<1轴承盖、基座、泵体、壳体等球墨铸铁294 412392 5881.5 10

16、轧辊、，曲轴、凸轮轴、齿轮、活塞、阀门、底座等34安全系数和许用应力341 极限应力和工作应力 工程上把材料丧失正常工作能力的应力，称为极限应力或危险应力，以表示。因此，当塑性材料达到屈服极限时，或脆性材料达到强度极限时，材料将产生较大的塑性变形或断裂。所以，对于塑性材料，=；对于脆性材料，=。 构件工作时，由载荷引起的应力称为工作应力。杆件受轴向拉伸或压缩时，要保证构件能够安全工作，其横截面上的工作应力<。342安全系数和许用应力 从生产的经济性考虑问题，为了充分利用材料的强度，理想的情况是最好使构件的工作应力接近于材料的危险应力。但是由于载荷的大小往往估计不准确；构件的材料不可能绝对

17、均匀，不能保证它和标准试件的机械性能完全相同，这样，构件的实际工作条件比理想情况要偏于不安全的一面。 从确保安全考虑问题，构件材料应有适当的强度储备。特别是那些一旦破坏会造成停产、人身或设备事故等严重后果的重要构件，更应该有较大的强度储备。为此，可把危险应力。除以大于l的系数n，作为材料的许用应力。许用应力以表示，即， = （34）式中：n安全系数。 塑性材料的许用应力=；脆性材料的许用应力=。ns，nb性材料的屈服极限和脆性材料的强度极限规定的安全系数。 正确地选取安全系数是工程中一件非常重要的事。如果安全系数ns (或nb)偏大，则许用应力低，构件过于安全，但用料过多，会增加设备的质量和体

18、积；如果安全系数偏小，则许用应力高，用料少，但构件过于危险。所以，安全系数的确定，是合理解决安全与经济之间矛盾的关键。 各种材料在不同工作条件下的安全系数或许用应力，可从有关规范或设计手册中查到。35轴向拉伸与压缩的强度计算 杆件中最大应力所在的横截面称为危险截面。为了保证构件具有足够的强度，必须使危险截面的应力不超过材料的许用应力，即： max= (35)式中：N危险截面的内力，N，拉压时内力N即为轴力FN； A危险截面的截面积，mm2； max危险截面处的应力，MPa。 此式称为拉伸或压缩时的强度条件公式。利用强度条件，可以解决强度校核、设计截面尺寸、计算许用载荷3类强度计算问题。例33

19、空心混凝土柱，如图311所示，受轴向压力P=300 kN。已知=125 mm，d=75 mm，材料的许用压应力=30 MPa，试校核此柱子的抗压强度。解： A=1l 209 mm2 =2676 MPa 因为<，所以此柱子的抗压强度足够。 图311 图312例34 气动夹具，如图312(a)所示，已知：汽缸内径D=140 mm，缸内气压P=06 MPa，活塞杆材料为20号钢，=80 MPa，试设计活塞杆的直径。 解：活塞杆左端承受活塞上的气体压力，右端承受工件的阻力，所以活塞杆为轴向拉伸构件，如图712(b)所示。拉力F可由气体压力及活塞面积求得。设活塞杆横截面面积远小于活塞面积，在计算气

20、体压力作用面的面积时，前者可略去不计。故有 活塞杆的轴力为 F=9.23kN活塞杆的横截面面积为 A=115 mm2由此求出d121 mm，可取活塞杆的直径为14 mm。例35 图313(a)所示为一个钢木结构的起吊架，其中AB为木杆，其截面面积为AAB=104 mm2，许用压应力AB=7 MPa；BC为钢杆，其截面面积为ABC=600 mm。，许用应力BC=160 MPa，试求B处可承受的最大许可载荷。 图313解：(1)受力分析 用截面法画受力图，如图313(b)所示，由平衡条件可求得各杆轴力NAB和NBC与载荷的关系 =0 即 NBCsin 30=0得 NBC=2 =0 即 NAB=0得

21、 NAB = =2Q·(2)求最大许可载荷由强度条件公式(35)可知，木杆的许可轴力为 即 得 40 415 N=404 kN 钢杆的许可轴力为 即 得 48 000 N=48 kN 为保证结构安全，B处可吊起的许可载荷应取404 kN，48 kN中的较小值。即 max=404 Kn36剪切和挤压的实用计算361剪切的实用计算 以铆钉联接为例，为了对其进行剪切强度计算，必须先计算剪切面上的内力。应用截面法，用一假想的平面将铆钉沿剪切面切开，取其下部作为研究对象，如图29(c)所示。为了保持下段铆钉的平衡，截面上必有内力存在，这个与截面相切的内力即为剪力FQ。 根据平衡条件，可求得剪力

22、FQ的大小为FQ=F。 与剪力相对应的应力称为剪应力。由于剪应力在剪切面上的分布情况比较复杂，要从理论上进行计算往往很困难，有时甚至是不可能的，因此，工程上通常采用实用计算法，即假设剪应力均匀地分布在剪切面上，于是，剪应力的计算式可写为 (36)式中：A剪切面面积。 为了保证铆钉联接安全可靠地工作，要求作用于剪切面上的剪应力不超过材料的许用剪应力，因此，剪切强度条件为 (37)式中：材料的许用剪应力。 许用剪应力的大小等于材料的剪切极限应力除以安全系数。剪切极限应力是根据剪切试验中测得的破坏时的剪力，按平均值计算得到的极限应力；安全系数是根据实践经验并针对具体情况确定的。 剪切许用应力可从有关

23、手册中查得，也可按下列近似经验公式确定 塑性材料 =(0608) 脆性材料 =(081) 式中：材料的许用拉应力。 和轴向拉伸或压缩一样，应用剪切强度条件也可解决工程上剪切变形的三类强度问题。362挤压的实用计算 仍以铆钉联接为例，铆钉与被联接的钢板在一个半圆柱面上互相接触，产生挤压作用。通常把两个接触面间的压力称为挤压力，以符号表示。由挤压力引起的应力称为挤压应力，以吒表示。由于挤压应力在挤压表面上的分布情况也比较复杂，因而和剪切一样，仍采用实用计算法，即假定挤压应力在挤压计算面积上是均匀分布的，故挤压应力为 (38)式中：Aj挤压的计算面积。 此面积需根据接触面的具体情况而定：若接触面为平

24、面，则接触面面积即为挤压计算面积；若接触面为半圆柱形，则以接触半圆柱面的直径投影面积作为挤压计算面积。为了保证构件不受到挤压破坏，挤压的强度条件应为 (39)式中： 材料的许用挤压应力，可从有关设计手册中查得。 一般塑性材料 =(1525) 脆性材料 =(0915) 式中： 材料的许用拉应力。 应该注意，如果互相挤压的材料不同，则应按挤压许用应力较小的材料进行强度计算。例36 如上一章图210(a)所示的一拖车挂钩，用销钉联接。已知：挂钩部分的钢板厚度8 mm，拖力F=15 kN，销钉的材料为20号钢，其许用剪应力=40 MPa，许用挤压应力=100 MPa，钢板材料为Q235，许用挤压应力=

25、90 MPa，试设计销钉的直径。解：一般先按剪切强度条件设计销钉直径，然后按挤压强度条件进行校核。若挤压强度不够，可增加挤压面面积，或按挤压强度条件重新设计销钉直径。 (1)按剪切强度条件计算 如图210(b)所示，销钉在mm，nn两个截面上同时承受剪切作用，首先计算剪切面上的剪力FQ。应用截面法，用假想平面将销钉沿剪切面mm，nn切开，取中段为研究对象，如图210(c)所示。 由平衡条件可求出剪力 FQ=F2=75 kN 根据剪切强度条件 得 或 故 取 d=16 mm (2)校核挤压强度 由图210(c)可知，挤压力Fj=F； 挤压计算面积Aj=d×2t 代人挤压强度条件可得 钢

26、板可见，销钉直径d=16 mm能满足剪切和挤压强度的要求。37圆轴扭转的应力、强度计算371 圆轴扭转时横截面上的切应力 圆轴扭转时各横截面仅产生绕轴线的转动，各横截面之间距离保持不变，没有纵向变形，因此横截面上无正应力，只有切应力存在，且与半径垂直。切应力与切应变成正比，而横截面上距离圆心越远的点，剪切变形越大，所以各点切应力的大小与其到圆心的距离成正比，最大切应力发生在圆轴表面，圆心处切应力为零。 根据静力平衡条件，导出横截面上任一点的切应力计算公式(公式推证从略) (3l0)式中：横截面上任一点的切应力，Pa或MPa； T该横截面上的扭矩，N·m或kN·m，N

27、3;mm； IP横截面对圆心的极惯性矩，m4或mm4； 横截面上任一点到圆心的距离，m或mm。 圆轴扭转时，横截面边缘上各点的切应力最大，其数值为 令 WP = (311) 则 (312)式中：抗扭截面系数，m4或mm4。既是圆轴抵抗扭转破坏能力的几何参数。 最大应力；与横截面上的扭矩T成正比，与WP成反比。 工程中轴的横截面通常采用实心圆和空心圆两种形状，其极惯性矩IP。和抗扭截面系数WP的计算公式见表32。 表32圆和圆环横截面的极惯性矩IP，和抗扭截面系数WP例37 图314所示为空心圆截面轴，外径D=40 mm，内径d=20 mm，扭矩T=1 kN·m，计算=15mm处A点的

28、扭转切应力，以及截面上的最大和最小扭转切应力。图714解：（1）空心轴的极惯性矩为 (2)计算切应力 372 圆轴扭转时的强度条件 圆轴扭转时，产生最大切应力的横截面称为危险截面，为保证轴的安全工作，要求轴内最大切应力不大于材料的许用切应力。因此圆轴扭转时的强度条件为 (313)式中：Tmax危险截面的最大扭矩； WP危险截面的抗扭截面系数。 注意：对于阶梯轴，因为抗扭截面系数WP不是常量，最大工作应力不一定发生在最大扭矩Tmax，所在的截面处，应该按照(T/ WP)max来确定。 圆轴扭转时的许用切应力应由扭转试验测定，也可以查找机械设计手册。在静载荷作用下，许用切应力与拉伸许用应力的关系为

29、 塑性材料 =(0506) 脆性材料 =(081) 应用上述公式，可以解决强度校核、截面设计、确定许用载荷3类问题。例38 阶梯钢轴如图315(a)所示，已知材料的许用切应力=80 MPa，受外力偶矩为：Ml=10 kN·m，M2=7 kN·m，M3=3kN·m，AB段的直径d1=100 mm ,BC段的直径为d2=60 mm，试校核该轴的强度。 图315解：(1)作扭矩图图315(b)(2)强度校核AB段： T1=10 kN·m BC段： T2=M3=10 kN·m 经过校核，该轴满足强度要求。 本例题同时表明，最大切应力发生在了扭矩较小的B

30、C段的横截面上。例39 如图316所示，实心轴与空心轴通过牙嵌式离合器联接传递扭矩，已知材料的许用切应力=40 MPa，传递的力偶矩T=08 kN·m，空心轴内径与外径比，试计算实心轴的直径D和空心轴的外径D1。图316解：根据公式 得 (1)实心轴 带人数据得 D 453 mm，取D=46 mm (2)空心轴 带人数据得 D1 463 mm，取D1=48 mm例310 已知空心轴材料的许用切应力=100 MPa，传递的力偶矩T=198 kN·m，空心轴外径D=76 mm，壁厚25 mm，求：校核该轴的强度。如改为实心轴，并保证相同的强度，试设计实心轴的直径。 解：(1)校

31、核强度，最大切应力在空心轴的外圆处 经过校核，该轴满足强度要求。 (2)保持强度不变，即实心轴与空心轴的最大切应力相等 带人数据得 D1=471 mm，取D。=48 mm 在强度相同条件下，两轴的质量比(质量比等于体积比也等于横截面积比)为 空心轴的质量仅为实心轴的l3，可见采用空心轴更为合理。 但要注意，过薄的圆筒受扭时筒壁可能发生褶皱，丧失承载能力，同时在加工空心轴时会增加成本，所以不能在任何条件下都采用空心轴。38弯曲的应力、强度和刚度计算 一般情况下，梁的横截面上既有弯矩，又有剪力，这种弯曲称为剪切弯曲。若梁的横截面上只有弯矩而无剪力，称为纯弯曲。如图717所示为车轴的计算简图，可知A

32、B段的弯矩M= ，剪力FQ=0，属纯弯曲；而CA和BD段为剪切弯曲。381 纯弯曲时梁横截面上的正应力 1纯弯曲时横截面上正应力的分布规律 如图718所示的矩形截面梁，在发生纯弯曲变形后，一边凹陷，一边凸出，凹边的纵向纤维层缩短，凸边的纵向纤维层伸长。由于梁的变形是连续的，因此其问必有一层既不伸长也不缩短的纤维，这一长度不变的纵向纤维层称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴，可以证明中性轴通过截面的形心。位于中性层上、下两侧的纤维，一侧伸长另一侧缩短，引起横截面绕中性轴的微小转动。纤维伸长，横截面上对应各点受拉应力；纤维缩短，横截面上对应各点受压应力。所以中性轴是横截面上拉应力区域与压应力

33、区域的分界线。正应力的分布规律如图319所示。 图317纯弯曲和剪切弯曲图318矩形截面梁纯弯曲变形 图319矩形截面正应力分布2纯弯曲时横截面上正应力的计算公式 式中：横截面上任一点的弯曲正应力； M横截面上的弯矩； y欲求应力的点到中性轴的距离； Iz横截面对中性轴z的惯性矩。 上述正应力的分布规律和计算公式是由纯弯曲梁计算所得，但经过验证，对于剪切弯曲的细长梁(梁的跨度与截面高度比5的梁)，在材料的弹性范围内，结论和公式依然适用。3横截面上最大的正应力 当y=ymax时，弯曲正应力达到最大值，由公式(314)可得 (315) (316)可得 (317)式中：W抗弯截面系数，mm3。W是抵

34、抗弯曲破坏能力的几何参数。 当截面的形状对称于中性轴时，如矩形、工字钢、圆形等，其上、下边缘距中性轴的距离相等，即y1=y2= ymax,如图320所示，因而最大拉应力。与最大压应力；相等。当中性轴不是对称轴时，如T形截面(图321)，y1y2，所以最大拉应力和最大压应力不相等，要分别计算。图320 对称截面的应力分布图321 非对称截面的应力分布782 简单截面的惯性矩和抗弯截面系数 轴惯性矩，和抗弯截面系数形是取决于截面形状、尺寸的物理量。截面的面积分布离中性轴越远，截面的I和W越大。 常用的I和W计算公式见表73，其他常用型钢的，和形可查阅机械设计手册中的型钢表。表73常用的I和W计算公

35、式783梁的正应力强度计算梁的正应力强度条件是：梁的最大弯曲正应力不得超过材料的许用应力，即 (718)最大正应力所在的截面称为危险截面，最大正应力所在的点称为危险点。对于塑性材料，由于其抗拉强度与抗压强度相等，即，其强度条件为 (719)对于胞眭材料，由于其抗拉强度与抗压强度不相等，即，其强度条件为 (720) (721) 根据上述公式，可以完成梁的强度校核、截面设计、确定许用载荷三类问题的计算。例311 如图322(a)所示，T形截面对中性轴的，Iz=3×105mm4，F1=3 kN，F2=55 kN，AC=n=02 m，BC=b=04 m，材料的许用拉应力=70 MPa，许用压

36、应力=150 MPa，试按正应力强度条件校核梁的强度。 图322解：(1)画计算简图图322(b)(2)计算截面的弯矩并画弯矩图 MA=0 MB =Fl(+b)+ F2 b=3 kN×(0.2 m+0.4 m)+5.5 kN×0.4 m=0.4 kN·m MC =Fl =3 kN×0.2 m=0.6 kN·m梁的弯矩图如图322(c)所示。由图可以得知，C截面的弯矩绝对值最大。(3)校核梁的C截面强度因为该截面弯矩为负值，所以中性轴以下截面为压应力，以上截面为拉应力。上边缘的最大拉应力为 下边缘的最大压应力为 所以c截面的强度符合要求。 (4)

37、校核梁的B截面强度 因为该截面弯矩为正值，所以中性轴以下截面为拉应力，以上截面为压应力。 上边缘的最大压应力为 下边缘的最大拉应力为 所以，B截面的强度不符合要求。B截面的下边缘处将先被破坏。 由此可见，当：材料的许用拉应力和许用压应力不同，中性轴不是对称轴，弯矩图上既有正弯矩也有负弯矩，3个条件同时存在时，既要计算最大正弯矩截面的强度，又要计算最大负弯矩截面的强度。384梁弯曲时的变形和刚度条件 1挠度和转角 如图323所示的简支梁，弯曲变形时，横截面nn位置，其形心从C点位移到C点。梁的横截面形心在与原来轴线垂直方向上的位移，称为该截面的挠度，用符号表示；横截面相对于原来位置转过的角度，称

38、为该截面的转角，用符号表示。 图323简支粱的弯曲变形 弯曲变形后梁的轴线变成一条连续光滑的平面曲线，称为挠度曲线，简称挠曲线。在图中所示的坐标系中，挠曲线的方程称为挠度方程，可以表示为 (322) 由于轴线是各截面形心的连线，所以，该方程中的x为变形前截面位置的横坐标，为变形后该截面的挠度。 由于截面的转角等于挠度曲线在该截面的切线与轴的夹角，在小变形的情况下，任一截面的转角都可以表示为 (323) 所以，挠度和转角的数值可以由挠度方程及其一阶导数确定。采用图323所示的坐标系时，向上的挠度为正，向下的挠度为负；逆时针的转角为正，顺时针的转角为负。 在一定外力作用下，梁的挠度、转角都和材料的

39、弹性模量E与截面惯性矩Iz的乘积EIz成反比，EIz越大，挠度和转角越小，所以EIz称为梁的抗弯刚度。在机械设计手册中可以查到各种梁在简单载荷作用下的挠度方程，以及某些截面的挠度和转角计算公式。 2梁的刚度条件 受几种载荷共同作用的梁，利用挠度方程表，先计算每一种载荷单独作用下的变形，然后将它们进行代数和叠加，这种计算方法称为叠加法。一般在只有小变形和材料服从虎克定律的前提下，才能使用叠加法计算梁的变形。 机械工程中有刚度要求的梁，有关设计标准和规范规定了许用挠度或许用转角的数值,分别用和表示。其中许用挠度一般表示为梁的跨度的倍数，如 一般传动轴 =(0.000 30.000 5) 安装齿轮或

40、滑动轴承处 =0.001 rad 所以梁的刚度条件为 (724) 385提高梁弯曲强度和刚度的主要措施 1提高梁弯曲强度的主要措施 在一般情况下，弯曲正应力是控制梁强度的主要因素。根据弯曲正应力强度条件可知，梁的弯曲强度与横截面的形状和尺寸、最大弯矩和材料有关。因此，提高梁的强度可从以下几个方面考虑： (1)选择合理的截面形状 从弯曲强度考虑，比较合理的截面形状是在截面面积A一定的前提下，使截面具有尽可能大的抗弯截面系数W，截面的比值越大，截面越经济合理。工程中常见截面的比值如表34所示。表34常用工程材料截面W/A的比值可见，矩形截面优于圆形截面，圆环截面又优于矩形截面，而最合理的为工字形和

41、槽截面。这一结论可以从正应力的分布规律来解释，弯曲正应力沿截面高度呈线性分布，当离中性轴最远各点处的正应力达到材料的许用应力时，中性轴附近各点处的正应力仍很小，该处材料的作用未充分发挥。因此，在离中性轴较远处配置较多的材料可提高材料的利用率。 根据上述原则，对于抗拉与抗压强度相同的塑性材料梁，宜采用对称于中性轴的各种截面，如矩形、工字形等截面。对于抗拉强度低于抗压强度的脆性材料梁，宜采用中性轴偏于受拉一侧的截面，如T形、形截面等，最理想的截面是使，如图321所示。 (2)合理地布置载荷和支座 合理地布置载荷和支座，可以降低梁的最大弯矩，从而提高梁的强度。 如图324所示，将梁上的集中载荷分散为

42、两处靠近支座的集中力，梁上的最大弯矩将减小一半。 图324集中载荷分散为两处靠近支座的集中力 如图725所示的受均布载荷的简支梁，若将两个支座各向内侧适当移动0.2，则其最大弯矩将从0.125q。减小为0.025q。，仅为原来的15。 使集中力尽量靠近支座，也可以降低最大弯矩。如图326所示的铣床的齿轮轴，若让齿轮紧靠左边轴承，而不是位于轴的中问位置，其最大弯矩为，而不再是,，从而使最大弯矩降低了40。因此，机械工程中的齿轮、带轮等都尽量靠近轴承处，以降低梁的最大弯矩，提高梁的弯曲强度。 (3)采用变截面梁 一般情况下，在梁的不同截面，弯矩值不同。等截面梁的尺寸由最大弯矩确定，因此，除了危险截

43、面的应力达到材料的许用应力外，其他截面的正应力均小于许用应力，材料未充分利用。因而从整体上看，等截面梁不合理，故机械中常采用变截面梁。如铸铁托架，摇臂钻的横臂AB、鱼腹梁、阶梯轴等，它们的截面尺寸随弯矩大小而定，称为变截面梁。若各截面的最大应力都达到许用值，则称为等强度梁，如图327所示。 应该指出，上述措施只是从弯曲强度的角度考虑的，工程实际中，还应结合工艺要求、结构功能等因素，作全面考虑。 (a) (b)图325受均布载荷的简支梁支座向内移动 图326集中力尽量靠近支座 2提高梁弯曲刚度的主要措施 由机械设计手册查得梁的变形公式可知，梁的变形与载荷(m，P，q)成正比，与梁的跨度f或z的高

44、次幂成正比，与抗弯刚度肼成反比。因此，提高梁刚度的措施为： (1)缩短梁的跨度或增加支座 缩短跨度是提高梁刚度极为有效的措施。在跨度不允许减小的情况下，可以增加中间支座。如切削工件时，卡盘夹紧一端为固定端，在自由端加装尾架顶针，以降低挠度，使切削工件符合要求。 (a) (b) (c)图327变截面梁 (2)增大抗弯刚度肼 因为各种钢材的E值接近，所以选择惯性矩，较大的截面形状，是比较经济的措施，例如采用圆环形、箱形、工字形等截面形状。 (3)改善加载方式 同强度问题一样，改善加载方式可以降低弯矩，减小梁的变形。另外，可适当调整载荷方向，使两种载荷引起的变形能互相抵消一部分，从而达到减小变形的目的。79交变应力与疲劳失效791交变应力的概念 机器中的某些传动轴常常受到随时间作周期性变化的应力，这种应力称为交变应力。例如，图328(a)所示的火车轮轴，受到载荷FP的作用，当轴转动时，其横截面上的弯曲正应力会随时间作周期性的变化。如中间截面上的C点，每运动一周，其位置由1开始，经2，3，4后又回到l图328(b)，其应力值变化为：。车轴不停地转动，该点的应力就不断地如此反复，所以C点的弯曲正应力为交变应力。若以时间t为横坐标，弯曲正应力为纵坐标，则C点的应力随时间的变化曲线如图328(c)所示。 792交变应力的循环特性 为了清楚地看出交变