第3章 离散时间信号的傅里叶变换及DFT

1、燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25第第3 3章章 离散时间信号的傅里叶变换及离散时间信号的傅里叶变换及DFTDFT要求：要求：1.1.掌握连续时间傅里叶变换掌握连续时间傅里叶变换FTFT2.2.掌握离散时间傅里叶变换掌握离散时间傅里叶变换DTFTDTFT及性质及性质3.3.掌握离散傅里叶变换掌握离散傅里叶变换DFTDFT及应用及应用 燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-253.1 3.1 连续时间信号的傅里叶连续时间信号的傅里叶设x(t)为一连续信号，若x(t)属于L1空间，即满足：dttx| )(|那么，x(t

2、)的傅里叶变换存在，并定义为：dtetxjXtj)()(反变换为：dejXtxtj)(21)( X(j)是的连续函数，称为x(t)的频谱密度函数或频谱。 时域连续的非周期信号其傅里叶变换FT在频域上是连续的、非周期的。0tx(t)0|X(j)|（1 1）非周期时间信号傅里叶变换）非周期时间信号傅里叶变换燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25tttxt其余008 . 0)(时域信号时域信号 频域信号频域信号连续的非周期的非周期的连续的欧拉公式：jnjneen21cosjnjneejn21sin，求其傅里叶变换。设连续时间信号0)()(atuetxatdte

3、tuedtetxjXtjattj)()()(3.1 3.1 连续时间信号的傅里叶连续时间信号的傅里叶0510152025303540455000.511.52x(t)t-25-20-15-10-505101520250246|X(j)|jaejadtetjatja110)(0)(燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25，求其傅里叶变换。其余设信号ttrtx00)(0)()(dterdtetxjXtjtj 任何周期信号在满足狄义赫利条件下，可以展开为完备正交函数线性组合的无穷级数。如果正交函数集是三角函数集，则此时展成的级数称为傅里叶级数三角形式，如果正交函

4、数集是复指数函数集，则称为傅里叶级数复指数形式。3.1 3.1 连续时间信号的傅里叶连续时间信号的傅里叶010203040506070809010000.511.52x(t)t-2000-1500-1000-50005001000150020000102030|X(j)| 为抽样函数。称xxxSasin)(信号与系统，徐守时：176页222sin2sin22sin2cos2sin2cos1|222sin22222220SaererjejrjjejreeejrejrejrjSajjjjjjjtj燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25 设x(t)为一连续时间

5、周期信号，周期为T，即x(t) =x(t+nT)，该信号不属于L1空间。但如果x(t)满足狄义赫利条件，可以将其展开为傅里叶级数，即： , 1, 0)/2()()(000kTekXtxtjkk条件 k0为第k次谐波频率。因为X(k0)仅在0的整数倍取值，即在频率轴取值是离散的，称为x(t)在k次谐波的傅里叶系数。X(k0) 表示为：TtttjkdtetxTkX0)(1)(0 那么，周期信号x(t)的傅里叶变换为：dteekXdtetxjXtjtjkktj)()()(003.1 3.1 连续时间信号的傅里叶连续时间信号的傅里叶（2 2）周期时间信号傅里叶变换）周期时间信号傅里叶变换dtekXdt

6、eekXtkjktjtjkk)(0000)()(燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25 函数定义及性质：00)(1)(ttdtt)0()()(fdtttf)()()(00tfdttttf)()()(00tfdttttf 函数傅里叶变换性质：1)()(FT0jtjedtett1)(FTt3.1 3.1 连续时间信号的傅里叶（补充）连续时间信号的傅里叶（补充）0tx(t)01X(j)燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25)(21FT0X(j)反变换定义得，所以由非周期傅里叶因为1)(FTt和t互换dtetj21)(dt

7、etj1 1 FTdtetj)(2dtetj)(2)(2)(21 1 FTdtetj3.1 3.1 连续时间信号的傅里叶（补充）连续时间信号的傅里叶（补充）求x(t)=1的FT。0t1x(t)dettj21)(燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25dtedteeetjtjtjtj)(000FTdettj21)(因为因为：dtetj21)(dtetj)(0021)()(20)(0dtetj)(20FT0tje)(2)(200，所以因为)()(00tttt)(20FT0tje3.1 3.1 连续时间信号的傅里叶（补充）连续时间信号的傅里叶（补充）dedett

8、jtj21121 1 IFT)(0)()(FT00tjtjedtetttt燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25)(21FT)cos(FT000tjtjeet )()()(2)(221)(21FT000000tjtjee)()()()()(21FT)sin(FT0000000jjeejttjtj 求周期函数cos(0t) 和sin(0t)的傅里叶变换。)(2FT00tje3.1 3.1 连续时间信号的傅里叶（补充）连续时间信号的傅里叶（补充）燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25)()(2)(00kkXjXk 该式

9、表明，一个周期信号的傅里叶变换是：由在频率轴上间距为0的冲击序列所组成线谱。 不具备傅里叶变换条件的周期信号，在引入冲激信号后可以作傅里叶变换。时域连续周期信号傅里叶变换在频率上是离散的、非周期的。3.1 3.1 连续时间信号的傅里叶连续时间信号的傅里叶由上述函数傅里叶变换性质，周期信号的傅里叶变换FS为：)(2FT00tjedteekXjXtjtjkk0)()(0)()(2)()(00FSkkXnTtxtxk燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25计算周期信号 的傅里叶变换。)(tx2/02/1)()()(tttrlTtrtxl，其中2/)2/sin(1

10、1)(1)(002/2/000kkTdteTdtetxTkXtjkTtttjk周期信号的傅里叶系数 xxxsinSa抽样函数00)2/(Sa0kTkkT3.1 3.1 连续时间信号的傅里叶连续时间信号的傅里叶-2T -T -/2 0 /2 T 2T 3T t)(tx1信号与系统，徐守时：199页燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25)()(2)(FS00kkXtxk因为)(2Sa2)(00kkTjXk 3.1 3.1 连续时间信号的傅里叶连续时间信号的傅里叶T2-2/ 0 2/T 2/ 4/（1）周期矩形信号频谱是离散的，谱线间隔是0=2/T；（2）当=

11、2k/时，谱线的包络线过零点。燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-253.2.1 DTFT的定义 对序列傅里叶变换两边乘以ejm并在-内对积分njnjenxeX)()( 此式即为离散时间序列的傅里叶变换DTFT。X(ej)是的连续函数，且是周期的，周期为2。njnnjnjnjenxeenxeX)()(2)2()2(deenxdeeXnjmjnmjj )()(3.2 3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换 设x(n)为一序列，该序列傅里叶变换为：denxnmjn)()(njnnjnenxenxnjn)()()2sin()2cos(燕山大

12、学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25denxnmjn)()()(2)(mnnxn)(2mxdeeXnxnjj)(21)(3.2 3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换dettj21)(其余01mn DTFT的反变换为，求其傅里叶变换。例：设序列1)()(anuanxnjnnjnjnnnjnjaeaeeaenxeX11)()(00cos211)(2aaeXjcos1sinarctan)(aa信号与系统，徐守时：187页燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25N=50;3n=0:1:N;w=-3*pi:

13、pi/1000:4*pi;a=0.8;xn=a.n;X=1./(1-a*exp(-j*w);Xmax=max(abs(X);subplot(311);stem(n,xn);grid;ylabel(x(n);xlabel(n);subplot(312);plot(w/pi,abs(X);ylabel(|X(j)|);xlabel();grid;text(0.1,5,leftarrow |X(j)|=,num2str(Xmax),fontsize,10); subplot(313);plot(w/pi,angle(X);ylabel();xlabel();grid;3.2 3.2 离散时间信号的的

14、傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换 常用DTFT的变换jnaenua11)(DTFT信号与系统，徐守时：196页1)(DTFT n0102030405000.51x(n)n-3-2-1012340510|X(j)| |X(j)|=5-3-2-101234-101燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25的傅里叶变换。求窗函数111201)(1NnNnnxNlNlNenxnjNNnN21222/sin2/12sin1)(DTFT11121113.2 3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换信号与系统，徐守时：188页4-4-3-2-101

15、234-2-10123456DgwN=2 max=52*pi/(2*N+1)=0.4pimatlab应用Web和MATLAB的信号与系统基础：246Matlab信号处理与应用_懂长虹：68燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-251.线性 令x1(n)，x2(n)的DTFT分别为X1(ej) 和X2(ej) ，并令x(n)=ax1(n)+bx2(n)，则X(ej)= aX1(ej)+ bX2(ej)。njnjenbxnaxeX)()()(213.2.2 DTFT的性质3.2 3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换2.时移)()(0nnx

16、ny令njnjennxeY)()(0则)(0)()(lnjljelxeY)()()(00jnjljlnjjeXeelxeeY令n-n0=l)()(0DTFT0jnjeXennx )()()()(2121jjnjnnjnebXeaXenxbenxa燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25)(0)()()(njjjjjeeXeeYeY 这说明，如果序列在时域的平移，将不导致傅里叶变换的模改变，只造成其相位附加一个线性相移-n0。求x(n)=(n-n0)的傅里叶变换。，所以由时移性质有因为1)(DTFT n0DTFT0)(njenn 3.2 3.2 离散时间信号

17、的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换 序列的时延n0，导致其傅里叶变换乘以一个时移因子 。从频域的模和相位来看0nje燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-253.2 3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换3.频移njenxny0)()(令)()(0jjeXeY则000)()()(jnjnnjnjnjeXenxeenxeY)(00DTFTjnjeXnxe)()1(DTFT0jneXnx，则若 如果x(n)在时域被(-1)n加权，即原序列交替改变符号，等效于在频域频移。在低频部分经频移到最高频率(= )。 时间序列在时域被频率为0的复

18、正弦 加权，等于频域中分别将其傅里叶变换沿频率轴右移0。nje0燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25 按频移性质有：)(2IDTFT)(2IDTFT)(00njenx 设X (ej) =2(-0)，()是以2为周期的单位冲激函数，计算IDTFTX (ej) 。21)(21)(IDTFTdenj因为 频移性质的频谱搬移技术在通信和信号处理中得到广泛应用，如载波幅度调制、同步解调、变频或混频等技术。3.2 3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换njnjeenx00)(2IDTFT)(lnjle220DTFT0 由于离散时间信号的傅里叶

19、变换是以2为周期的，因此，频域冲击应该是周期的，即燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25求周期函数cos(0n) 和sin(0n)的傅里叶变换。利用欧拉公式，分别有0021)cos(0jnjneen0021sin0jnjneejn信号与系统，徐守时：245页质有，由傅里叶变换线性性因为 lnjle)2(20DTFT0llljjjlllleXeXeX)2()2()2(2)2(221)()()(000021 llln)2()2(cos00DTFT0 llljn)2()2(sin00DTFT0-2 - -0 0 2 X(ej)-2 - -0 0 2 j j X

20、(ej) -j -j -j3.2 3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-254.奇、偶、虚、实对称性)()()()(njxnxnxnxIR可表示为复信号njnIRnjnjenjxnxenxeX)()()()(3.2 3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换nIRjRnnxnnxeX)sin()()cos()()(nIRjInnxnnxeX)cos()()sin()()()sin()cos()()(njnnjxnxnIRnIRIRnnxnnjxnnjxnnx)sin()()sin(

21、)()cos()()cos()(nIRIRnnxnnxjnnxnnx)cos()()sin()()sin()()cos()()()(jIjReXeX燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25deejXeXnxnjjIjR)()(21)(dneXneXnxjIjRR)sin()()cos()(21)(dneXneXnxjIjRI)cos()()sin()(21)(3.2 3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换 如果x(n)是实信号，即xI (n)=0，则X (ej)的实部XR(ej)可表示为：nnRnIRjRnnxnnxnnxnnxeX)

22、cos()()cos()()sin()()cos()()(dnjnejXeXjIjR)sin()cos()(21dneXneXjneXneXjIjRjIjR)cos()()sin()()sin()()cos()(21dneXneXjdneXneXjIjRjIjR)cos()()sin()(21)sin()()cos()(21)()(nxnxIR燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25结论1：实信号x(n)傅里叶变换X(ej) 的实部XR(ej)是的偶函数。nnRnIRjInnxnnxnnxnnxeX)sin()()sin()()cos()()sin()()

23、(结论2：实信号x(n)傅里叶变换X(ej) 的虚部XI (ej)是的奇函数。3.2 3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换 实信号x(n)傅里叶变换的虚部XI (ej)可表示为：)()(jIjIeXeX)()(jRjReXeX)()(jjeXeX结论3： X(ej) 的幅频响应是的偶函数。)()()(arctan)(jRjIeXeX结论4： 相频响应是的奇函数。燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25求实信号x(n)=0.8n的DTFT。n=0:20;k=-200:200;4-1w=(pi/100)*k;x=(0.8).n;X=x*

24、(exp(-j*pi/100).(n*k);subplot(411);stem(n,x);grid;title(x(n); subplot(323);plot(w/pi,real(X);grid;title(real);subplot(324);plot(w/pi,imag(X);grid;title(imag); subplot(325);plot(w/pi,abs(X);grid;title(|DTFTx(n)|);subplot(326);plot(w/pi,angle(X);grid;title(arctanx(n);3.2 3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换

25、0246810121416182000.51x(n)-3-2-10120246real-3-2-1012-505imag-3-2-10120246|DTFTx(n)|-3-2-1012-101arctanx(n)数字信号处理 使用MATLAB_维纳.K.恩格尔:40燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25)()()(jIjRjejXeXeX因为)()(jjeXeX3.2 3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换 对于实信号，由结论1、2得：)()()()()()()()(jjIjRjIjRjIjRjeXejXeXejXeXejXeXeX

26、所以，求其傅里叶变换。设序列1)()(anuanxn)()()(nnuaanxnnjeXnxDTFT)()()()()(jnjnnjnjeXenxenxeY jeXnxDTFTjeXnxDTFT)()(DTFT)(nnuaaeXnnj 对于复信号有：燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25)()()(nhnxnynjnmnjnjemnhmxenhnxeY )()()()()()()()(mnjmnmjemnhemx5. 时域卷积定理 )(DTFTDTFTDTFT)(naaeXnnj，所以和因为jjneXnxaenuaDTFDDTFT)(11)(11111)

27、(jjjaeaeeX信号与系统，徐守时：255页)()()()(DTFTjjeHeXnhnx 时域两个序列卷积，对应着在频域中，它们的傅里叶变换相乘。3.2 3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换)()(jjeHeX燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25deeHenxenhnxeYnjmjnjnjmj)(21)()()()(6. 频域卷积定理)()()(nhnxny3.2 3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换)()(21)()(jjeHeXnhnx 时域两个序列相乘，对应着在频域中，它们的傅里叶变换卷积再乘以

28、1/2。)(00DTFTjnjeXnxe应用频域卷积定理计算)(DTFTDTFT21)(DTFT00nxenxenjnj0000)(2DTFTjjeeXeXnjdeXeHdenxeHjjmnjj)(21)()(21)()()()(21jjeXeH燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-257. 尺度变换插值，则若 2, 1, 00)(llmnlmnmnxnymmjjeXeY)(3.2 3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换)()(DTFTjmmeXnx 倍插零的傅里叶变换。按求窗函数mNnNnnxN111201)(1，所以因为2/sin2

29、/12sin1)(DTFT112111NenxnjNNnN2/sin2/12sin1)/(DTFT1/12111mNmemnxmnjNNnN燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25 x(n)在时域上扩展m倍，导致其频域压缩m倍。X(ej) 周期变为2/m，在x(n)之间插零，加快了信号的变化速度，改变了信号的频域分布。3.2 3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换-4-3-2-101234-20246Dgwm=1-4-3-2-101234-20246Dgwm=2-4-3-2-101234-20246Dgwm=35燕山大学机械学院机电系

30、燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25抽取，则若)()(mnxny10/ )2(1)(mkmkjjeXmeY 时域使得x(n)在时域上压缩m倍，导致其频域扩展m倍。频域扩展产生了混频，甚至与原来频域分布不一样。3.2 3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换X(ej)-2 0 2X(ej)-2 0 2X(ej2)-2 0 211/21/2燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-258. 时域相关定理nmnhnxmy)()()(mjmnjemnhnxeY )()()()()()(mnjnmnjemnhenx3.2 3.2 离

31、散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换如果y(n)是x(n)和h(n)的相关函数，即2DTFT)()(jxeXmr 能量信号x(n)的自相关函数的傅里叶变换等于信号傅里叶变换的幅值平方。| X(ej)|2称为信号的能量密度谱或能谱密度、能量密度谱或能谱密度、能量谱能量谱。)()()(DTFTjjxheHeXmr 两个能量信号互相关函数的傅里叶变换，等于其中一个信号的傅里叶变换乘以另一个傅里叶变换的共轭，通常把能量互相关的傅里叶变换称为互谱密度互谱密度。)()()(DTFTjjyxeXeYmr )()(jjeHeX燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-0

32、2-259. 巴塞伐定理（帕什瓦尔定理）deXnxxnxjn2222)(21)()(，则对于能量信号deeXnxnxnxEnjjnnx)(21)()()(3.2 3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换 一个能量信号在时域的总能量，等于其频域的总能量。 能量谱能量谱由信号傅里叶变换的模确定，与相位无关。具有相同幅度的谱而相位不同的信号，都具有相同的能量谱。denxeXnjjn)()(21denxeXnjjn)()(21deXeXjj)()(21deXj2)(21燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25mxmjjemreP)()(3.2

33、3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换10. 维纳-辛钦定理 称Px(ej)为功率信号x(n)的功率密度谱或功率谱密度、功率谱功率谱。功率信号x(n)的自相关函数和其功率谱是一对傅里叶变换。 若x(n)是功率信号，其自相关函数的傅里叶变换为)()(121lim)(DTFTjjNxyeYeXNmr 2DTFT)(121lim)(jNxeXNmr mjemnxnxNmNNnN)()(121limmNNnNmnjnjemnxenxN)()()(121limNNnmNmnjnjemnxenxN)()()(121lim)()(121lim2jjeXeXNNN12)(lim22NeX

34、jNN燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-253.2.3 DTFT的应用 取一复序列x(n)=(0.8)ne jn/3 ， 0 n8求它的DTFT并探讨其对称性与周期性。 按上式计算，a= 0.8*e j/3。3.2 3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换k=-200:200;w=(pi/100)*k; 6a=0.8*exp(j*pi/3);n=0:0.1:10;x=a.n;subplot(221);stem(n,real(x);grid;title(实部);subplot(222);stem(n,imag(x);grid;title

35、(虚部);X=1./(1-(a*exp(-j*w);subplot(223);plot(w/pi,abs(X);grid;title(幅度);subplot(224);plot(w/pi,angle(X);grid;title(相角);jnaenua11)(DTFT0510-1-0.500.51实 部0510-0.500.51虚 部-4-2020246幅 度-4-202-1-0.500.51相 角燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25 NkNNkknjnjnjnjnjnjnjnjnjNeeeeeeeeenxnxnxKXXX212222111211)(),

36、(),()(),2(),1 (21 如果频率向量表示为=1, 2 k =kd，则DTFT可表示为：X(ej)=x*exp(-j*dw*n*k)njnjenxeX)()(DTFT 的表达式为：3.2 3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换DTFT计算表达式常用表达方法数字信号处理教程MATLAB释义与实现_陈怀琛:54燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25n=0:10;7x=(0.8*exp(j*pi/3).n;k=-200:200;w=(pi/100)*k;X=x*(exp(-j*n*w); % (0.8)ne jn/3傅里叶变换x

37、1=(0.8).n;X1=x1*(exp(-j*n*w); % (0.8)n傅里叶变换 subplot(421);stem(real(x);grid;title(复序列);ylabel(实部);subplot(423);stem(imag(x);grid;ylabel(虚部); subplot(425);plot(w/pi,abs(X);grid;ylabel(幅度);subplot(427);plot(w/pi,angle(X);grid;ylabel(相角); subplot(422);stem(real(x1);grid;title(实序列);subplot(424);stem(imag

38、(x1);grid;subplot(426);plot(w/pi,abs(X1);grid;subplot(428);plot(w/pi,angle(X1);grid;3.2 3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换按公式： X(ej)=x*exp(-j*dw*n*k) 编程为：燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25051015-101复 序 列实部051015-101虚部-4-20205幅度-4-202-101相角05101500.51实 序 列051015-101-4-20205-4-202-101讨论：（1）复序列的DTFT的幅

39、频特性和相频特性是的周期函数，但不是对称的，既不是偶对称，也不是奇对称；3.2 3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换（2）去掉复数因子ej/3 后x(n)就为实序列，实序列的幅频特性和相频特性是的周期函数，幅值偶对称，相位奇对称；（3）把复序列变为实序列，相当于让时间序列乘以e-j/3 后，它引起DTFT特性频移。燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25 求有限长序列x(n)=1，3，5，3，1的DTFT，画出在=-8+8 rad/s范围内的频率特性，讨论其对称性，再把序列左右移动，讨论对DTFT的影响。8813531)()()(3

40、231jjjnjnjnnjnjeeeeenxenxeXx=1,3,5,3,1;nx=-1:3;8w=linspace(-8,8,1000);%将=-88 分成1000份X=x*exp(-j*nx*w);subplot(3,1,1);stem(nx,x);axis(-2,6,-1,6);grid;title(原序列); ylabel(x(n);subplot(3,2,3);plot(w/pi,abs(X);grid;ylabel(幅度);subplot(3,2,4),plot(w/pi,angle(X);grid;ylabel(相角);subplot(3,2,5);plot(w/pi,real(

41、X);grid;ylabel(实部);subplot(3,2,6);plot(w/pi,imag(X);grid;ylabel(虚部);3.2 3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换-2-101234560246原 序 列x(n)-3-2-10123051015幅度-3-2-10123-505相角-3-2-10123-1001020实部-3-2-10123-10010虚部数字信号处理教程MATLAB释义与实现_陈怀琛:55燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25x=1,3,5,3,1;nx=-1:3;9w=linspace(-8,8,

42、1000);X=x*exp(-j*nx*w);subplot(5,3,1);stem(nx,x);axis(-2,6,-1,6);grid;title(原序列);ylabel(x(n);subplot(5,3,4);plot(w/pi,abs(X);grid;ylabel(幅度);subplot(5,3,7),plot(w/pi,angle(X);grid;ylabel(相角);subplot(5,3,10);plot(w/pi,real(X);grid;ylabel(实部);subplot(5,3,13);plot(w/pi,imag(X);grid;ylabel(虚部);%右移2位nx1=

43、nx+2;X=x*exp(-j*nx1*w);subplot(5,3,2);stem(nx1,x);axis(-2,6,-1,6);grid;title(右移2位);subplot(5,3,5);plot(w/pi,abs(X);grid;subplot(5,3,8),plot(w/pi,angle(X);grid;subplot(5,3,11);plot(w/pi,real(X);grid;subplot(5,3,14);plot(w/pi,imag(X);grid;nx2=nx-1;X=x*exp(-j*nx2*w);subplot(5,3,3);stem(nx2,x);axis(-2,6

44、,-1,6);grid;title(左移1位);subplot(5,3,6);plot(w/pi,abs(X);grid;subplot(5,3,9),plot(w/pi,angle(X);grid;subplot(5,3,12);plot(w/pi,real(X);grid;subplot(5,3,15);plot(w/pi,imag(X);grid;3.2 3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-253.2 3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换-202460246原 序 列

45、x(n)-4-202401020幅度-4-2024-505相角-4-2024-20020实部-4-2024-10010虚部-202460246右 移 2位-4-202401020-4-2024-505-4-2024-20020-4-2024-20020-202460246左 移 1位-4-202401020-4-2024-202x 10-16-4-202401020-4-2024-101x 10-15燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25（1）序列的DTFT是连续的；（2）序列的DTFT是周期函数，周期为2，因此，只要知道它在-+内的值，就可以知道在全部

46、范围内的值；（3）实序列的DTFT具有对称性，其幅频特性和实频特性是偶对称的，相频特性和虚频特性是奇对称的；（4）信号在时间轴的平移不影响DTFT的幅频特性，只影响相频特性；（5）时域对称序列，具有相位随频率线性变换的特点。对称中心的位置决定相频特性的斜率大小。当对称中心位于n=0处时，相位恒为0。3.2 3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25令x(n)=(n-m) ，求X(e j) 并讨论其幅频和相频响应。mjnjnjeemneX)()(1| )(|mjjeeXmmmeXeXjRjI)cos(

47、)sin(arctan)()(arctan)(m=-200:200;w=(pi/100);10X=exp(-j*w*m);subplot(211);plot(w*m/pi,abs(X);grid;title(幅度);axis(-2 2 -0.5 2);subplot(212);plot(w*m/pi,angle(X);grid;title(相角);axis(-2 2 -4 4);3.2 3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换-2-1.5-1-0.500.511.52-0.500.511.52幅 度-2-1.5-1-0.500.511.52-4-2024相 角燕山大学机械学

48、院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25 为其它值，nNnnd01101)( 一个有限长信号xN(n)，n=0，1，N-1 可以看作无限长信号x (n)，n= - ，乘上一个矩形窗作自然截断的结果，试研究d(n)对原信号频谱的影响。njNnjendeD10)()(3.2 3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换对窗函数d(n)进行傅里叶变换：10NnnjejNjee112/2/2/2/2/2/jjjNjNjNjeeeeee2/sin2/sin2/ )1(NeNj2/ )1(2/sin2/sinNjgNDgeD燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电

49、系Yd-lbh 2009-02-253.2 3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换 Dg第一个过零点的部分称为主瓣，主瓣宽度B=4/N，主瓣以外的部分称为边瓣，主瓣宽度B随N的增大而减小。 对于N=20，主瓣对应宽带：B1=4/20=0.2。 d(n)和Dg图形为：051015202500.511.5dn-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1001020DgwN=20-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-200204060DgwN=5011燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2

50、009-02-25L=5;N=100;12n=1:N;xn=ones(1,L),zeros(1,N-L);w=1:1000*2*pi/1000;a=length(w);d=(sin(L.*w/2)./sin(w/2).*exp(-j.*w*(L-1)/2);f=abs(d(a/2+1:a) d(1:a/2+1); k=-a/2:a/2;subplot(221);stem(xn);grid;axis(0 30 0 2);title(序列);subplot(222);plot(k,f);grid;axis(-600 600 0 6);title(幅度); L=10;N=100;n=1:N;xn=o

51、nes(1,L),zeros(1,N-L);w=1:1000*2*pi/1000;a=length(w);d=(sin(L.*w/2)./sin(w/2).*exp(-j.*w*(L-1)/2);f=abs(d(a/2+1:a) d(1:a/2+1); k=-a/2:a/2;subplot(223);stem(xn);grid;axis(0 30 0 2);subplot(224);plot(k,abs(f);grid;axis(-600 600 0 12);3.2 3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换 D(ej)的MATLAB程序为：燕山大学机械学院机电系燕山大学机械

52、学院机电系Yd-lbh 2009-02-253.2 3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换 d(n)和D(ej)图形为：燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25 有限长序列是无限长序列与一窗函数乘积的结果，即时域xN(n)= x(n)d(n) 对应频域卷积，由XN(ej)=X(ej)* D(ej)卷积结果是D(ej)主瓣对X(ej)起到了“平滑”作用，降低了X(ej)中谱峰的分辨能力。3.2 3.2 离散时间信号的的傅里叶变换离散时间信号的的傅里叶变换N=input(N=);13T=0.1;n=1:N;D=2*pi/(N*T);xa=

53、sin(5*n*T)+sin(6*n*T);Xa=T*fftshift(fft(xa);xa(1)k=floor(-(N-1)/2:(N-1)/2); %floor(x)把x向下负无穷去整，保证-/Ts区域有较多的高频分量，表现在时域上，就是恢复出的模拟信号是台阶形的。因此需要在DAC之后加平滑低通滤波器，滤除多余的高频分量，对时间波形起平滑作用（在模拟信号数字处理框中加平滑滤波）。3.3 3.3 连续时间信号的抽样连续时间信号的抽样 对h(t)进行傅里叶变换，得到频谱为： 由图看到，零阶保持器是一个低通滤波器，能够起到将时域离散信号恢复成模拟信号的作用。图中虚线表示理想低通滤波器的幅度特性。

54、|H(j)|-4/Ts -2/Ts 0 /Ts 2/Ts 4/Ts 虽然零阶保持器恢复的模拟信号有些失真，但简单、易实现，是经常使用的方法。 燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-253.4 3.4 离散时间周期信号的傅里叶变换离散时间周期信号的傅里叶变换 设 是周期信号 的抽样， 的周期为T，每个周期内抽N个点，即T=NTs。这样， 也是周期的，周期为NTs或N。周期信号可用傅里叶级数展开为)(snTx)(tx)(tx)(snTxktjkekXtx0)()(0 是 的傅里叶系数，它是离散、非周期的，对 抽样得：)(0KX)(tx)(txTknTjknTts

55、ssekXtxnTx2000)(| )()( 由于离散信号的频谱是周期的，周期为s，所以将上式的X(k0)改写为 。)(0kX3.4.1 周期序列傅里叶变换的引入knkNjekX20)(燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25 取抽样信号的一个周期（每个周期内抽N个点）的傅里叶系数，并用X(k)表示，则周期信号可表示为： 102NknkNjsekXnTx3.4.2 周期序列傅里叶变换的表达式次谐波。波、二次谐波，直至一个周期内，包含有基的的基波频率。在是，由于NkXtxNTNTss)()(/2/2000 上式表明将周期序列分解成N次谐波，第k个谐波频率为k

56、=(2/N)k， k=0, 1, 2 N-1， 幅度为X(k) 。一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。 3.4 3.4 离散时间周期信号的傅里叶变换离散时间周期信号的傅里叶变换燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25 当在n=0,1,., N-1求和与在n=N,.,2N-1求和所得的结果是一致的，也就是该式只能计算出N个抽样值，并表示为序列x(n)，n=0，1， N-1。102)()(NknkNjekXnx求和，则到然后从的两端乘以将式10,)()(2102NneekXnxnlNjNknkNj 1010)(2102)()(NkNnnlkNjNn

57、nlNjekXenxlmmNlkNeNnnlkNj，其他为任意整数，由于010)(2102)(1)(NnnkNjenxNkX3.4 3.4 离散时间周期信号的傅里叶变换离散时间周期信号的傅里叶变换燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25 1, 1 ,0)()(1, 1 ,0)(1)(102102NnekXnxNkenxNkXNkknNjNnknNj 所以，对应离散周期信号，可得： 通常将定标因子1/N移到反变换表示式中，这样通常表示的离散时间信号的傅里叶变换表达式为： 12, 1 ,0)(1)(12, 1 ,0)()(102102NnekXNnxNkenx

58、kXNkknNjNnknNj3.4 3.4 离散时间周期信号的傅里叶变换离散时间周期信号的傅里叶变换燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-253.4.3 周期序列傅里叶变换的习惯表示方法1, 1 ,0)()(DFS)(10 NkWnxnxkXNnnkN正变换1,1 ,0)(1)(IDFS)(10NnWkXNKXnxNKnkN反变换3.4 3.4 离散时间周期信号的傅里叶变换离散时间周期信号的傅里叶变换离散时间信号傅里叶变换通常用符号WN=e-j2/N代入，则：连续 非周期离散 非周期连续 周 期 离散 周 期时域信号时域信号 频域信号频域信号连续 非周期-F

59、T连续 周 期-FS离散 非周期-DTFT离散 周 期-DFS燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25 前面讨论的三种傅里叶变换对，都不适用在计算机上运算，因为至少在一个域 (时域或频域) 中，函数是连续的。因为从数字计算角度，我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况，只有离散变换才能够在计算机上使用。 从前面的几种变换知：周期性时间信号产生频谱是离散的；离散时间信号可以产生频谱是周期性的。 周期性离散时间信号其频谱为周期性离散的。也即我们所希望的。总之，一个域的离散必然造成另一个域的周期延拓。3.5.1 DFS傅里叶变换的意义3.5 3.5 离散傅里叶变换

60、离散傅里叶变换 我们先从周期性序列的离散傅里叶变换(DFS) 开始讨论，然后再讨论可作为周期函数一个周期的有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)。燕山大学机械学院机电系燕山大学机械学院机电系Yd-lbh 2009-02-25 周期序列实际上只有有限个序列值才有意义，因而它的离散傅里叶变换表示式也适用于有限长序列。 这样，我们只要把DFS的定义式两边取主值区间，就得到关于有限长序列的时频域的对应变换对。这就是离散傅里叶变换离散傅里叶变换 (DFT)。 12 , 1 , 0)(1)(12 , 1 , 0)()(102102NnekXNnxNkenxkXNkknNjNnknNj 对于有限长序列对于有限