第二十六章二次函数

1、第二十六章 二次函数26.1 二次函数yax2及其图象知识要点1、解析式形如（其中、是常数，且）的函数叫做二次函数。二次函数的定义域为一切实数。2、函数表达式中涉及函数解析式和定义域。在具体问题中，有时只研究函数解析式。需要研究函数定义域时，如果未加说明，那么函数定义域由解析式确定；否则，必须指明函数的定义域。3、二次函数的图形是一条曲线，这类曲线称为抛物线。4、抛物线（其中是常数，且）对称轴是轴，即直线；顶点是原点。抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点。学习要求1熟练掌握二次函数的有关概念2熟练掌握二次函数ya

2、x2的性质和图象课堂学习检测一、填空题1形如_的函数叫做二次函数，其中_是自变量，a，b，c是_且_02函数yx2的图象叫做_，对称轴是_，顶点是_3抛物线yax2的顶点是_，对称轴是_当a0时，抛物线的开口向_；当a0时，抛物线的开口向_4当a0时，在抛物线yax2的对称轴的左侧，y随x的增大而_，而在对称轴的右侧，y随x的增大而_；函数y当x_时的值最_5当a0时，在抛物线yax2的对称轴的左侧，y随x的增大而_，而在对称轴的右侧，y随x的增大而_；函数y当x_时的值最_6写出下列二次函数的a，b，c（1）a_，b_，c_（2）ypx2a_，b_，c_（3）a_，b_，c_（4）a_，b_

3、，c_7抛物线yax2，a越大则抛物线的开口就_，a越小则抛物线的开口就_8二次函数yax2的图象大致如下，请将图中抛物线字母的序号填入括号内（1）y2x2如图（ ）；（2）如图（ ）；（3）yx2如图（ ）；（4）如图（ ）；（5）如图（ ）；（6）如图（ ）9已知函数不画图象，回答下列各题（1）开口方向_；（2）对称轴_；（3）顶点坐标_；（4）当x0时，y随x的增大而_；（5）当x_时，y0；（6）当x_时，函数y的最_值是_10画出y2x2的图象，并回答出抛物线的顶点坐标、对称轴、增减性和最值综合、运用、诊断一、填空题11在下列函数中y2x2；y2x1；yx；yx2，回答：（1）_的图

4、象是直线，_的图象是抛物线（2）函数_y随着x的增大而增大函数_y随着x的增大而减小（3）函数_的图象关于y轴对称函数_的图象关于原点对称（4）函数_有最大值为_函数_有最小值为_12已知函数yax2bxc（a，b，c是常数）（1）若它是二次函数，则系数应满足条件_（2）若它是一次函数，则系数应满足条件_（3）若它是正比例函数，则系数应满足条件_13已知函数y（m23m）的图象是抛物线，则函数的解析式为_，抛物线的顶点坐标为_，对称轴方程为_，开口_14已知函数ym（m2）x（1）若它是二次函数，则m_，函数的解析式是_，其图象是一条_，位于第_象限（2）若它是一次函数，则m_，函数的解析式是

5、_，其图象是一条_，位于第_象限15已知函数ym，则当m_时它的图象是抛物线；当m_时，抛物线的开口向上；当m_时抛物线的开口向下二、选择题16下列函数中属于一次函数的是（ ），属于反比例函数的是（ ），属于二次函数的是（ ）Ayx（x1）Bxy1Cy2x22（x1）2D17在二次函数y3x2；中，图象在同一水平线上的开口大小顺序用题号表示应该为（ ）ABCD18对于抛物线yax2，下列说法中正确的是（ ）Aa越大，抛物线开口越大Ba越小，抛物线开口越大C越大，抛物线开口越大D越小，抛物线开口越大19下列说法中错误的是（ ）A在函数yx2中，当x0时y有最大值0B在函数y2x2中，当x0时y随

6、x的增大而增大C抛物线y2x2，yx2，中，抛物线y2x2的开口最小，抛物线yx2的开口最大D不论a是正数还是负数，抛物线yax2的顶点都是坐标原点三、解答题20函数y（m3）为二次函数（1）若其图象开口向上，求函数关系式；（2）若当x0时，y随x的增大而减小，求函数的关系式，并画出函数的图象拓展、探究、思考21抛物线yax2与直线y2x3交于点A（1，b）（1）求a，b的值；（2）求抛物线yax2与直线y2的两个交点B，C的坐标（B点在C点右侧）；（3）求OBC的面积22已知抛物线yax2经过点A（2，1）（1）求这个函数的解析式；（2）写出抛物线上点A关于y轴的对称点B的坐标；（3）求OA

7、B的面积；（4）抛物线上是否存在点C，使ABC的面积等于OAB面积的一半，若存在，求出C点的坐标；若不存在，请说明理由26.2 二次函数ya（xh）2k及其图象知识要点1、一般地，二次函数的图像是抛物线，称为抛物线，它可以通过抛物线向上（时），或向下（时）平移个单位得到。2、抛物线（其中、四常数，且）的对称轴是轴，即直线，顶点坐标是，抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，它的开口向上，顶点是抛物线的最低点，当时，它的开口向下，顶点是抛物线的最高点。3、一般地，抛物线（其中、是常数，且）可以通过将抛物线向左（时）或向右（时）平移个单位得到。4、抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是经点且平行（

8、或重合）于轴的直线，即直线；顶点坐标是。当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点。5、抛物线可以通过将抛物线先向左（时）或向右（时）平移个单位，再向上（时）或向下（时）平移个单位得到。6、抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是过点且平行（或重合）于轴的直线，即直线，顶点坐标是，当时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点，当时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点。学习要求掌握并灵活应用二次函数yax2k，ya（xh）2，ya（xh）2k的性质及图象课堂学习检测一、填空题1已知a0，（1）抛物线yax2的顶点坐标为_，对称轴为_（2）抛物线yax2c的

9、顶点坐标为_，对称轴为_（3）抛物线ya（xm）2的顶点坐标为_，对称轴为_2若函数是二次函数，则m_3抛物线y2x2的顶点，坐标为_，对称轴是_当x_时，y随x增大而减小；当x_时，y随x增大而增大；当x_时，y有最_值是_4抛物线y2x2的开口方向是_，它的形状与y2x2的形状_，它的顶点坐标是_，对称轴是_5抛物线y2x23的顶点坐标为_，对称轴为_当x_时，y随x的增大而减小；当x_时，y有最_值是_，它可以由抛物线y2x2向_平移_个单位得到6抛物线y3（x2）2的开口方向是_，顶点坐标为_，对称轴是_当x_时，y随x的增大而增大；当x_时，y有最_值是_，它可以由抛物线y3x2向_

10、平移_个单位得到二、选择题7要得到抛物线，可将抛物线（ ）A向上平移4个单位B向下平移4个单位C向右平移4个单位D向左平移4个单位8下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是（ ）Ay2x2与y3x2B与Cy2x2与yx22Dyx2与yx229顶点为（5，0），且开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线是（ ）ABCD三、解答题10在同一坐标系中画出函数和的图象，并说明y1，y2的图象与函数的图象的关系11在同一坐标系中，画出函数y12x2，y22（x2）2与y32（x2）2的图象，并说明y2，y3的图象与y12x2的图象的关系综合、运用、诊断一、填空题12二次函数ya（xh）2k（a0）的

11、顶点坐标是_，对称轴是_，当x_时，y有最值_；当a0时，若x_时，y随x增大而减小13填表解析式开口方向顶点坐标对称轴y（x2）23y（x3）22y3（x2）2y3x2214抛物线有最_点，其坐标是_当x_时，y的最_值是_；当x_时，y随x增大而增大15将抛物线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，所得的抛物线的解析式为_二、选择题16一抛物线和抛物线y2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（1，3），则该抛物线的解析式为（ ）Ay2（x1）23By2（x1）23Cy（2x1）23Dy（2x1）2317要得到y2（x2）23的图象，需将抛物线y2x2作如下平移（ ）A向右平移2个单位，

12、再向上平移3个单位B向右平移2个单位，再向下平移3个单位C向左平移2个单位，再向上平移3个单位D向左平移2个单位，再向下平移3个单位三、解答题18将下列函数配成ya（xh）2k的形式，并求顶点坐标、对称轴及最值（1）yx26x10（2）y2x25x7（3）y3x22x（4）y3x26x2（5）y1005x2（6）y（x2）（2x1）拓展、探究、思考19把二次函数ya（xh）2k的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象（1）试确定a，h，k的值；（2）指出二次函数ya（xh）2k的开口方向、对称轴和顶点坐标26.3 二次函数yax2bxc及其图象知识要点1、任意一个二次函

13、数（其中、是常数，且），都可以运用配方法，把它的解析式化为的形式。2、通常先把二次函数的解析式化为的形式，再讨论它的图像特征及平移方法。学习要求掌握并灵活应用二次函数yax2bxc的性质及其图象课堂学习检测一、填空题1把二次函数yax2bxc（a0）配方成ya（xh）2k形式为_，顶点坐标是_，对称轴是直线_当x_时，y最值_；当a0时，x_时，y随x增大而减小；x_时，y随x增大而增大2抛物线y2x23x5的顶点坐标为_当x_时，y有最_值是_，与x轴的交点是_，与y轴的交点是_，当x_时，y随x增大而减小，当x_时，y随x增大而增大3抛物线y32xx2的顶点坐标是_，它与x轴的交点坐标是_

14、，与y轴的交点坐标是_4把二次函数yx24x5配方成ya（xh）2k的形式，得_，这个函数的图象有最_点，这个点的坐标为_5已知二次函数yx24x3，当x_时，函数y有最值_，当x_时，函数y随x的增大而增大，当x_时，y06抛物线yax2bxc与y32x2的形状完全相同，只是位置不同，则a_7抛物线y2x2先向_平移_个单位就得到抛物线y2（x3）2，再向_平移_个单位就得到抛物线y2（x3）24二、选择题8下列函数中y3x1；y4x23x；y52x2，是二次函数（ ）ABCD9抛物线y3x24的开口方向和顶点坐标分别是（ ）A向下，（0，4）B向下，（0，4）C向上，（0，4）D向上，（0

15、，4）10抛物线的顶点坐标是（ ）ABCD（1，0）11二次函数yax2x1的图象必过点（ ）A（0，a）B（1，a）C（1，a）D（0，a）三、解答题12已知二次函数y2x24x6（1）将其化成ya（xh）2k的形式；（2）写出开口方向，对称轴方程，顶点坐标；（3）求图象与两坐标轴的交点坐标；（4）画出函数图象；（5）说明其图象与抛物线y2x2的关系；（6）当x取何值时，y随x增大而减小；（7）当x取何值时，y0，y0，y0；（8）当x取何值时，函数y有最值?其最值是多少?（9）当y取何值时，4x0；（10）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积综合、运用、诊断一、填空题13已知抛物线y

16、ax2bxc（a0）（1）若抛物线的顶点是原点，则_；（2）若抛物线经过原点，则_；（3）若抛物线的顶点在y轴上，则_；（4）若抛物线的顶点在x轴上，则_14抛物线yax2bx必过_点15若二次函数ymx23x2mm2的图象经过原点，则m_，这个函数的解析式是_16若抛物线yx24xc的顶点在x轴上，则c的值是_17若二次函数yax24xa的最大值是3，则a_18函数yx24x3的图象的顶点及它和x轴的两个交点为顶点所构成的三角形面积为_平方单位19抛物线yax2bx（a0，b0）的图象经过第_象限二、选择题20函数yx2mx2（m0）的图象是（ ）21抛物线yax2bxc（a0）的图象如下图

17、所示，那么（ ）Aa0，b0，c0Ba0，b0，c0Ca0，b0，c0Da0，b0，c022已知二次函数yax2bxc的图象如右图所示，则（ ）Aa0，c0，b24ac0Ba0，c0，b24ac0Ca0，c0，b24ac0Da0，c0，b24ac023已知二次函数yax2bxc的图象如下图所示，则（ ）Ab0，c0，0Bb0，c0，0Cb0，c0，0Db0，c0，0 第23题图 第24题图24二次函数ymx22mx（3m）的图象如图所示，那么m的取值范围是（ ）Am0Bm3Cm0D0m325在同一坐标系内，函数ykx2和ykx2（k0）的图象大致如图（ ）26函数（ab0）的图象在下列四个示意

18、图中，可能正确的（ ）三、解答题27已知抛物线yx23kx2k4（1）k为何值时，抛物线关于y轴对称；（2）k为何值时，抛物线经过原点28画出的图象，并求：（1）顶点坐标与对称轴方程；（2）x取何值时，y随x增大而减小?x取何值时，y随x增大而增大?（3）当x为何值时，函数有最大值或最小值，其值是多少?（4）x取何值时，y0，y0，y0?（5）当y取何值时，2x2?拓展、探究、思考29已知函数y1ax2bxc（a0）和y2mxn的图象交于（2，5）点和（1，4）点，并且y1ax2bxc的图象与y轴交于点（0，3）（1）求函数y1和y2的解析式，并画出函数示意图；（2）x为何值时，y1y2；y1

19、y2；y1y230如图是二次函数yax2bxc的图象的一部分；图象过点A（3，0），对称轴为x1，给出四个结论：b24ac；2ab0；abc0；5ab其中正确的是_（填序号）26.4 二次函数yax2bxc解析式的确定知识要点1、抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是直线，顶点坐标是。当时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点；当时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点。2、当时，抛物线在对称轴左侧部分是下降的，在对称轴右侧部分是上升的。当时，抛物线在对称轴左侧部分是上升的，在对称轴右侧部分是下降的。学习要求能根据条件运用适当的方法确定二次函数解析式一、填空题1二次函数解析式通常有三种形式：

20、一般式_；顶点式_；双根式_（b24ac0）2若二次函数yx22xa21的图象经过点（1，0），则a的值为_3已知抛物线的对称轴为直线x2，与x轴的一个交点为则它与x轴的另一个交点为_二、解答题4二次函数yax2bxc（a0）的图象如图所示，求：（1）对称轴方程_；（2）函数解析式_；（3）当x_时，y随x增大而减小；（4）由图象回答：当y0时，x的取值范围_；当y0时，x_；当y0时，x的取值范围_5抛物线yax2bxc过（0，4），（1，3），（1，4）三点，求抛物线的解析式6抛物线yax2bxc过（3，0），（1，0）两点，与y轴的交点为（0，4），求抛物线的解析式7抛物线yax2bxc的顶点为（2，4），且过（1，2）点，求抛物线的解析式8二次函数yx2bxc的图象过点A（2，5），且当x2时，y3，求这个二次函数的解析式，并判断点B（0，3）是否在这个函数