河南省洛阳市2013届高三数学“一练”试题 理（含解析）新人教A版

1、2013年河南省洛阳市高三“一练”数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的1（5分）（2012洛阳模拟）设复数z=1i（i为虚数单位），z的共轭复数为=（）AB2CD1考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模专题：计算题分析：给出z=1i，则，代入整理后直接求模解答：解：由z=1i，则，所以=故选A点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，考查了学生的运算能力，此题是基础题2（5分）（2012洛阳模拟）已知集合，则满足条件ACB的集合C的个数为（）A1B2C4D8考点：集合的包含关系判断及

2、应用；其他不等式的解法专题：不等式的解法及应用分析：通过解分式不等式求出好A，无理不等式求出集合B，通过满足条件ACB的集合C的个数即可解答：解：=1，2=0，1，2，3，4，因为ACB，所以C中元素个数至少有1，2；至多为：0，1，2，3，4；所以集合C的个数为0，3，4子集的个数：23=8故选D点评：本题考查分式不等式与无理不等式的求法，集合的子集的求解，考查计算能力，转化思想3（5分）（2012洛阳模拟）如果函数y=3sin（2x）（0）的图象关于直线对称，则的最小值为（）ABCD考点：正弦函数的对称性专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：根据正弦函数图象对称轴方程的公式，建立关于的等

3、式，化简可得=+k（kZ），取k=1得=，即为正数的最小值解答：解：函数y=3sin（2x）的图象关于直线对称，当x=时，函数达到最大或最小值由此可得：2=+k（kZ）=+k（kZ），取k=1，得=因此，的最小值为故选：C点评：本题给出三角函数图象的一条对称轴方程，求参数的最小值，着重考查了三角函数和图象与性质和正弦函数图象的对称性等知识，属于基础题4（5分）（2013揭阳一模）如图，阅读程序框图，任意输入一次x（0x1）与y（0y1），则能输出数对（x，y）的概率为（）ABCD考点：几何概型专题：计算题分析：据程序框图得到事件“能输出数对（x，y）”满足的条件，求出所有基本事件构成的区域面积

4、；利用定积分求出事件A构成的区域面积，据几何概型求出事件的概率解答：解：是几何概型所有的基本事件=设能输出数对（x，y）为事件A，则A=S（）=1S（A）=01x2dx=故选A点评：本题考查程序框图与概率结合，由程序框图得到事件满足的条件、考查利用定积分求曲边图象的面积；利用几何概型概率公式求出事件的概率5（5分）（2012洛阳模拟）若函数为常数）在定义域内为奇函数，则k的值为（）A1B1C±1D0考点：函数奇偶性的判断专题：计算题；函数的性质及应用分析：由奇函数定义知f（x）=f（x）恒成立，进行化简整理即可求得k值解答：解：因为f（x）为定义域内的奇函数，所以f（x）=f（x），

5、即=，所以（2xk2x）（2x+k2x）=（2xk2x）（2x+k2x），所以2x2x+k22xk22xk22x2x=2x2xk22x+k22x+k22x2x，即1k2=1+k2，解得k=±1，故选C点评：本题考查函数的奇偶性，考查指数幂的运算法则，考查学生的运算能力，属中档题6（5分）（2012洛阳模拟）在ABC中，D为BC边上的点，的最大值为（）A1BCD考点：基本不等式专题：计算题分析：在ABC中，D为BC边的点，由D，B，C三点共线可知+=1，（、0），利用基本不等式即可求得的最大值解答：解：在ABC中，D为BC边的点，D，B，C三点共线且D在B，C之间，+=1，（0，0）=

6、（当且仅当=时取“=”）的最大值为故选D点评：本题考查基本不等式，求得+=1，（0，0）是关键，属于中档题7（5分）（2012洛阳模拟）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A64+32B64+64C256+64D256+128考点：由三视图求面积、体积专题：计算题分析：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体据此即可计算出解答：解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体该几何体的体积V=8×8×4+&

7、#215;42×4=256+64故选C点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键8（5分）（2012洛阳模拟）已知F是抛物线y2=4x的焦点，过点F1的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|=3|BF|，则线段AB的中点到该抛物线准线的距离为（）ABCD10考点：抛物线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出线段AB的中点到抛物线准线的距离解答：解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=1设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AF|=3|BF|，x1+1=3（x2

8、+1），x1=3x2+2|y1|=3|y2|，x1=9x2，x1=3，x2=线段AB的中点到该抛物线准线的距离为（x1+1）+（x2+1）=故选B点评：本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键9（5分）（2012洛阳模拟）函数的最大值为（）A2B3CD考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性专题：计算题分析：函数解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域，即可确定出f（x）的最大值解答：解：f（x）=1cos（+2x）cos2x=1+（sin2xco

9、s2x）=1+2sin（2x），x，2x，sin（2x）1，即21+2sin（2x）3，则f（x）的最大值为3故选B点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键10（5分）（2012洛阳模拟）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，AB=1，AC=2，BAC=60°，则球O的表面积为（）A4B12C16D64考点：球的体积和表面积专题：计算题；空间位置关系与距离分析：由三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，AB=1，AC=2，BAC=60°，知BC=，ABC=

10、90°故ABC截球O所得的圆O的半径r=1，由此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积解答：解：如图，三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC，AB=1，AC=2，BAC=60°，BC=，ABC=90°ABC截球O所得的圆O的半径r=1，球O的半径R=2，球O的表面积S=4R2=16故选C点评：本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，数形结合求出球半径，是解题时要关键11（5分）（2012洛阳模拟）已知的两个零点，则（）AB1x1x2eC1x1x210Dex1x210考点：函数的零点专题：函数的性质及应用分析：若的两个零点，则x1，x2是函数y

11、=ex和y=|lnx|的图象交点的横坐标，在同一个坐标系中，画函数y=ex和y=|lnx|的图象，利用对数函数的性质，可判断出x1x2的范围解答：解：若的两个零点，则x1，x2是函数y=ex和y=|lnx|的图象交点的横坐标在同一个坐标系中，画函数y=ex和y=|lnx|的图象如下图所示：由图可得即1ln（x1x2）1即又lnx1lnx2ln（x1x2）0x1x21综上故选A点评：本题考查的知识点是函数的零点，对数函数的图象和性质，其中画出函数的图象，并利用数形结合的办法进行解答是关键12（5分）（2012洛阳模拟）设F1，F2分别为双曲线的左右焦点，过F1引圆x2+y2=9的切线F1P交双曲

12、线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|MT|等于（）A4B3C2D1考点：两点间的距离公式；双曲线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由双曲线方程，算出c=5，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，并结合双曲线的定义可得|MO|MT|=4a=1，得到本题答案解答：解：MO是PF1F2的中位线，|MO|=|PF2|，|MT|=|PF1|F1T|，根据双曲线的方程得：a=3，b=4，c=5，|OF1|=5，PF1是圆x2+y2=9的切线，|OT|=3，RtOTF1中，|FT|=4，|MO|MT|=|=|PF2|（|PF1|F1T|）=|F1T|

13、（|PF1|PF2|）=4a=1故选：D点评：本题给出双曲线与圆的方程，求|MO|MT|的值，着重考查了双曲线的简单性质、三角形中位线定理和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题二、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13（5分）（2012洛阳模拟）设变量x，y满足约束条件：则目标函数z=2x+3y的最小值为7考点：简单线性规划专题：数形结合分析：先根据条件画出可行域，设z=2x+3y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+3y，过可行域内的点B（1，1）时的最小值，从而得到z最小值即可解答：解：设变量x、y满足约束条件 ，在坐标系中画出可行域ABC，A（

14、2，1），B（4，5），C（1，2），当直线过A（2，1）时，目标函数z=2x+3y的最小，最小值为7故答案为：7点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定14（5分）（2012洛阳模拟）曲线处的切线方程为x+y2=0考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题；导数的概念及应用分析：由y=，知，由此能求出曲线处的切线方程解答：解：y=，曲线处的切线方程的斜率k=y|x=0=1，曲线处的切线方程为y2=x，即x+y2=0故答案为：x+y2=0点评：本题考查曲线方程在某点处的切线方程的求法，解题时要认真审题，仔细

15、解答，注意导数的几何意义的灵活运用15（5分）（2012洛阳模拟）的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中x2的系数为160考点：二项式系数的性质专题：计算题；概率与统计分析：由的展开式中各项系数之和为729，知3n=729，解得n=6再由（2x+）6的通项公式为Tr+1=，能求出该展开式中x2的系数解答：解：的展开式中各项系数之和为729，令x=1，得3n=729，解得n=6（2x+）6的通项公式为Tr+1=，由6=2，得r=3该展开式中x2的系数为=8×=160故答案为：160点评：本题考查二项式系数的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用16（5

16、分）（2012洛阳模拟）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosB=acosC+ccosA，且b2=3ac，则角A的大小为或考点：正弦定理专题：解三角形分析：由条件利用正弦定理、诱导公式可得sin2B=sin（A+C），得B=60°，A+C=120°又b2=3ac，即sin2B=3sinAsinC，利用积化和差公式求得cos（AC）=0，得AC=±90°，由此可得A的大小解答：解：ABC中，2bcosB=acosC+ccosA，由正弦定理可得 2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA，sin2B=sin（A+C）得2B=A

17、+C （如果2B=180°（A+C），结合A+B+C=180°易得B=0°，不合题意）A+B+C=180°=3B，得B=60°，A+C=120°又b2=3ac，故 sin2B=3sinAsinC，=3sinAsinC=3×cos（AC）cos（A+C）=（cos（AC）+），解得 cos（AC）=0，故AC=±90°，结合A+C=120°，易得 A=，或A=故答案为A=，或A=点评：本题主要考查正弦定理、诱导公式、积化和差公式的应用，已知三角函数值求角的大小，属于中档题三、解答题：本大题共8小题

18、，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（12分）（2012洛阳模拟）设数列an满足：a1+2a2+3a3+nan=2n（nN*）（1）求数列an的通项公式；（2）设bn=n2an，求数列bn的前n项和Sn考点：数列递推式；数列的求和专题：计算题分析：（1）根据题意，可得a1+2a2+3a3+（n1）an1=2n1，两者相减，可得数列an的通项公式（2）根据题意，求出bn的通项公式，继而求出数列bn的前n项和Sn解答：解：（1）a1+2a2+3a3+nan=2n，n2时，a1+2a2+3a3+（n1）an1=2n1得nan=2n1，an=（n2），在中令n=1得a1=2，an=（

19、2）bn=则当n=1时，S1=2当n2时，Sn=2+2×2+3×22+n×2n1则2Sn=4+2×22+3×23+（n1）2n1+n2n相减得Sn=n2n（2+22+23+2n1）=（n1）2n+2（n2）又S1=2，符合Sn的形式，Sn=（n1）2n+2（nN*）点评：此题主要考查数列通项公式的求解和相关计算18（12分）（2012洛阳模拟）如图，在四棱锥PABCD中，平面PAB平面ABCD，ADBC，ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB的中点（1）证明：CD平面POC；（2）求二面角CPDO的余弦

20、值的大小考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用分析：（1）利用侧面PAB底面ABCD，可证PO底面ABCD，从而可证POCD，利用勾股定理，可证OCCD，从而利用线面垂直的判定，可得CD平面POC；（2）建立坐标系，确定平面OPD、平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角OPDC的余弦值；解答：证明：（1）PA=PB=，O为AB中点，POAB侧面PAB底面ABCD，PO侧面PAB，侧面PAB底面ABCD=AB，PO底面ABCDCD底面ABCD，POCD在RtOBC中，OC2=OB2+BC2=2在RtOAD

21、中，OD2=OA2+AD2=10在直角梯形ABCD中，CD2=AB2+（ADBC）2=8OC2+CD2=OD2，ODC是以OCD为直角的直角三角形，OCCDOC，OP是平面POC内的两条相交直线CD平面POC（6分）解：（2）如图建立空间直角坐标系Oxyz，则P（0，0，2），D（1，3，0），C（1，1，0）=（0，0，2），=（1，3，0），=（1，1，2），=（2，2，0）假设平面OPD的一个法向量为=（x，y，z），平面PCD的法向量为=（a，b，c），则由 可得，令x=3，得y=1，z=0，则=（3，1，0），由可得，令a=2，得b=2，c=，即 =（2，2，）cos，=故二面角OP

22、DC的余弦值为（12分）点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量方法解决空间角问题，正确运用线面垂直的判定是关键19（12分）（2012洛阳模拟）随着建设资源节约型、环境友好型社会的宣传与实践，低碳绿色的出行方式越来越受到追捧，全国各地兴起了建设公共自行车租赁系统的热潮，据不完全统计，已有北京、株洲、杭州、太原、苏州、深圳等城市建设成公共自行车租赁系统，某市公共自行车实行60分钟内免费租用，60分钟以上至120分钟（含），收取1元租车服务费，120分钟以上至180分钟（含），收取2元租车服务费，超过180分钟以上的时间，按每小时3元计费（不足一小时的按一小时计），租车费用实行分段合计现有甲

23、，乙两人相互独立到租车点租车上班（各租一车一次），设甲，乙不超过1小时还车的概率分别为小时以上且不超过2小时还车的概率分别为小时以上且不超过3小时还车的概率分别为，两人租车时间均不会超过4小时（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率（2）设甲一周内有四天（每天租车一次）均租车上班，X表示一周内租车费用不超过2元的次数，求X的分布列与数学期望考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差专题：计算题分析：（1）甲、乙两人租车费用相同包括0，1，3，6元，然后利用互斥事件的概率公式分别求出相应的概率，最后求和可求出所求；（2）X的取值可能为0，1，2，3，4，然后利用二项分布的概率公式

24、分别求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可解答：解：（1）甲、乙两人租车费用相同包括0，1，3，6元两人都付0元的概率为P1=×=两人都付1元的概率为P2=×=两人都付3元的概率为P3=×=两人都付6元的概率为P4=（1）×（1）=×=则甲，乙两人所付租车费用相同的概率为P=P1+P2+P3+P4=（2）依题意，甲某每天租车费用不超过2元的概率为P=+=则P（X=0）=××=，P（X=1）=P（X=2）=，P（X=3）=P（X=4）=X的分布列为 X 0 1 2 34 PX的数学期望为E（X）=1×

25、;+2×+3×+4×=3点评：本题主要考查了独立事件、互斥事件的概率，以及离散型随机变量的分布列和数学期望，同时考查了运算求解的能力，属于中档题20（12分）（2012洛阳模拟）在平面直角坐标系中xOy中，O为坐标原点，A（2，0），B（2，0），点P为动点，且直线AP与直线BP的斜率之积为（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点D（1，0）的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，MON的面积是否存在最大值？若存在，求出MON的面积的最大值及相应的直线方程；若不存在，请说明理由考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）设P点坐标为

26、（x，y）根据直线AP与直线BP的斜率之积为，代入斜率公式，整理可得动点P的轨迹C的方程；（2）设出交点M，N的坐标及直线l的方程为x=ny+1，联立方程根据韦达定理求出y1+y2，y1y2的值，根据弦长公式求出MN长，求出MON的面积的表达式，分析出对应函数的单调性，可得答案解答：解：设P点的坐标为（x，y）A（2，0），B（2，0），直线AP与直线BP的斜率之积为=（x±2）整理得P点的轨迹方程为（x±2）（2）设直线l的方程为x=ny+1联立方程x=ny+1与（x±2）得（3n2+4）y2+6ny9=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y

27、1y2=MON的面积S=|OP|y1y2|=令t=，则t1，且y=3t+在1，+）是单调递增当t=1时，y=3t+取最小值4此时S取最大值此时直线的方程为x=1点评：本题考查的知识点是轨迹方程，直线与圆锥曲线的关系，熟练掌握设而不求，联立方程，韦达定理，弦长公式等一系列处理直线与圆锥曲线关系的方法和技巧是解答的关键21（12分）（2012洛阳模拟）已知函数（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意的，求实数m的取值范围考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用专题：导数的综合应用分析：（1）当a=2时，求出f（x），在定义域内解不等式f（x）0，f（x）0

28、即可；（2）对任意的a（1，2），当x01，2时，都有f（x0）m（1a2），等价于f（x0）minm（1a2），用导数可求f（x0）min，构造函数g（a）=f（x0）minm（1a2）（1a2），问题转化为g（a）min0（1a2），分类讨论可求出m的取值范围解答：解：（1）当a=2时，f（x）=，定义域为（，+）f（x）=2x2+=2x2+=由f（x）0，得，或x；由f（x）0，得0x所以函数f（x）的单调递增区间为（，0），（，+），单调递减区间为（0，）（2）y=f（x）的定义域为（，+）f（x）=2xa+=2xa+=当1a2时，1=0，即，所以当1x2时，f（x）0，f（x）在1，

29、2上单调递增，所以f（x）在1，2上的最小值为f（1）=1a+ln（）依题意，对任意的a（1，2），当x01，2时，都有f（x0）m（1a2），即可转化为对任意的a（1，2），1a+ln（）m（1a2）0恒成立设g（a）=1a+ln（）m（1a2）（1a2）则g（a）=1+2ma=，当m0时，2ma（12m）0，且0，所以g（a）0，所以g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，则g（a）0，与g（a）0矛盾当m0时，g（a）=，若，则g（a）0，g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，g（a）0，与g（a）0矛盾；若12，则g（a）在（1，）上单调递减，在（，2）上单调递增，且

30、g（1）=0，g（a）g（1）=0，与g（a）0矛盾；若，则g（a）在（1，2）上单调递增，且g（1）=0，则恒有g（a）g（1）=0，所以，解得m，所以m的取值范围为，+）点评：本题考查综合运用导数求函数的单调区间、最值及函数恒成立问题，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，考查分类讨论思想的运用22（10分）（2012洛阳模拟）选修41：几何证明选讲如图，已知PE切O于点E，割线PBA交O于A，B两点，APE的平分线和AE，BE分别交于点C，D求证：（1）CE=DE；（2）考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的性质专题：选作题分析：（1）由弦切角定理是，及PC为APE的平分线，可证得

31、ECD=EDC，进而证得CE=DE（2）先由AA证明出PBCECD，进而证得PBCPEC，可由相似三角形对应边成比例得到结论解答：解：（1）PE切圆O于点EA=BEPPC平分APE，A+CPA=BEP+DPEECD=A+CPA，EDC=BEP+DPEECD=EDC，EC=ED（2）PDB=EDC，EDC=ECDPDB=PCEBPD=EPCPDBPEC=同理PDEPCA=DE=CE点评：本题考查的往右点是与圆相关的比例线段，相似三角形的性质，熟练掌握弦切角定理及相似三角形的判定及性质是解答的关键23（2012洛阳模拟）选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（1，0），其倾斜角为，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系设曲线C的极坐标方程为26cos+5=0（1）若直线l与曲线C有公共点，求的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围考点：直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程专题：计算题；直线与圆分析：（1）先根据极坐标与直角坐标互化的公式，算出曲线C的直角坐标方程，再结合直线l的参数方程：，联解得到关于参数t的二次方程，运用根的判别式列式并解之，即可得到角的取值