浅谈Sn的子群

1、浅谈Sn的子群第五组数2班摘要：本文首先引进对称群Sn的定义。并对其性质进行了讨论。利用置换特点求出Sn的生成元系，最后对Sn的所有子群进行了讨论。关键字： 对称群Sn 子群如果X是由n个元素组成的有限集合，则通常把X的一个可逆变换叫做一个n阶置换，称Sx为n次对称群，并把Sx记作Sn的子群为置换群。一、相关定理定理1 每一个有限群都同构于一个置换群。由于集合x的元素本身与我们所讨论的问题无关，所以不妨记 X=1,2,3,n以下，总假定X就代表这个集合。设为X的任意置换。如果把1映射成k1，2变为k2.则可以把这个置换记作= 1 2 3 n k1 k2 k3 kn其中第一行表示集合X的n个元素

2、，第二行表示元素表示映射后的所对应的象。由于集合X的元素的次序和映射无关，因此也可以把表示成= 2 1 3 n k1 k2 k3 kn 等，只要在 下俩行的元素上下对应就可以了。 观察上式可以发现。如果固定第一行元素的次序，则第二行就是1，2，3.n的一个排列，且每一个置换都对应了一个这样的排列。反之，每一个n阶排列也可以按上式得到唯一一个n阶置换。由于n个数共有n！个排列，所以n个元素的集合共有n！个n阶置换。这样就可以证明定理2。定理2 n次对称群Sn的阶为n！Cayley定理 设G是个n阶群，则G同构与Sn的一个子群。二、相关知识&1 证明Sn中每个置换均可写为某些对换的积。证

3、因Sn的每个置换均是某些循环置换的积，故只需证明循环置换(i1i2.ik)均是对换之积即可。又（1）：（i1）=（i1i2）(i1i2); (2): 对k1，（i1i2.ik）=(i1i2)(i1i3).（i1ik）所以结论成立。&2 证明Sn=<(12),(13),(1n)> 证：因i，j>1时，（ij）=(1i) (ij)（1i）所以由1可知。Sn=<(12),(13),(1n)>即Sn=<(12),(13),(1n)> =<(12)k1,(13)k2,(1n)kn-1,kiN0,i=1,2,n也就是说(12),(13),(1n)为S

4、n的生成元。&3 命题 在Sn中，k循环p生成的子群的 < p >= i, p, pk-1 .证 pk = i,而当i< k时，p i i ,故元素 i, p , ,p k-1 两两不同，而对其中任意一个元素之任意方幂 （p i ）j ,0ik-1.用k除ij可得 ij = qk + r ,0rk,即I , p , ,pk-1其中一个。所以命题成立。其中k循环p是指p为长度为r的轮换。P=(123r).&4 在对称群S3中，令p1= 1 2 3 p2 = 1 2 3 p3= 1 2 3 1 2 3 2 1 3 3 2 1 p4= 1 2 3 p5 = 1 2

5、3 p6= 1 2 3 1 3 2 2 3 1 3 1 2那么S3 的乘法表是。p1p2p3p4p5p6p1p1p2p3p4p5p6p2p2p1p6p5p4p3p3p3p5p1p6p2p4p4p4p6p5p1p3p2p5p5p3p4p2p6p1p6p6p4p2p3p1p5所以S3的子群为：首先是p1和S3自己，其次是p1 , p2 . p1 ,p3 .p1 .p4 .因为p22=p1 , p32=p1 , p42=p1所以< p2 >= p1,p2 ，< p3 >= p1,p3 ，< p4 >= p1,p4 再次是 p1,p5,p6 ，因为p5*p6 = p

6、6*p5= p1,p52=p6 ,p62=p5 . 即 p1,p5,p6 = p1,p6,p62 = p1,p5,p52 .三、讨论对称群Sn的子群在对称群Sn 中，有n!个元素。 且 p1= 1 2 3 n 1 2 3 n Sn的子群可表示为：首先是 p1 和Sn自己，设p为Sn的r阶元，则 ord ( p ) = r .所以< p >= p1 , p , pr-1 为Sn的子群。又Sn= (12) , (13) , ,(1n) = (12)k1 ，(13)k2 , (1n)k n-1|kiN0,i=1,2,n-1所以综上所述，对称群Sn的所有子群为 p 1,Sn, < (

7、12),k1 (13)k2 , (1n)K n-1>（ kiN0,i=1,2,n-1）。 参考文献：【1】 韩世安 林 磊 . 近世代数.北京：科学出版社，2009【2】 徐常青 徐光辉 . 近世代数.合肥：合肥工业大学出版社，2007【3】 刘木兰 冯克勤 . 群 论.北京：国防工业出版社，1992【4】 牛凤文 . 抽象代数.武汉：武汉大学出版社，2008【5】 刘 恒 钱吉林 . 代数学词典.武汉：华中师范大学出版社，1996English Abstract：This paper first introduces the definition of symmetry groups Sn， And discusses its properties . U