工程矩阵试卷

1、*（12%）在中，已知， 分别求，及的基.*（8%）设为线性空间上的线性变换，且. 试证：；*（16%）在上已知线性变换， 求在基下的矩阵；并求的Jordan标准形.* 已知的特征多项式与最小多项式都是，分别求及的Jordan标准形.*（8%）设为欧氏空间（未必是有限维的）上两正交的单位向量，作线性变换：， 求使为正交变换的实数与之一切值. *（8%）已知阶方阵满足，且的秩是，求.*（10%）设为方阵，作，设是参数.试证：； 已知，求.*（10%）设为矩阵，为矩阵，作.求（用表示）；试证：.*（10%）试证：若为阶正规矩阵，则*（18%）证明下列命题：若方阵的特征值全为零，则必存在正整数，使.

2、设是阶正定矩阵，是维非零列向量. 若当时，总有 ，则必线性无关.若阶方阵与满足：. ； . ； . 则（证明时请注明每一步的理由）.*（16%）已知矩阵，的子集，证明：是的子空间；求的一组基及的维数；证明：，并求在上小题所得基下的坐标。*（20%）已知的子空间， 分别求，的一组基及它们的维数。*（12%）已知矩阵，求。 *（16%）设上的线性变换定义为：， 求在的基下的矩阵；求的值域及核子空间的基及它们的维数。*（12%）已知矩阵的特征多项式及最小多项式相等，均等于，矩阵。分别求和的Jordan标准形；问：与是否相似？为什么？*（10%）已知矩阵，证明：的谱半径。*（16%）已知矩阵。求矩阵函

3、数；求的广义逆矩阵。*（12%）设是维欧氏空间，是单位向量，是一参数，上的线性变换 定义为：， 问：当取何值时，是正交变换？*（6%）证明：对任意方阵，（这里，表示矩阵的行列式，表示矩阵的迹）。*（20%）设上的线性变换定义为：， 其中，表示矩阵的迹。求在的基下的矩阵；求的值域及核子空间的基及它们的维数；问：+是否为直和？为什么？*（18%）已知矩阵的特征多项式及最小多项式相等，均等于，矩阵。分别求和的Jordan标准形；问：与是否相似？为什么？*（12%）已知矩阵，求的广义逆矩阵。*（12%）已知矩阵，求矩阵函数。*（6%）证明：对任意方阵，（这里，表示矩阵的行列式，表示矩阵的迹）。假设是正

4、规矩阵。若的特征值全是实数，证明：是Hermite矩阵。*（20%）已知矩阵，的子集证明：是的子空间；求的一组基及的维数；证明，并求在上小题所得基下的坐标；*（12%）已知阶方阵满足，且的秩为，求；证明：若方阵的特征值全为零，则必存在正整数，使。*（12%）已知矩阵的特征多项式及最小多项式相等，均等于，矩阵。分别给出和的Jordan标准形；问：与是否相似？为什么？*（18%）已知矩阵。求矩阵函数；求的广义逆矩阵。*（20%）已知矩阵，的子集V证明：是的子空间； 求的一组基及的维数；证明，并求在所得基下的坐标； 问：是否属于？为什么？*（12%）已知矩阵的特征多项式及最小多项式相等，均等于，矩阵

5、。分别写出和的Jordan标准形； 问：与是否相似？为什么？ *（12%）已知阶方阵满足，且的秩为，求；证明：若方阵的特征值全为零，则必存在正整数，使。 *（18%）已知矩阵。求矩阵函数；求的广义逆矩阵。*（10%）设是维欧氏空间，是单位向量，是参数，上的线性变换 定义为：， 问：当取何值时，是正交变换？*（10%）（任选两题）设是相容矩阵范数。证明：对任意方阵，的谱半径；对任意方阵，问：与的特征值之间有什么关系；证明：对任意方阵，（这里，表示矩阵的行列式，表示矩阵的迹）；假设是正规矩阵。若的特征值全是实数，证明：是Hermite矩阵。*（20%）已知矩阵，的子集证明：是的子空间；求的一组基及

6、的维数；证明，并求在上小题所得基下的坐标；*（12%）已知阶方阵满足，且的秩为，求；证明：若方阵的特征值全为零，则必存在正整数，使。*（12%）已知矩阵的特征多项式及最小多项式相等，均等于，矩阵。分别给出和的Jordan标准形；问：与是否相似？为什么？*（18%）已知矩阵。求矩阵函数；*（10%）设是维欧氏空间，是单位向量，是参数，上的线性变换 定义为：， 问：当取何值时，是正交变换？*（10%）（任选两题）设是相容矩阵范数。证明：对任意方阵，的谱半径；证明：对任意方阵，（这里，表示矩阵的行列式，表示矩阵的迹）；假设是正规矩阵。若的特征值全是实数，证明：是Hermite矩阵。*（20%）已知的

7、子空间， 分别求，的一组基及它们的维数。*（20%）设上的线性变换定义为：， 求在的基下的矩阵；求的值域及核子空间的基及它们的维数；问：+是否为直和？为什么？*（18%）已知矩阵的特征多项式及最小多项式相等，均等于，矩阵。分别求和的Jordan标准形；问：与是否相似？为什么？*（12%）已知矩阵，求的广义逆矩阵。*（12%）已知矩阵，求矩阵函数。*（6%）证明：对任意方阵，（这里，表示矩阵的行列式，表示矩阵的迹）。*假设矩阵。上的变换定义为。证明是上的线性变换；求在的基下的矩阵；求的值域及核子空间的基和它们的维数。*设是酉空间的一组标准正交基，是上的线性变换，且， ， 问：是否为上的酉变换？为

8、什么？是否存在的一组标准正交基，使得的矩阵是对角阵？为什么？*求矩阵的广义逆矩阵。*设，求矩阵函数及的特征多项式。*已知矩阵。试写出矩阵的特征多项式，最小多项式，及矩阵的秩；如果矩阵与有相同的特征多项式，有相同最小多项式，并且与的秩也相同，问：与是否一定相似？说明你的理由。*已知线性空间上的线性变换满足。记， 证明：。*设。记。证明：是的子空间；若，求这时第一小题中的一组基；*设和如第二小题，。试判断是否属于，并说明你的理由。如在中，试求其在第二小题所得的基下的坐标。*设的子空间，则的一组基为 ；*线性变换在基下矩阵为，则在基下的矩阵为 ；* 从到的线性映射定义为：，则值域的一组基为 ，核空间

9、的一组基为 ；* 作为酉空间的子空间，齐次线性方程组的解空间的正交补空间的一组标准正交基为 ；*已知，作，则= ，= ；* 设，则。*（8%）设满足且，求。*（10%）已知的子空间，其中，。分别求，的基。*（10%）已知上的线性变换，。求在基下的矩阵；求的特征值及相应的特征子空间的基。*（8%）已知矩阵的最小多项式为，为复数。试将表示成的次数不超过2的多项式。*（10%）设，且。试证：，且是偶数；求的矩阵的Jordan标准形。*（9%）设，求；设，。求的Jordan标准形。* 证明下列命题：若内积空间中向量与的长度相等，且与正交，则是零向量；若是正规矩阵，则是酉矩阵的充要条件是的特征值的模全为

10、1；若阶Hermite矩阵为正定阵，又是阶方阵且也是正定阵，则的谱半径。*（15%）设。记。证明：是的子空间；若，求这时第一小题中的一组基；设和如第二小题，试判断是否在中,并说明你的理由。如在中，试求其在第二小题所得的基下的坐标。*（8%）设矩阵的Frobenius范数和算子2-范数分别为 ，矩阵。试求的Frobenius范数及其算子2-范数。*（18%）设矩阵定义上的变换为：对任意，。证明：是上的线性变换；求在的基下的矩阵；求的核子空间及值域的各一组基；问：+是否为直和？为什么？*（15%）已知矩阵。试写出矩阵的特征多项式，最小多项式，及矩阵的秩；如果矩阵与有相同的特征多项式，有相同最小多项

11、式，并且与的秩也相同，问：与是否一定相似？说明你的理由。*（12%）设矩阵。试求的广义逆矩阵。*（12%）设矩阵。试求。* (8%)设二阶方阵，证明矩阵的行列式与无关。*（15%）已知矩阵，的子集证明：是的子空间； 求的一组基及的维数；证明，并求在上小题所得基下的坐标； 找出的一组基，使得每个基向量均不属于。* (15%)已知矩阵。判断下列矩阵是否与相似，并说明你的理由：*（20%）设矩阵上的变换定义如下：， 其中。求在的基下的矩阵；求的值域及核子空间的基及它们的维数；试求的Jordan标准形，并写出的最小多项式；问：能否找到的基，使得的矩阵为对角阵？为什么？* (14%)求下列矩阵的广义逆矩

12、阵：；，其中分别是s维和n维行向量。* (16%)设，求矩阵函数，并给出的特征多项式。* (10%)设的子空间，其中，求使得。*（10%）（在下述三题中任选两题）证明：若正定矩阵满足，则。设Hermite矩阵均是正定的，。证明：是正定矩阵。假设是n阶方阵，n>1，且。证明：与肯定不相似。*（15%）已知矩阵，的子集证明：是的子空间； 求的一组基及的维数；证明，并求在上小题所得基下的坐标； 试给出的两个不同的子空间及，使得。* (15%)已知矩阵。判断下列矩阵是否与相似，并说明你的理由：*（20%）设矩阵,上的变换定义如下：， 证明：是线性变换；求在的基下的矩阵；求的值域及核子空间的基及它

13、们的维数；试求的Jordan标准形，并写出的最小多项式；问：能否找到的基，使得的矩阵为对角阵？为什么？* (14%)求下列矩阵的广义逆矩阵：；，其中。*（10%）证明：若酉矩阵满足，则。设Hermite矩阵均是正定的，证明：的特征值均为正实数。*(16%)设，求矩阵函数，并给出的特征多项式。* (10%)设的子空间，求使得。*（20%）已知，的子集，的子空间证明：是的子空间；分别求，基及它们的维数；分别求，的基及它们的维数；问：是直和吗？为什么？*填空. （每题2分）。设A=(aij) s×n 为常量矩阵, X=(xij) n×s , 则(trXA)= _设n阶Hermit

14、e 阵A的特征值为12 n , 用Rayleigh商表示，我们有：k= _设A=. 则A的盖尔圆系中的2区为 ：_设V1，V2 是线性空间V的两个有限维子空间，由维数定理，我们有：dim(V1+V2)= _*（15分）设A=， 求 A+ .*（10分）设A=, 求A100 - 4A25.*（15分）设A= , 求变换矩阵P 使P-1AP=J, 这里J表示Jordan标准形.求 eAt .*（5分）设 A=(aij)n×nCn×n , 对任意一类相容的矩阵范数 | | ，都有 （A）|A|.* （5分）已知线性变换f与g满足 f2=f, g2=g . 试证 f与g有相同的核的

15、充分必要条件是fg=f, gf=g.*（8分）设f Hom（V， V）， dimV=n,且f 2=I, 证明 f 的矩阵必相似于 （0rn）.*（12分）设AC s×n , 证明： R(A) =K(AH)；K(AH)=K(AAH).*（5分）证明上三角的正规阵必是对角阵.* (5分) 设V是一个线性空间,f 是V上的一个线性变换.证明f的值域R(f)和核K(f)都是f的不变子空间.*（20%）已知上的线性变换定义如下：，。求在的基下的矩阵；试求的Jordan标准形，并写出的最小多项式；问：能否找到的基，使得的矩阵为对角阵？为什么？*（15%）已知矩阵。试写出矩阵的特征多项式，最小多项

16、式，及矩阵的秩；如果矩阵与有相同的特征多项式，有相同最小多项式，并且与的秩也相同，问：与是否一定相似？说明你的理由。*（12%）已知矩阵，求的广义逆矩阵。*（12%）设。试将表成的次数不超过2的多项式；求的特征多项式。*（12%）设的子空间，求使得。*（9%）假设是正规矩阵，证明：是酉矩阵当且仅当的特征值的*已知矩阵，的子空间,的子集， 证明：是的子空间；求子空间、的各一组基及它们的维数；求及的各一组基及它们的维数；问：是不是直和？为什么？*已知矩阵，的子集证明：是的子空间；求的一组基及的维数；证明，并求在上小题所得基下的坐标；试给出的两个不同的子空间及，使得。*假设3维线性空间上的线性变换在

17、的基下的矩阵为。问：当满足什么条件时，存在的一组基，使得的矩阵是？*已知上的线性变换，。证明：是线性变换；求在的基下的矩阵试求的Jordan标准形，并写出的最小多项式；问：能否找到的基，使得的矩阵为对角阵？为什么？*已知矩阵。判断下列矩阵是否与相似，并说明你的理由：*求矩阵的广义逆矩阵。*设。求矩阵函数；写出的特征多项式。*已知矩阵与相似，问：数应满足什么条件？*设，求。*证明题：假设是正规矩阵。证明：若，则；假设是欧几里德空间中单位向量，上的线性变换定义如下：对任意，。证明：是上的正交变换。*设是阶正规矩阵，是的特征值。记是的共轭转置。证明：矩阵及的特征值为。*问：下述命题是否成立？若成立，

18、请给出简单证明；若不成立，请举出反例。线性空间的子空间的和是直和的充分必要条件是：对任意的，只含零向量。对任意矩阵，一定相似于对角阵。其中，是的广义逆矩阵。*已知，的子空间， 。分别求，的基及它们的维数。*已知上的线性变换，。*设矩阵,上的变换定义如下：， 证明：是线性变换；求在的基下的矩阵；V求的值域及核子空间的基及它们的维数；试求的Jordan标准形，并写出的最小多项式；问：能否找到的基，使得的矩阵为对角阵？为什么？*求下列矩阵的广义逆矩阵：；，其中。*已知矩阵的特征多项式与最小多项式相等，均为，给出、及可能的Jordan标准形。*矩阵函数：设，求矩阵函数，并给出的特征多项式。设。试将表示

19、成关于的次数不超过2的多项式，并求。*设的子空间，求使得。* 证明：若酉矩阵满足，则。* 设Hermite矩阵均是正定的，证明：的特征值均为正实数。求在基下的矩阵。求的特征值及相应的特征子空间的基。求的最小多项式。问：是否存在的基，使得的矩阵为对角阵？为什么？*假设3维线性空间上的线性变换在的基下的矩阵为。问：当满足什么条件时，存在的一组基，使得的矩阵是？*设。试将表示成关于的次数不超过2的多项式，并求。*求矩阵的广义逆矩阵。*设是欧几里德空间的一组标准正交基。证明：与的长度相等。求一个正交变换使得。*设是阶正规矩阵，是的特征值。记是的共轭转置。证明：矩阵及的特征值为。*（20%）假设的子空间

20、， 分别求的基及其维数。*（12%）设矩阵。试将表示成的次数不超过2的多项式。*（20%）上的线性变换：，求在的基下的矩阵；求的值域及核子空间的各一组基及它们的维数；问：是否成立？为什么？*（15%）假设矩阵，求的广义逆矩阵。*（15%）设矩阵，。试求矩阵及的所有可能的Jordan标准形；若与是相似的，问：参数应满足什么条件？试说明你的理由。*（10%）假设的子空间，。在中求向量，使得。*（8%）证明题假设是正规矩阵，证明：是酉矩阵当且仅当的特征值的模均为1。设阶方阵，满足，。若与的秩相等，证明：与一定相似。*（20%）假设。记。证明：是的子空间。若是可逆矩阵，求。若，。求这时和的各一组基及它

21、们的维数。问：对上一小题中的和，是否为直和？说明你的理由。*假设，上线性变换： ，。证明：是上的线性变换。求在的基下的矩阵；试求的Jordan标准形，并写出的最小多项式；问：能否找到的基，使得的矩阵为对角阵？为什么？求的值域及核子空间的基及它们的维数；问：是否有？试说明你的理由。* (10%)设的子空间，求使得。* (10%)假设是实数，在上定义线性变换如下：对任意，问：满足什么条件时，是等踞变换（即正交变换）？*（14%）已知矩阵。试求。*（14%）设。求矩阵的最小多项式、矩阵函数以及的特征多项式。*12%）已知矩阵的特征多项式为。若的秩，试求的可能的Jordan标准形及相应的最小多项式；如

22、果的最小多项式等于，试求矩阵、及的秩。*（12%）已知矩阵，求的广义逆矩阵。*（12%）已知矩阵，求的广义逆矩阵。*（8%）假设Hermite矩阵是正定的，若是酉矩阵，证明。*假设。记。证明：是的子空间。若是可逆矩阵，求。若，。求这时和的各一组基及它们的维数。问：对上一小题中的和，是否为直和？说明你的理由。*（20%）假设，上变换如下： ，。证明：是上的线性变换。求在的基下的矩阵；求的值域及核子空间的基及它们的维数；* (10%)假设是实数，在上定义线性变换如下：对任意，问：满足什么条件时，是等距变换（即正交变换）？*（14%）设。试求矩阵的最小多项式、矩阵函数。*（12%）已知矩阵的特征多项

23、式为。若的秩，试求的可能的Jordan标准形及相应的最小多项式；如果的最小多项式等于，试求矩阵、及的秩。*（12%）已知矩阵，求的广义逆矩阵。* 设是正规矩阵。证明：若，则；* 假设Hermite矩阵是正定的，若是酉矩阵，证明。*（20%）假设。记。证明：是的子空间。若是单位矩阵，求。若，。求这时的一组基及其维数。假设。问：对上一小题中的和，是否为直和？说明你的理由。*（20%）假设，在上定义变换如下： ， 。证明：是上的线性变换。求在的基下的矩阵；试求的Jordan标准形，并写出的最小多项式；问：能否找到的基，使得的矩阵为对角阵？为什么？* (10%)设的子空间，求使得。*（14%）已知矩阵

24、。试求。*（12%）已知矩阵的特征多项式及最小多项式都等于，并且矩阵。分别求和的Jordan标准形；问：与是否相似？为什么？*（12%）已知矩阵，求的广义逆矩阵。*（6%）判断下列结论是否成立。若成立，请给予证明；若不成立，请举出反例：两个Hermite矩阵的乘积还是Hermite矩阵；两个酉矩阵的乘积还是酉矩阵。*（6%）假设是欧几里德空间中单位向量，上的线性变换定义如下：对任意，。证明：是上的正交变换。*（20%）假设。记。证明：是的子空间。若是单位矩阵，求。若，。求这时的一组基及其维数。假设。问：对上一小题中的和，是否为直和？说明你的理由。*（20%）假设，在上定义变换如下： ， 。证明

25、：是上的线性变换。求在的基下的矩阵；试求的Jordan标准形，并写出的最小多项式；问：能否找到的基，使得的矩阵为对角阵？为什么？* (10%)设的子空间，求使得。*（14%）设，求及矩阵函数。*（%）已知矩阵的特征多项式及最小多项式都等于，并且矩阵。分别给出和的Jordan标准形；问：与是否相似？为什么？*（12%）已知矩阵，求的广义逆矩阵。* 假设是欧几里德空间中单位向量，上的线性变换定义如下：对任意，。证明：是上的正交变换。* 假设是酉矩阵, 是Hermite矩阵，并且。记。证明：存在酉矩阵，使得是对角阵。*（20%）假设。记。证明：是的子空间。若是单位矩阵，求。V若，。求这时的一组基及其

26、维数。假设。问：对上一小题中的和，是否为直和？说明你的理由。*（20%）假设，在上定义变换如下： ， 。证明：是上的线性变换。求在的基下的矩阵；试求的Jordan标准形，并写出的最小多项式；问：能否找到的基，使得的矩阵为对角阵？为什么？* (10%)设的子空间，求使得。*（14%）设，求及矩阵函数。*（14%）已知矩阵的特征多项式及最小多项式都等于，并且矩阵。分别给出和的Jordan标准形；问：与是否相似？为什么？*（12%）已知矩阵，求的广义逆矩阵。* 假设是欧几里德空间中单位向量，上的线性变换定义如下：对任意，。证明：是上的正交变换。* 假设是酉矩阵, 是Hermite矩阵，并且。记。证明

27、：存在酉矩阵，使得是对角阵。* 假设的子空间，分别求的基及它们的维数。*假设，在上定义变换如下： ， 。证明：是上的线性变换。求在的基下的矩阵；试求的值域及核空间的基及它们的维数；问：是不是直和？为什么？*设的子空间，求的一组标准正交基。 *假设为欧氏空间，为实数，是单位向量。上的线性变换定义如下：问：当参数取什么值时，是上的正交变换？*假设矩阵的特征多项式及最小多项式都等于，并且。分别给出和的Jordan标准形；问：与是否相似？为什么？*已知矩阵，求。*已知矩阵，求的广义逆矩阵。* 假设是酉矩阵,是矩阵。证明：是酉矩阵当且仅当是酉矩阵。* 假设、都是Hermite矩阵。证明是Hermite矩

28、阵当且仅当。* 假设的子空间，分别求的基及它们的维数。* 假设，在上定义变换如下： ， 。证明：是上的线性变换。求在的基下的矩阵；试求的值域及核空间的基及它们的维数；问：是不是直和？为什么？* 设的子空间，求的一组标准正交基。 * 假设为欧氏空间，为实数，是单位向量。上的线性变换定义如下：问：当参数取什么值时，是上的正交变换？* 假设矩阵的特征多项式及最小多项式都等于，并且。分别给出和的Jordan标准形；问：与是否相似？为什么？* 已知矩阵，求。* 已知矩阵，求的广义逆矩阵。* 假设是酉矩阵,是矩阵。证明：是酉矩阵当且仅当是酉矩阵。* 假设、都是Hermite矩阵。证明是Hermite矩阵当

29、且仅当。*（20%）假设的子空间：，分别求的基及它们的维数。*（20%）假设，在上定义变换如下： ， 。证明：是上的线性变换。求在的基下的矩阵；假设，写出在上述基下的坐标，求，并写出在上述基下的坐标；假设，问：满足什么条件时？试给出的核空间的一组基。* (10%)假设是欧几里德空间中单位向量，上的映射定义如下：对任意，。证明：是上的线性变换；问：当参数取什么值的时候，是上的正交变换？说明你的理由。*（14%）设。求；将矩阵函数写成关于的多项式。*（%）已知矩阵的特征多项式,的最小多项式。写出的所有可能的Jordan标准形；如果已知矩阵的秩为,写出的所有可能的Jordan标准形；假设矩阵,问:与

30、是否相似？为什么？*（12%）已知矩阵，求的广义逆矩阵。*（%）判断下列结论是否成立。若成立，请给予证明；若不成立，请举出反例：两个Hermite矩阵的乘积还是Hermite矩阵；两个酉矩阵的乘积还是酉矩阵。*（20%）假设，的子空间：， 分别求的基及它们的维数。*（20%）定义上的线性变换如下：， 求在的基下的矩阵；假设，问：满足什么条件时？求的核空间的一组基及其维数；求的值域的一组基及其维数；问：是否有？为什么？* (10%)假设是维欧几里德空间中的单位向量，上的映射定义如下：对任意，。证明：是上的线性变换；问：当参数取什么值的时候，是上的正交变换？说明你的理由。*（14%）设。求的特征多

31、项式、最小多项式及的Jordan标准形；求；将矩阵函数写成关于的多项式。*（14%）已知矩阵的特征多项式,的最小多项式。问：是几阶矩阵？请写出的所有可能的Jordan标准形；如果矩阵的秩为,写出的Jordan标准形；如果矩阵的秩为,矩阵,问:与是否相似？为什么？*（12%）已知矩阵，求的广义逆矩阵。* 若是阶正规阵，是阶酉矩阵，证明：矩阵也是正规矩阵。* 假设阶方阵满足，且是Hermite矩阵。证明：（请注明每一步的理由）。*（20%）假设的子空间：， 分别求的基及它们的维数。*（20%）假设，在上定义变换如下：， 证明：是上的线性变换；求在的基下的矩阵；假设，分别写出及在上述基下的坐标列向量

32、，并问：之间有什么关系？假设，问：满足什么条件时？求的核空间的一组基，问：的值域的维数是多少？* (10%)设是齐次线性方程组的解空间，求使得。*（14%）设。求的特征多项式、最小多项式及的Jordan标准形；求；将矩阵函数写成关于的多项式。*（14%）已知矩阵的特征多项式,的最小多项式。写出的所有可能的Jordan标准形；如果矩阵的秩为,写出的Jordan标准形；如果矩阵的秩为，矩阵，问:与是否相似？为什么？*（12%）已知矩阵，求的广义逆矩阵。*（%）证明题：假设阶Hermite矩阵是正定阵，是阶可逆矩阵。证明：矩阵也是正定矩阵。若阶上三角矩阵是正规阵，证明一定是对角阵。*（20%）假设矩

33、阵，。证明是的子空间，并求的基和维数；假设的子空间，求的基和维数；求的基和维数。*（12%）设。求的特征多项式和最小多项式，并求。*（20%）假设矩阵，在上定义映射如下：对任意，证明：是上的线性变换；求在的基下的矩阵；求的值域及核子空间的各一组基及它们的维数；问：是否成立？为什么？*（15%）假设矩阵，求的广义逆矩阵。*（15%）设矩阵，。求矩阵的Jordan标准形；若与是相似的，问：参数应满足什么条件？试说明你的理由。*（10%）假设，的由生成的子空间，。在中求向量，使得。* 假设是正规矩阵，是酉矩阵。证明：也是正规矩阵。* 证明：对于任意矩阵,。其中, 是的算子2范数, 是的Frobeni

34、us范数。 *（20%）假设。记。证明：是的子空间。若，求这时的一组基及其维数。若，记。求的一组基及其维数。是否为直和？说明你的理由。*（15%）假设，在上映射如下：，。证明：是上的线性变换。求在的基下的矩阵；分别求的值域及核空间的基及其维数；*的子空间，求使得。*（15%）设，求的特征多项式、最小多项式，并求矩阵函数。*（5%）已知矩阵的特征多项式及最小多项式都等于，并且矩阵。分别给出和的Jordan标准形；问：与是否相似？为什么？*（15%）已知矩阵，求的广义逆矩阵。*（8%）证明题：假设是欧几里德空间中单位向量，上的线性变换定义如下：对任意，。证明：是上的正交变换。假设是酉矩阵, 是He

35、rmite矩阵，并且。记。证明：存在酉矩阵，使得是对角阵。*（20%）假设矩阵， 证明是的子空间，并求的基和维数；假设的子空间，求的基和维数；求的基和维数。*（12%）设。试将表示成关于的次数不超过2的多项式。*（20%）假设矩阵，在上定义映射如下：对任意， 证明：是上的线性变换；求在的基下的矩阵；求的值域及核子空间的各一组基及它们的维数；问：是否成立？为什么？*（15%）假设矩阵，求的广义逆矩阵。*（15%）设矩阵，。讨论矩阵及的Jordan标准形；若与是相似的，问：参数应满足什么条件？试说明你的理由。*（10%）假设，的由生成的子空间，。在中求向量，使得。*（8%）证明题假设矩阵的算子2范

36、数为，证明：矩阵的算子2范数为。设，且。证明：是正定矩阵。*（20%）假设。记。证明：是的子空间。若，求这时的一组基及其维数。若，记。求的一组基及其维数。是否为直和？说明你的理由。*（15%）假设，在上映射如下：，。证明：是上的线性变换。求在的基下的矩阵；分别求的值域及核空间的基及其维数；* (12%)设的子空间，求使得。*（15%）设，求的特征多项式、最小多项式，并求矩阵函数。*（5%）已知矩阵的特征多项式及最小多项式都等于，并且矩阵。分别给出和的Jordan标准形；问：与是否相似？为什么？*（15%）已知矩阵，求的广义逆矩阵。*（8%）证明题：假设是欧几里德空间中单位向量，上的线性变换定义

37、如下：对任意，。证明：是上的正交变换。假设是酉矩阵, 是Hermite矩阵，并且。记。证明：存在酉矩阵，使得是对角阵。*（20%）假设矩阵，。证明是的子空间，并求的基和维数；假设的子空间，求的基和维数；求的基和维数。*（12%）设。求的特征多项式和最小多项式，并将表示成关于的次数不超过2的多项式。*（20%）假设矩阵，在上定义映射如下：对任意，证明：是上的线性变换；求在的基下的矩阵；求的值域及核子空间的各一组基及它们的维数；问：是否成立？为什么？*（15%）假设矩阵，求的广义逆矩阵。*（15%）设矩阵，。讨论矩阵及的Jordan标准形；若与是相似的，问：参数应满足什么条件？试说明你的理由。*（

38、10%）假设，的由生成的子空间，。在中求向量，使得。*（8%）证明题假设是正规矩阵，的算子2范数。证明：矩阵的算子2范数。设列向量，且。证明：是正定矩阵。*（20%）假设矩阵， 证明：是的子空间；假设的子空间，分别求的基和维数。*（12%）设矩阵。试将表示成的次数不超过2的多项式。*（20%）假设矩阵，在上定义映射如下：对任意， 证明：是上的线性变换；求在的基下的矩阵；求的值域及核子空间的各一组基及它们的维数；问：是否成立？为什么？*（15%）假设矩阵，求的广义逆矩阵。*（15%）设矩阵，。试求矩阵及的所有可能的Jordan标准形；若与是相似的，问：参数应满足什么条件？试说明你的理由。*（10

39、%）假设，的由生成的子空间，。在中求向量，使得。*（8%）证明题设是正规阵，证明为Hermite阵的充分必要条件是的特征值全为实数。设，且。证明：是正定矩阵。*（20%）假设矩阵， 证明：是的子空间；假设的子空间，分别求的基和维数。*（12%）设矩阵。试将表示成的次数不超过2的多项式。*（20%）假设矩阵，在上定义映射如下：对任意， 证明：是上的线性变换；求在的基下的矩阵；求的值域及核子空间的各一组基及它们的维数；问：是否成立？为什么？*（15%）假设是矩阵。问：当矩阵满足什么条件时，是的广义逆矩阵；假设矩阵，求的广义逆矩阵。*（18%）已知矩阵的特征多项式是，的最小多项式。试求矩阵的Jord

40、an标准形；若矩阵，问：参数满足什么条件时，与是相似的？*（8%）假设矩阵，是齐次线性方程组的解空间。求的一组标准正交基。*（7%）证明题设是阶方阵，证明：。设是上三角矩阵。若是正规矩阵，证明：是对角阵。*（16%）设的子空间 ， 分别求及的基及维数*（10%）设，求。*（14%）设，在中定义线性变换：，。 求在的基下的矩阵；分别求的值域及核的基和维数。*（10%）设。求的广义逆矩阵。*（10%）设矩阵。 写出的一切可能的Jordan标准形；求。*（10%）设, 求矩阵的下列范数：, ， ，*（6%）设。若秩= 1，证明： = 。这里 与 分别表示矩阵的2范数与Frobenius范数。*（6%

41、）设是正规阵，证明为Hermite阵的充分必要条件是的特征值全为实数。*（6%）设矩阵 ，如果，且秩= 秩， 证明：与相似。*（6%）设 , , 是的特征多项式， 证明可逆的充分必要条件是与无公共的特征值。*（6%）设，且。证明：是正定矩阵；*证明：存在阶可逆阵， 使。这里是阶单位矩阵。* (16%)假设的子空间， 。分别求的基及其维数。* (8%)设矩阵。试将表示成关于的次数不超过2的多项式。* (16%)上的线性变换定义如下：,求在的基下的矩阵；求的值域及核子空间的各一组基及它们的维数；问：是否成立？为什么？* (8%)假设矩阵，求的广义逆矩阵。* (12%)假设矩阵的特征多项式是，最小多

42、项式是，并且。写出的若当标准形，并讨论的若当标准形；写出* (10%)假设。若 ， ， 。试求和。* 假设矩阵满足，证明：相似于对角阵,其中为的秩；.* 假设酉矩阵是正定的，证明：。* 假设是上三角矩阵，若是正规矩阵，证明：是对角阵。* 假设矩阵的秩等于，若不是幂零阵，证明：相似于对角阵。* 假设均是 Hermite矩阵，若的特征值均大于，的特征值均大于，证明：的特征值均大于。*（20%）记为复数域上的矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域上的线性空间，矩阵，。证明是的子空间，并求的基和维数；假设的子空间，求的基和维数；求的基和维数。*（12%）假设矩阵，试求的广义逆矩阵。*（16%）设矩阵。分别求的特征多项式及Jordan标准型；写出的最小多项式；将表示成关于的次数不超过2的多项式，并求。*（20%）记为复数域上的矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域上的线性空间，对固定的矩阵，定义上的变换如下：对任意，。证明：对给定的矩阵，是上的线性变换；设。分别求在下的像，并求在的基下的矩阵；假设，求的值域及核子空间的各一组基及它们的维数；问：是否成立？为什么？* (12%)设矩阵，。根据的不同的值，讨论矩阵的所有可能的Jordan标准形；若与是相似的，问：参数应满足什么条件？试说明理由。*