二、数与矩阵相乘

1、二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘五、小结五、小结 思考题思考题四、矩阵的其它运算四、矩阵的其它运算三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘一、矩阵的加法一、矩阵的加法第二章 矩阵及其运算第二节第二节 矩阵的运算矩阵的运算机动 目录 上页 下页 返回 结束 、定义、定义 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111一、矩阵的加法设有两个设有两个 矩阵矩阵 那末矩阵那末矩阵 与与 的和记作的和记作 ，规定为，规定为nm ,bB,aAijij ABBA 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、矩阵的加法一、矩阵的加法说明说明 只有当两个

2、矩阵是只有当两个矩阵是同型矩阵同型矩阵时，才能进时，才能进行加法运算行加法运算.例如例如 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 2、 矩阵加法的运算规律矩阵加法的运算规律 ;1ABBA .2CBACBA mnmmnnaaaaaaaaaA1122221112113 ., 04BABAAA ,ija .的的负矩阵负矩阵称为矩阵称为矩阵A机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、数与矩阵相乘1 1、定义、定义.112222111211 mnmmnnaaaaaaaaaAA 规定为规定为或或的乘积记作

3、的乘积记作与矩阵与矩阵数数, AAA机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘 ;1AA ;2AAA .3BABA 2 2、数乘矩阵的运算规律、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来矩阵相加与数乘矩阵合起来, ,统称为矩阵的统称为矩阵的线线性运算性运算. .（设（设 为为 矩阵，矩阵， 为数）为数） ,nm BA、机动 目录 上页 下页 返回 结束 齐次线性方程组 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa齐次线性方程组齐次线性方程组 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxa

4、xaxaxaxaxa可写成可写成机动 目录 上页 下页 返回 结束 000212222221211121111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa进一步写成进一步写成所以所以 00021222212112111nnnnnnnxaaaxaaaxaaaa1x1+a2x2+anxn=O 或或 x1a1+x2a2+xnan=O 机动 目录 上页 下页 返回 结束 非齐次线性方程组 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111非齐次线性方非齐次线性方程组程组 nnnnnnnnnnbbbxaxaxaxaxaxaxaxaxa2122

5、1122221211212111可写成可写成机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnnnnnnnnnbbbxaxaxaxaxaxaxaxaxa21212222221211121111进一步写成进一步写成所以所以 nnnnnnnnbbbxaaaxaaaxaaa2121222212112111a1x1+a2x2+anxn=b 或或 x1a1+x2a2+xnan=b机动 目录 上页 下页 返回 结束 、定义、定义 skkjiksjisjijiijbabababac12211 , 2 , 1;, 2 , 1njmi 并把此乘积记作并把此乘积记作.ABC 三、矩阵与矩阵相乘设设 是一个是一个 矩阵，矩阵

6、， 是一个是一个 矩阵，那末规定矩阵矩阵，那末规定矩阵 与矩阵与矩阵 的乘积的乘积是一个是一个 矩阵矩阵 ，其中，其中 ijaA sm ijbB ns nm ijcC AB机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘例例222263422142 C22 16 32 816设设 415003112101A 121113121430B例例2 2?机动 目录 上页 下页 返回 结束 121113121430415003112101ABC故故. 解解 ,43 ijaA ,34 ijbB .33 ijcC5 671026 2 17 10机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意

7、注意只有当第一个矩阵的只有当第一个矩阵的列数列数等于第二个矩阵等于第二个矩阵的的行数行数时，两个矩阵才能相乘时，两个矩阵才能相乘. 106861985123321例如例如 123321 132231 .10 不存在不存在.机动 目录 上页 下页 返回 结束 、矩阵乘法的运算规律、矩阵乘法的运算规律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB 3（其中（其中 为数）为数）; ;4AEAAE 若若A是是 阶矩阵，则阶矩阵，则 为为A的的 次幂，即次幂，即 并且并且 5nkAk 个个kkAAAA ,AAAkmkm .mkkmAA 为为正正整整数数k,m机动 目录 上页 下页

8、 返回 结束 注意注意矩阵不满足交换律，即：矩阵不满足交换律，即：,BAAB .BAABkkk 例例 设设 1111A 1111B则则,0000 AB,2222 BA.BAAB 故故机动 目录 上页 下页 返回 结束 但也有例外，比如设但也有例外，比如设,2002 A,1111 B则有则有, AB22 2 2 BA22 2 2.BAAB 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 3 计算下列乘积：计算下列乘积： 21322 1 解解 213221 12 22 12 22 13 23 .634242 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3213332312322211312113212bbba

9、aaaaaaaabbb 解解332222112bababa 321bbb.222322331132112233322222111bbabbabbabababa 321333231232221131211321bbbaaaaaaaaabbb331221111bababa =333223113bababa 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解 0010010010012A.002012222 .001001kAA求求设设 例例4 4机动 目录 上页 下页 返回 结束 00100100201222223AAA 32323003033 由此归纳出由此归纳出 200021121 kkkkkAkkkk

10、kkk 机动 目录 上页 下页 返回 结束 用数学归纳法证明用数学归纳法证明当当 时，显然成立时，显然成立.2 k假设假设 时成立，则时成立，则 时，时，nk 1 nk ,001001000211211 nnnnnnnnnnnnAAA机动 目录 上页 下页 返回 结束 所以对于任意的所以对于任意的 都有都有k .00021121 kkkkkkkkkkkA ,00102111111 nnnnnnnnnn 机动 目录 上页 下页 返回 结束 齐次线性方程组齐次线性方程组齐次线性方程组 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa可写成可写成机动

11、目录 上页 下页 返回 结束 00021212222111211nnnnnnnxxxaaaaaaaaaA x = O非齐次线性方程组非齐次线性方非齐次线性方程组程组 nnnnnnnnnnbbbxaxaxaxaxaxaxaxaxa21221122221211212111可写成可写成机动 目录 上页 下页 返回 结束 nnnnnnnnbbbxxxaaaaaaaaa2121212222111211A x = b定义定义 把矩阵把矩阵 的行换成同序数的列得到的的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作的转置矩阵，记作 . AAA例例,854221 A;825241 TA ,61

12、8 B.618 TB、转置矩阵、转置矩阵四、矩阵的其它运算-转置矩阵机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、矩阵的其它运算四、矩阵的其它运算转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质转置矩阵的运算性质 ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5 5 已知已知,102324171,231102 BA .TAB求求解法解法1 102324171231102AB,1013173140 .1031314170 TAB机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5解法解法2 TTTABAB 213012131027241.1031314170 机动

13、 目录 上页 下页 返回 结束 方阵的行列式2、方阵的行列式、方阵的行列式定义定义 由由 阶方阵阶方阵 的元素所构成的行列式，的元素所构成的行列式，叫做方阵叫做方阵 的行列式，记作的行列式，记作 或或nAAA.det A 8632A例例8632 A则则. 2 运算性质运算性质 ;1AAT ;2AAn ;3BAAB .BAAB 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3、对称阵与伴随矩阵、对称阵与伴随矩阵定义定义设设 为为 阶方阵，如果满足阶方阵，如果满足 ，即，即那末那末 称为称为对称阵对称阵.AnTAA n,j , iaajiij21 A.A为对称阵为对称阵例如例如 6010861612.称称为

14、为反反对对称称的的则则矩矩阵阵如如果果AAAT 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等等.说明说明机动 目录 上页 下页 返回 结束 对称阵例6例例6 6 设列矩阵设列矩阵 满足满足 TnxxxX,21 , 1 XXT.,2,EHHHXXEHnETT 且且阵阵是对称矩是对称矩证明证明阶单位矩阵阶单位矩阵为为证明证明 TTTXXEH2 TTTXXE2 ,2HXXET .是对称矩阵是对称矩阵H2HHHT 22TXXE TTTXXXXXXE44 TTTXXXXXXE44 TTXXXXE44 .E 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7 7 证明任一证明任一

15、阶矩阵阶矩阵 都可表示成对称阵都可表示成对称阵与反对称阵之和与反对称阵之和.nA证明证明TAAC 设设 TTTAAC 则则AAT ,C 所以所以C为对称矩阵为对称矩阵.,TAAB 设设 TTTAAB 则则AAT ,B 所以所以B为反对称矩阵为反对称矩阵.命题得证命题得证.机动 目录 上页 下页 返回 结束 BCAAAAATT21212121 例7伴随矩阵定义定义 行列式行列式 的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 所所构成的如下矩阵构成的如下矩阵AijA nnnnnnAAAAAAAAAA212221212111性质性质.EAAAAA 证明证明 ,ijaA 设设 ,ijbAA 记记则则j

16、ninjijiijAaAaAab 2211,ijA 称为矩阵称为矩阵 的的伴随矩阵伴随矩阵.A机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意各代数余子注意各代数余子式的排列方式式的排列方式4 4、共轭矩阵、共轭矩阵定义定义当当 为复矩阵时，用为复矩阵时，用 表示表示 的共轭的共轭复数，记，称为复数，记，称为 的共轭矩阵的共轭矩阵. ijaA ijaija ijaA AA故故 ijAAA ijA .EA 同理可得同理可得 nkkjkiaAAA1 ijA ijA .EA 机动 目录 上页 下页 返回 结束 4、共轭矩阵 ;2AA .3BAAB 共轭矩阵的运算性质共轭矩阵的运算性质 ;1BABA （设（设 为复矩阵，为复矩阵， 为复数为复数,且运算都是可行的）且运算都是可行的）:BA, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 运算性质五、小结矩阵运算矩阵运算 加法加法数与矩阵相乘数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵转置矩阵对称阵与伴随矩阵对称阵与伴随矩阵方阵的行列式方阵的行列式共轭矩阵共轭矩阵机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、小结五、小结（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘且矩阵相乘不满足不满足交换律交换律.（1）只有当两个矩阵是