孙训方大学材料力学后习题答案要点

1、第二章 轴向拉伸和压缩2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7 2-8 2-9 下页2-1 试求图示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。（a）解： ； ；（b）解： ； ；（c）解： ； 。(d 解： 。 返回2-2 试求图示等直杆横截面1-1，2-2和3-3上的轴力，并作轴力图。若横截面面积 ，试求各横截面上的应力。解： 2-3 试求图示阶梯状直杆横截面1-1，2-2和3-3上的轴力，并作轴力图。若横截面面积 ， ， ，并求各横截面上的应力。解： 返回2-4 图示一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个7

2、5mm8mm的等边角钢。已知屋面承受集度为 的竖直均布荷载。试求拉杆AE和EG横截面上的应力。解： = 1） 求内力取I-I分离体 得 （拉）取节点E为分离体， 故 （拉）2） 求应力 758等边角钢的面积 A=11.5 cm2(拉（拉）返回 2-5(2-6 图示拉杆承受轴向拉力 ，杆的横截面面积 。如以 表示斜截面与横截面的夹角，试求当 ，30 ，45 ，60 ，90 时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向。 解： 返回 2-6(2-8 一木桩柱受力如图所示。柱的横截面为边长200mm的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量E=10 GPa。如不计柱的自重，试求：（1）作轴力图；

3、（2）各段柱横截面上的应力；（3）各段柱的纵向线应变；（4）柱的总变形。解： （压） （压）返回2-7(2-9 一根直径 、长 的圆截面杆， 承受轴向拉力 ，其伸长为 。试求杆横截面上的应力与材料的弹性模量E。解： 2-8(2-11 受轴向拉力F作用的箱形薄壁杆如图所示。已知该杆材料的弹性常数为E， ，试求C与D两点间的距离改变量 。解： 横截面上的线应变相同因此 返回2-9(2-12 图示结构中，AB为水平放置的刚性杆，杆1，2，3材料相同，其弹性模量E=210GPa，已知 ， ， ， 。试求C点的水平位移和铅垂位移。解：（1）受力图（a）， 。（2）变形协调图（b）因 ，故 = （向下）（

4、向下）为保证 ，点A移至 ，由图中几何关系知；返回第三章 扭转3-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6 3-7 3-8 3-9 3-10 3-11 3-123-1 一传动轴作匀速转动，转速 ，轴上装有五个轮子，主动轮输入的功率为60kW，从动轮，依次输出18kW，12kW,22kW和8kW。试作轴的扭矩图。解： kN kN kN kN 返回3-2(3-3 圆轴的直径 ，转速为 。若该轴横截面上的最大切应力等于 ，试问所传递的功率为多大？解： 故 即 又 故 返回 3-3(3-5 实心圆轴的直径 mm，长 m，其两端所受外力偶矩 ，材料的切变模量 。试求：（1）最大切应力及两端截面间的相对

5、扭转角；（2）图示截面上A，B，C三点处切应力的数值及方向；（3）C点处的切应变。解： = 返回3-4(3-6 图示一等直圆杆，已知 ， ， ， 。试求：（1）最大切应力；（2）截面A相对于截面C的扭转角。解：（1）由已知得扭矩图（a） （2） 返回3-5(3-12 长度相等的两根受扭圆轴，一为空心圆轴，一为实心圆轴，两者材料相同，受力情况也一样。实心轴直径为d；空心轴外径为D，内径为 ，且 。试求当空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力 ），扭矩T相等时的重量比和刚度比。解：重量比= 因为 即 故 故 刚度比= = 返回3-6(3-15 图示等直圆杆，已知外力偶矩 ， ， 许用切应

6、力 ，许可单位长度扭转角 ，切变模量 。试确定该轴的直径d。解：扭矩图如图（a） （1）考虑强度，最大扭矩在BC段，且 （1） (2）考虑变形 （2）比较式（1）、（2），取 返回3-7(3-16 阶梯形圆杆，AE段为空心，外径D=140mm，内径d=100mm；BC段为实心，直径d=100mm。外力偶矩 ， ， 。已知： ， ， 。试校核该轴的强度和刚度。解：扭矩图如图（a）（1）强度= ， BC段强度基本满足 = 故强度满足。（2）刚度 BC段： BC段刚度基本满足。 AE段： AE段刚度满足，显然EB段刚度也满足。返回3-8(3-17 习题3-1中所示的轴，材料为钢，其许用切应力 ，切变

7、模量 ，许可单位长度扭转角 。试按强度及刚度条件选择圆轴的直径。解：由3-1题得： 故选用 。返回3-9(3-18 一直径为d的实心圆杆如图，在承受扭转力偶矩 后，测得圆杆表面与纵向线成 方向上的线应变为 。试导出以 ，d和 表示的切变模量G的表达式。解：圆杆表面贴应变片处的切应力为 圆杆扭转时处于纯剪切状态，图（a）。切应变 （1）对角线方向线应变： （2）式（2）代入（1）： 返回3-10(3-19 有一壁厚为25mm、内径为250mm的空心薄壁圆管，其长度为1m，作用在轴两端面内的外力偶矩为180 。试确定管中的最大切应力，并求管内的应变能。已知材料的切变模量 。解： 3-11(3-21

8、 簧杆直径 mm的圆柱形密圈螺旋弹簧，受拉力 作用，弹簧的平均直径为 mm，材料的切变模量 。试求：（1）簧杆内的最大切应力；（2）为使其伸长量等于6mm所需的弹簧有效圈数。解： ， 故 因为 故 圈返回3-12(3-23 图示矩形截面钢杆承受一对外力偶矩 。已知材料的切变模量 ，试求： （1）杆内最大切应力的大小、位置和方向；（2）横截面矩边中点处的切应力；（3）杆的单位长度扭转角。解： ， ， 由表得 MPa 返回第四章 弯曲应力 4-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4-6 4-7 4-8 4-9 4-10 下页4-1(4-1 试求图示各梁中指定截面上的剪力和弯矩。解：（a） （b）

9、（c） （d） = （e） （f） （g） （h） = 返回4-2(4-2 试写出下列各梁的剪力方程和弯矩方程，并作剪力图和弯矩图。解：（a） （b） 时 时 （c） 时 时 （d） （e） 时， 时， （f）AB段： BC段： （g）AB段内： BC段内： （h）AB段内： BC段内： CD段内： 返回4-3(4-3 试利用荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。返回4-4(4-4 试作下列具有中间铰的梁的剪力图和弯矩图。返回4-5(4-6 已知简支梁的剪力图如图所示。试作梁的弯矩图和荷载图。已知梁上没有集中力偶作用。返回4-6(4-7 试根据图示简支梁的弯矩图作出梁的剪

10、力图与荷载图。 返回 4-7(4-15 试作图示刚架的剪力图、弯矩图和轴力图。 返回 4-8(4-18 圆弧形曲杆受力如图所示。已知曲杆轴线的半径为R，试写出任意横截面C上剪力、弯矩和轴力的表达式（表示成 角的函数），并作曲杆的剪力图、弯矩图和轴力图。 解：（a） （b） 返回4-9(4-19 图示吊车梁，吊车的每个轮子对梁的作用力都是F，试问：（1）吊车在什么位置时，梁内的弯矩最大？最大弯矩等于多少？（2）吊车在什么位置时，梁的支座反力最大？最大支反力和最大剪力各等于多少？解：梁的弯矩最大值发生在某一集中荷载作用处。 ，得：当 时， 当M极大时： ，则 ，故， 故 为梁内发生最大弯矩的截面故

11、： = 返回4-10(4-21 长度为250mm、截面尺寸为 的薄钢尺，由于两端外力偶的作用而弯成中心角为 的圆弧。已知弹性模量 。试求钢尺横截面上的最大正应力。解：由中性层的曲率公式 及横截面上最大弯曲正应力公式 得： 由几何关系得： 于是钢尺横截面上的最大正应力为： 返回第五章 梁弯曲时的位移5-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5-6 5-7 5-85-1(5-13 试按迭加原理并利用附录IV求解习题5-4。 解： （向下）（向上） （逆） （逆）返回5-2(5-14 试按迭加原理并利用附录IV求解习题5-5。解：分析梁的结构形式，而引起BD段变形的外力则如图（a）所示，即弯矩 与弯矩

12、 。 由附录（）知，跨长l的简支梁的梁一端受一集中力偶M作用时，跨中点挠度为 。用到此处再利用迭加原理得截面C的挠度 （向上）返回5-3(5-15 试按迭加原理并利用附录IV求解习题5-10。解： 返回5-4(5-16 试按迭加原理并利用附录IV求解习题5-7中的 。 解：原梁可分解成图5-16a和图5-16d迭加，而图5-16a又可分解成图5-16b和5-16c。由附录得返回5-5(5-18 试按迭加原理求图示梁中间铰C处的挠度 ，并描出梁挠曲线的大致形状。已知EI为常量。解：（a）由图5-18a-1（b）由图5-18b-1 = 返回5-6(5-19 试按迭加原理求图示平面折杆自由端截面C的

13、铅垂位移和水平位移。已知杆各段的横截面面积均为A，弯曲刚度均为EI。解： 返回5-7(5-25 松木桁条的横截面为圆形，跨长为4m，两端可视为简支，全跨上作用有集度为 的均布荷载。已知松木的许用应力 ，弹性模量 。桁条的许可相对挠度为 。试求桁条横截面所需的直径。（桁条可视为等直圆木梁计算，直径以跨中为准。）解：均布荷载简支梁，其危险截面位于跨中点，最大弯矩为 ，根据强度条件有 从满足强度条件，得梁的直径为 对圆木直径的均布荷载，简支梁的最大挠度 为 而相对挠度为 由梁的刚度条件有 为满足梁的刚度条件，梁的直径有 由上可见，为保证满足梁的强度条件和刚度条件，圆木直径需大于 。 返回5-8(5-

14、26 图示木梁的右端由钢拉杆支承。已知梁的横截面为边长等于0.20 m的正方形， ， ；钢拉杆的横截面面积 。试求拉杆的伸长 及梁中点沿铅垂方向的位移 。 解：从木梁的静力平衡，易知钢拉杆受轴向拉力40 于是拉杆的伸长 为 = 木梁由于均布荷载产生的跨中挠度 为 梁中点的铅垂位移 等于因拉杆伸长引起梁中点的刚性位移 与中点挠度 的和，即 返回第六章 简单超静定问题 6-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6-6 6-7 6-8 6-9 6-10 6-11 6-126-136-1 试作图示等直杆的轴力图。解：取消A端的多余约束，以 代之，则 （伸长），在外力作用下杆产生缩短变形。 因为固定端不能

15、移动，故变形协调条件为： 故 故 返回6-2 图示支架承受荷载 各杆由同一材料制成，其横截面面积分别为 ， 和 。试求各杆的轴力。解：设想在荷载F作用下由于各杆的变形，节点A移至 。此时各杆的变形 及 如图所示。现求它们之间的几何关系表达式以便建立求内力的补充方程。 即： 亦即： 将 ， ， 代入，得：即： 亦即： （1）此即补充方程。与上述变形对应的内力 如图所示。根据节点A的平衡条件有：； 亦即： （2）； ， 亦即： （3）联解（1）、（2）、（3）三式得：（拉）（拉）（压）返回6-3 一刚性板由四根支柱支撑，四根支柱的长度和截面都相同，如图所示。如果荷载F作用在A点，试求这四根支柱各受

16、力多少。解：因为2，4两根支柱对称，所以 ，在F力作用下： 变形协调条件： 补充方程：求解上述三个方程得： 返回6-4 刚性杆AB的左端铰支，两根长度相等、横截面面积相同的钢杆CD和EF使该刚性杆处于水平位置，如图所示。如已知 ，两根钢杆的横截面面积 ，试求两杆的轴力和应力。解： ， （1）又由变形几何关系得知：， （2）联解式（1），（2），得 ， 故 ， 返回6-5(6-7 横截面为250mm250mm的短木柱，用四根40mm40mm5mm的等边角钢加固，并承受压力F，如图所示。已知角钢的许用应力 ，弹性模量 ；木材的许用应力 ，弹性模量 。试求短木柱的许可荷载 。解：（1）木柱与角钢的轴

17、力由盖板的静力平衡条件： （1）由木柱与角钢间的变形相容条件，有 （2）由物理关系： （3）式（3）代入式（2），得（4）解得： 代入式（1），得： （2）许可载荷 由角钢强度条件由木柱强度条件：故许可载荷为： 返回6-6(6-9 图示阶梯状杆，其上端固定，下端与支座距离 。已知上、下两段杆的横截面面积分别为 和 ，材料的弹性模量 。试作图示荷载作用下杆的轴力图。解：变形协调条件 故 故 ， 返回6-7(6-10 两端固定的阶梯状杆如图所示。已知AC段和BD段的横截面面积为A，CD段的横截面面积为2A；杆材料的弹性模量为 ，线膨胀系数 -1。试求当温度升高 后，该杆各部分产生的应力。解：设轴力

18、为 ，总伸长为零，故 = = 返回6-8(6-11 图示为一两端固定的阶梯状圆轴，在截面突变处承受外力偶矩 。若 ，试求固定端的支反力偶矩 ，并作扭矩图。解：解除B端多余约束 ，则变形协调条件为即 故： 即： 解得： 由于 故 返回6-9(6-13 一空心圆管A套在实心圆杆B的一端，如图所示。两杆在同一横截面处各有一直径相同的贯穿孔，但两孔的中心线构成一个 角。现在杆B上施加外力偶使杆B扭转，以使两孔对准，并穿过孔装上销钉。在装上销钉后卸除施加在杆B上的外力偶。试问管A和杆B横截面上的扭矩为多大？已知管A和杆B的极惯性矩分别为 ；两杆的材料相同，其切变模量为G。解：解除端约束 ，则端相对于截面

19、C转了 角，（因为事先将杆B的C端扭了一个 角），故变形协调条件为 =0故： 故： 故连接处截面C，相对于固定端的扭转角 为： = 而连接处截面C，相对于固定端I的扭转角 为： = 应变能 = = 返回6-10(6-15 试求图示各超静定梁的支反力。解（a）：原梁AB是超静定的，当去掉多余的约束铰支座B时，得到可静定求解的基本系统（图i）去掉多余约束而代之以反力 ，并根据原来约束条件，令B点的挠度 ，则得到原超静定梁的相当系统（图ii）。利用 的位移条件，得补充方程： 由此得： 由静力平衡，求得支反力 ， 为： 剪力图、弯矩图分别如图（iii），（iv）所示。梁的挠曲线形状如图（v）所示。这里

20、遵循这样几个原则：（1）固定端截面挠度，转角均为零；（2）铰支座处截面挠度为零；（3）正弯矩时，挠曲线下凹，负弯矩时，挠曲线上凸；（4）弯矩为零的截面，是挠曲线的拐点位置。（b）解：由相当系统（图ii）中的位移条件 ，得补充方程式： 因此得支反力： 根据静力平衡，求得支反力 ： , 剪力图、弯矩图，挠曲线图分别如图（iii）、（iv）、（v）所示。（c）解：由于结构、荷载对称，因此得支反力 ； 应用相当系统的位移条件 ，得补充方程式： 注意到 ，于是得： = 剪力图、弯矩图、挠曲线分别如图（iii）、（iv）、（v）所示。 其中： 若 截面的弯矩为零，则有： 整理： 解得： 或 。返回6-11

21、(6-16 荷载F作用在梁AB及CD的连接处，试求每根梁在连接处所受的力。已知其跨长比和刚度比分别为 解：令梁在连接处受力为 ，则梁AB、CD受力如图（b）所示。梁AB 截面B的挠度为：梁CD 截面C的挠度为： 由于在铅垂方向截面B与C连成一体，因此有 。将有关式子代入得：变换成： 即： 解得每个梁在连接处受力： 返回6-12(6-18 图示结构中梁AB和梁CD的尺寸及材料均相同，已知EI为常量。试绘出梁CD的剪力图和弯矩图。解：由EF为刚性杆得 即 图（b）：由对称性，剪力图如图（c）所示，弯矩图如图（d）所示， 返回6-13(6-21 梁AB的两端均为固定端，当其左端转动了一个微小角度 时

22、，试确定梁的约束反力 。解：当去掉梁的A端约束时，得一悬臂梁的基本系统（图a）。对去掉的约束代之以反力 和 ，并限定A截面的位移： 。这样得到原结构的相当系统（图b）。利用位移条件， ，与附录（）得补充式方程如下： （1） （2）由式（1）、（2）联解，得： 从静力平衡，进而求得反力 是： 返回第七章 应力状态和强度理论7-1 7-2 7-3 7-4 7-5 7-6 7-7 7-8 7-9 7-10 7-11 7-127-137-1(7-3 一拉杆由两段杆沿m-n面胶合而成。由于实用的原因，图中的 角限于 范围内。作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用

23、应力比较。现设胶合缝的许用切应力 为许用拉应力 的3/4，且这一拉杆的强度由胶合缝的强度控制。为了使杆能承受最大的荷载F，试问 角的值应取多大？解：按正应力强度条件求得的荷载以 表示：按切应力强度条件求得的荷载以 表示，则 即： 当 时 ， ， ，时， ， ，时， ， 时， ， 由 、 随 而变化的曲线图中得出，当 时，杆件承受的荷载最大， 。若按胶合缝的 达到 的同时， 亦达到 的条件计算 则 即： ， 则 故此时杆件承受的荷载，并不是杆能承受的最大荷载 。返回 7-2(7-7 试用应力圆的几何关系求图示悬臂梁距离自由端为0.72m的截面上，在顶面以下40mm的一点处的最大及最小主应力，并求

24、最大主应力与x轴之间的夹角。解： = 由应力圆得 返回 7-3(7-8 各单元体面上的应力如图所示。试利用应力圆的几何关系求： （1）指定截面上的应力；（2）主应力的数值；（3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。解：（a） ， （b） ， （c） , , , （d）， 返回 7-4(7-9 各单元体如图所示。试利用应力圆的几何关系求：（1）主应力的数值；（2）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。解：（a） ， （b）， （c） ， （d）， 返回 7-5(7-10 已知平面应力状态下某点处的两个截面上的应力如图所示。试利用应力圆求该点处的主应力值和主平面方位，并求出两截面间的夹角

25、 值。解：由已知按比例作图中A，B两点，作AB的垂直平分线交 轴于点C，以C为圆心，CA或CB为半径作圆，得（或由 得 半径 ）（1）主应力 （2）主方向角 （3）两截面间夹角： 返回 7-6(7-13 在一块钢板上先画上直径 的圆，然后在板上加上应力，如图所示。试问所画的圆将变成何种图形？并计算其尺寸。已知钢板的弹性常数E=206GPa， =0.28。解： 所画的圆变成椭圆，其中 （长轴） （短轴）返回 7-7(7-15 单元体各面上的应力如图所示。试用应力圆的几何关系求主应力及最大切应力。解：（a）由xy平面内应力值作a，b点，连接ab交 轴得圆心C（50，0） 应力圆半径故 （b）由xz

26、平面内应力作a，b点，连接ab交 轴于C点，OC=30，故应力圆半径则： （c）由图7-15（c）yz平面内应力值作a，b点，圆心为O，半径为50，作应力圆得 返回 7-8(7-18 边长为20mm的钢立方体置于钢模中，在顶面上受力F=14kN作用。已知 =0.3，假设钢模的变形以及立方体与钢模之间的摩擦力可略去不计。试求立方体各个面上的正应力。解： （压） （1） （2）联解式（1），（2）得（压）返回 7-9(7-20 D=120mm，d=80mm的空心圆轴，两端承受一对扭转力偶矩 ，如图所示。在轴的中部表面A点处，测得与其母线成 方向的线应变为 。已知材料的弹性常数 ， ，试求扭转力偶矩

27、 。解： 方向如图返回 7-10(7-22 一直径为25mm的实心钢球承受静水压力，压强为14MPa。设钢球的E=210GPa， =0.3。试问其体积减小多少？解：体积应变 = 返回 7-11(7-23 已知图示单元体材料的弹性常数 。试求该单元体的形状改变能密度。解：主应力： 形状改变能密度： = = 返回 7-12(7-25 一简支钢板梁承受荷载如图a所示，其截面尺寸见图b。已知钢材的许用应力为 。试校核梁内的最大正应力和最大切应力，并按第四强度理论校核危险截面上的点a的强度。注：通常在计算点a处的应力时近似地按点 的位置计算。解： = （1）梁内最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘 超过

28、 的5.3%尚可。（2）梁内最大剪应力发生在支承截面的中性轴处（3）在集中力作用处偏外横截面上校核点a的强度 超过 的3.53%，在工程上是允许的。返回 7-13(7-27 受内压力作用的容器，其圆筒部分任意一点A（图a）处的应力状态如图b所示。当容器承受最大的内压力时，用应变计测得 。已知钢材的弹性模量E=210GPa，泊松比 =0.3，许用应力 。试按第三强度理论校核A点的强度。解： ， ， 根据第三强度理论： 超过 的7.64%，不能满足强度要求。返回 第八章 组合变形及连接部分的计算8-1 8-2 8-3 8-4 8-5 8-6 8-7 8-8 8-9 8-10 下页8-1 14号工字

29、钢悬臂梁受力情况如图所示。已知 m， ， ，试求危险截面上的最大正应力。解：危险截面在固定端= = 返回8-2 受集度为 的均布荷载作用的矩形截面简支梁，其荷载作用面与梁的纵向对称面间的夹角为 ，如图所示。已知该梁材料的弹性模量 ；梁的尺寸为 m， mm， mm；许用应力 ；许可挠度 。试校核梁的强度和刚度。解： = ，强度安全， = = 刚度安全。返回8-3(8-5 图示一悬臂滑车架，杆AB为18号工字钢，其长度为 m。试求当荷载 作用在AB的中点D处时，杆内的最大正应力。设工字钢的自重可略去不计。解：18号工字钢 ， ，AB杆系弯压组合变形。， ， = = = = 返回8-4(8-6 砖砌

30、烟囱高 m，底截面m-m的外径 m，内径 m，自重 kN，受 的风力作用。试求：（1）烟囱底截面上的最大压应力；（2）若烟囱的基础埋深 m，基础及填土自重按 计算，土壤的许用压应力 ，圆形基础的直径D应为多大？注：计算风力时，可略去烟囱直径的变化，把它看作是等截面的。解：烟囱底截面上的最大压应力：= = 土壤上的最大压应力 ：即 即 解得： m 返回8-5(8-8 试求图示杆内的最大正应力。力F与杆的轴线平行。解： ，z为形心主轴。固定端为危险截面，其中：轴力 ，弯矩 ， = A点拉应力最大= = B点压应力最大= = 因此 返回8-6(8-9 有一座高为1.2m、厚为0.3m的混凝土墙，浇筑

31、于牢固的基础上，用作挡水用的小坝。试求： （1）当水位达到墙顶时墙底处的最大拉应力和最大压应力（设混凝土的密度为 ）；（2）如果要求混凝土中没有拉应力，试问最大许可水深h为多大？解：以单位宽度的水坝计算： 水压： 混凝土对墙底的压力为：墙坝的弯曲截面系数： 墙坝的截面面积： 墙底处的最大拉应力 为：= = 当要求混凝土中没有拉应力时： 即 即 m返回8-7(8-10 受拉构件形状如图，已知截面尺寸为40mm5mm，承受轴向拉力 。现拉杆开有切口，如不计应力集中影响，当材料的 时，试确定切口的最大许可深度，并绘出切口截面的应力变化图。解： 即 整理得： 解得： mm返回8-8(8-11 一圆截面

32、直杆受偏心拉力作用，偏心距 mm，杆的直径为70mm，许用拉应力 为120MPa。试求杆的许可偏心拉力值。解：圆截面面积 圆截面的弯曲截面系数 即： ， 返回8-9(8-15 曲拐受力如图示，其圆杆部分的直径 mm。试画出表示A点处应力状态的单元体，并求其主应力及最大切应力。解：A点所在的横截面上承受弯矩和扭矩作用，其值它们在点A分别产生拉应力和切应力，其应力状态如图8-15a，其中 注：剪力在点A的切应力为零。返回8-10(8-16 铁道路标圆信号板，装在外径 mm的空心圆柱上，所受的最大风载 ， 。试按第三强度理论选定空心柱的厚度。解：忽略风载对空心柱的分布压力，只计风载对信号板的压力，则

33、信号板受风力空心柱固定端处为危险截面，其弯矩： 扭矩： = mm返回第九章 压杆稳定9-1 9-2 9-3 9-4 9-5 9-6 9-7 9-8 9-9 9-10 9-119-1(9-2 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f所示杆在中间支承处不能转动）？解：对于材料和截面相同的压杆，它们能承受的压力与 成反比，此处， 为与约束情况有关的长度系数。（a） =15=5m（b） =0.77=4.9m（c） =0.59=4.5m（d） =22=4m（e） =18=8m（f） =0.75=3.5m故图e所示杆 最小，图f所示杆 最大。返回9-2(9-5 长5m的10号工

34、字钢，在温度为 时安装在两个固定支座之间，这时杆不受力。已知钢的线膨胀系数 。试问当温度升高至多少度时，杆将丧失稳定？解： 返回9-3(9-6 两根直径为d的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。试根据杆端的约束条件，分析在总压力F作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力F之临界值的算式（按细长杆考虑），确定最小临界力 的算式。解：在总压力F作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况：（a）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳： （b）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳 失稳时整体在面内弯曲，则1，2两杆组成一组合截面。 （c）两根立

35、柱一起作为下端固定而上端 自由的体系在面外失稳故面外失稳时 最小= 。返回9-4(9-7 图示结构ABCD由三根直径均为d的圆截面钢杆组成，在点B铰支，而在点A和点C固定，D为铰接点， 。若结构由于杆件在平面ABCD内弹性失稳而丧失承载能力，试确定作用于结点D处的荷载F的临界值。解：杆DB为两端铰支 ，杆DA及DC为一端铰支一端固定，选取 。此结构为超静定结构，当杆DB失稳时结构仍能继续承载，直到杆AD及DC也失稳时整个结构才丧失承载能力，故 返回9-5(9-9 下端固定、上端铰支、长 m的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所示，并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。已知杆的

36、材料为Q235钢，强度许用应力 ，试求压杆的许可荷载。解： m返回9-6(9-10 如果杆分别由下列材料制成： （1）比例极限 ，弹性模量 的钢；（2） ， ，含镍3.5%的镍钢；（3） ， 的松木。试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度。解：（1） （2） （3） 返回9-7(9-11 两端铰支、强度等级为TC13的木柱，截面为150mm150mm的正方形，长度 m，强度许用应力 。试求木柱的许可荷载。解： 由公式（9-12a）， 返回9-8(9-13 一支柱由4根80mm80mm6mm的角钢组成（如图），并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。支柱的两端为铰支，柱长l=6

37、m，压力为450 。若材料为Q235钢，强度许用应力 ，试求支柱横截面边长a的尺寸。解： （查表： ， ），查表得： m4= mm返回9-9(9-14 某桁架的受压弦杆长4m,由缀板焊成一体，并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求，截面形式如图所示，材料为Q235钢， 。若按两端铰支考虑，试求杆所能承受的许可压力。解：由型钢表查得 角钢： 得 查表： 故 返回9-10(9-16 图示一简单托架，其撑杆AB为圆截面木杆，强度等级为TC15。若架上受集度为 的均布荷载作用，AB两端为柱形铰，材料的强度许用应力 ，试求撑杆所需的直径d。解：取I-I以上部分为分离体，由 ，有设 ， m则

38、 求出的 与所设 基本相符，故撑杆直径选用 m。返回9-11(9-17 图示结构中杆AC与CD均由Q235钢制成，C，D两处均为球铰。已知 mm， mm， mm； ， ， ；强度安全因数 ，稳定安全因数 。试确定该结构的许可荷载。解：（1）杆CD受压力 梁BC中最大弯矩 （2）梁BC中 （3）杆CD = （由梁力矩平衡得） 返回（第册）第三章 能量法10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8 10-9 10-10 下页10-1(3-1 试求图示杆的应变能。各杆均由同一种材料制成，弹性模量为 。各杆的长度相同。解：（a） （b） （c）取 长的微段（如图），在

39、均布轴力 的作用下，它具有的应变能：式中： , 杆具有的应变能： 题（d）与题（c）同理，得杆的应变能返回10-2(3-2 试求图示受扭圆轴内的应变能 。解：应变能式中： 因此 返回10-3、10-4(3-3 试计算图示梁或结构内的应变能。略去剪切的影响， 为已知。对于只受拉伸（或压缩）的杆件，考虑拉伸（压缩）时的应变能。解：（a）梁的弯矩方程式：利用对称性，得梁的弯曲应变能（b）梁的弯矩方程式梁的应变能 （c）刚架的弯矩方程，刚架的应变能 （d）结构中梁的弯矩方程，拉杆的轴力 结构的应变能等于梁的弯曲应变能与拉杆的拉伸应变能的和，即 返回105、106、107、108（3-7） 试用卡氏第二

40、定理求图示各刚架截面 的位移和截面 的转角。略去剪力 和轴力 的影响， 为已知。解：（a）（1）求截面 的水平位移 截面 处添加一水平集中荷载 ，刚架的应变能（向右）(2 求截面 的转角 截面 处添加一集中力偶矩 ，刚架的应变能（逆）（3）求截面B的转角 B处添加力偶矩 ，刚架的应变能（顺）解：（b） （1） 求截面 的铅垂位移 截面 处添加一铅垂集中力 ，刚架的应变能 （向上）（2） 求 截面水平位移 截面 处添加一水平面的集中力 ，刚架的应变能 （向右）（3）求截面 的转角 在截面 处，添加一集中力偶 ，刚架的应变能 （逆）（4）求截面 的转角 截面B添加一集中力偶 ，刚架的应变能= （逆

41、）解:（c）（1） 截面A处的铅垂位移 令作用于A处的集中力 ，刚架的应变能 = （向下）（2）求截面A处的水平位移 令作用于B处的集中力 ，则刚架的应变能= = （向右）（3）求截面A的转角 于截面A处添加一力偶矩 ，则刚架的应变能 = = （顺）（4）求截面B的转角 在截面B处添加一力偶矩 ，则刚架的应变能= = （顺） 解：（d）（1） 求截面A处的水平位移 刚架的应变能= （向右）（2）求截面A的转角 截面A处加一力偶矩 ，刚架的应变能于是 = = （逆）（3）求截面B的转角 因为刚架的AB段未承受横向力，所以AB段未发生弯曲变形，转角 等于转角 。返回10-9(3-11 试用卡氏第二

42、定理求图示梁在荷载作用下截面 的转角及截面 的铅垂位移。 为已知。解：（1）求截面A的转角 在截面A处加一力偶矩 （图a）,梁的弯矩方程梁的应变能 (逆（2）求截面B的铅垂位移 截面B处加一竖直向下荷载F。梁的弯矩方程 梁的应变能= = = （向下）返回10-10(3-12 试用卡氏第二定理求解图示超静定结构。已知各杆的 ， 相同。解：（a）一次静不定，静定基如图3-12a-1由对称性知 （1）由节点C平衡 （2）由节点B平衡 （3） （4） （拉） （5）代入式（3）， （压） （拉）解：（b）一次静不定，静定基如图3-12b-1 （1） （2） = 即 （3）代入式（2），得： 解：（c）解除B端约束，代之反力 ，并令B端沿铅垂方向的位移 ，于是得到原超静定的刚架（图c1）的相当系统（图c2）。图（c2）所示刚架的应变能为B截面处的铅垂位移为： = = =0解得 内力图如图（c3）、（c4）、（c5）所示。 解：（d）静定基3-12d1 = 解：（e）由结构对称，荷载反对称，得静定基如图3-12