向量空间与线性变换

1、向量空间典型例题:1设1，： 2,川,n V线性无关，问1叫，2比3，|l，n 1是否线性无关? 解：设人I"匕2 丨11心i：s叱可i； = °即 k1 kn ：k1 k2knA kn= 0由1,2,川,n是线性无关知，Kkn -0100 11厂由A=1III1III0 1III 11 0II IIInd!=1+(1)n为奇数n为奇数<000 11 1 >knjkn =0当n为奇数时，1乜2,2比3,川,n F线性无关。，知2在n维线性空间V中，设关于基1,2ll|n的坐标为a1,a2,|lan ,a 0,试求V的一组基，使得：关于这组基的坐标为10,111,

2、0。解：由=aa2,a.«1）丨，设密2川Bn为另一组基，则Ct :r1=（1,0，,0）丨 胡,所以S八二a1 川 an则1, Jn线性无关且满足题意。3证明：设n维向量空间V可以表示为n个一维子空间的直和。证明：设：2,川n是V的一组基，令Wj二L : ,i=1,2,ll）,n则W1 WH Wn V显然成立，设-V,则二心J川-kn n又 kr r W1,IH,knnWn，所以：W1W2HWn，即 W1W2IWnVV =w1W2川 wn又由维数公式知维V = n =维w, i亠维W2 川维Wn所以 w, w2 T |wn 是直和，即 w,二 w2 二 | H 二 wn故 V =

3、w,二 w?：.川：.wn。证毕！4 设A2 =A,y,V2分别是n元齐次线性方程组AX =0和A-E X =0的解空 间，证明：Fn =7,二 V2。证明：显然V, V2 Fn，下证V, V2二Fn任意 X Fn，贝卩 X 二 AX ：； AE X 己 AXXjA EXX?由 A-E Xi =A-E AX W.A2 - A X =0知 X, V2同理 X2 V,故V, V2 二 Fn综上 Fn =V, V2。对任意的 X V,V2，有 AX = 0, A - E X = 0，所以 X = 0，故 V, ' V2 一0： 故 Fn =V,二 V2。证毕！注意：晶本题的证法是证明直和最常

4、用的方法，第一步证明"="号成立；第二步是证明直和"二"成立。晶本题的逆命题同样成立。证明：由Fn -V V2，知维 V, 维V2 =n从而 n 秩 A秩 AE 二n,即秩 A - 秩 AE 二n 故 A2 = A。5 设V,.A Mn F | A A , Vf.A Mn F | AA，证明:Mn F二 V2。分析：（D A二亠丄上乞（2）VJV2=4证明：（略）。证毕!2 26设g . L Vn.:，证明:Im |宀i,ker . |是.的不变子空间。证明：（1）任意的醪Vn ,则-it I:- .；:-=；.:- Im ；丁故Im I、，是.的不变子

5、空间（2）任意的I二ker二,则厂一：=0又；-二.:二-=0从而i"kerj,所以kem是.的不变子空间。证毕！7设5三LVn，二在基?1, ：'2-n下的矩阵A为对角行二Vn可以表示为n个一维不变子 空间的直和。证明:斗：由条件，知 頁何见，叫=©1，吆Qn ） I'、Z-n 因此:珀 i； V j, i =1,2川 I，n，令 Wj = L :- i ，则 Vn =则二 w2 ： HI 二 wn。=:设Vn =W|二w2 ： HI : Wn，维 Wi = 1,且Wj是二的不变子空间。在W中任取非零向量«i，由于Wj是口的不变子空间，所以（码卢

6、Wi又维 Wi =1，故；： i = i： i,i =1,2,ll）,n，故12,llln是Vn 的一组基。仏'由 b（Gi ）=3i,i =1,2,111, n 知 b（%,G2，,5 ）=（口102，,On ） I 。证IXn丿毕！8 维 L Mn F ： o!。分析：利用同构思想。9设A是n阶可逆矩阵，g,B是n维列向量，求证：人A-aBT有一根为0TA°a,其 余根为零。证明：因为 A出T = All E - A，gT = A zF；TA七所以”AaBT有一根为PTAa,其余根为零。证毕！ 注意：利用如下定理： 设矩阵圈曇口即，则园。10 设 A =G+a；aa；II

7、Ia1a na； a+1+a|IIIa1a n卜+(ana1¥ana2III1+a；,求A的特征根和A。解：注意到A二1 + a；aa22IIIa£n玄2玄11 +a2IIIa£n=E +4+*I a“a1卜卜a“a2IIIbr1 +a2J+® j(ai ”an )，从而矩阵的特征多项式fA （扎）=|入E- A = A.E-E -:佝5丿an所以九=1(n 1重或 1 +a2 +11 叶a；，故 EELfRHa2。11设矩阵A = 0,但AQ, k1,kN，求证：A不能对角化kA1所以 T-1AkT =证明：若果A能对角化，则存在可逆矩阵T,使得T-1

8、AT -=Q，故入=Q,i =1,2,川,n。r. kAn丿即T-1AT=O,所以A=0。这与已知条件矛盾！从而假设不成立故A不能对角化。证毕!12设n阶矩阵A有n个互异的非零特征根，且AB二BA,求证：B可对角化证明：设空川是A的n个互异的特征值，r是属于的特征向量即A："=打i，所以A勺特征子空间Vj都是一维的,V. - : | A - = L*i由 AB =BA，知 AB .二 BA: . = .B:.当 Ba. =0时，Ba.EV】。.当Ba.式0时，Ba.EV汕因为Ba.是A的属于入的特征向量)。故 B'= i,i =1,2J|,n，从而 Br, B2,ll|B：n

9、 二叫i, 一2,111,n故 B >1,2，,n -，>2,令 T =1,2,川,n，则TBT，故B可对角化。证毕!13设n阶矩阵A有n个互异的非零特征根，证明：A的特征向量都是 B的特征向量二AB =BA。证明：=:设:i,2, IILn是A的和B的分别属于'i,2,IH,'n 和112,川，的特征向量，由于'1, '21, 'n互不相同，所以1,2,lll,n线性无关。有 A： .J =1,2, I此n;B：.二耳 i,i =1,2川|,n所以 BA>. -)B>. -：»； AB>. = A".-

10、：打-打卡.，i =1,2,IH,n故 AB：.二 BA .,. =1,2JH,n即(AB%,ABo( 2川 A凹n )=(B如 1BA 21, BA«n )，从而 AB ：1, ： 2,llL ： n 二 BA ： 1,： 2,llL ： n，令 T =12,川,亠，贝y T可逆，故AB二BA。-:同上题证明方法。证毕！14设V是C上的一个n维向量空间，b,iEL(V),且5 =苗，证明:(1) 二的每一个特征子空间都是.的不变子空间(2) 匚和.在V中有公共特征向量。证明：(1)设二是 的属于特征值的一个特征子空间， 对于任意的:V.，因为 二.二，所以二.:-故二 | V,。(

11、2)若V是.的一个不变子空间，贝y . |V .在V上的限制 存在 所以在C上, . |V有特征值,从而存在属于的特征向量，即.|V. -丄 所以.1"，故是.的属于的特征向量，又注意到V, V所以是二,的公共特征向量。15设L Vn ,Wi,W2是Vn的两个子空间,并且Vn二Wi二W2，证明：二可逆二 Vn =二 Wr 二W2 。证明：=:设r,2,l|l,r是w的组基，亠4,亠.2,111n是w2的一组基, 因为Vn V二W2，所以1厂2,川,r，:1，r2，川，：5是V的一组基。 由二可逆，知二1 ,二2，川，二：n是Vn的一组基， 从而 Vn 二 LW (-1 , 2，川,n

12、=：，%,； 2 ，丨1| 二亠 丄宀：1，匚:r-2，11点nM "W,飞 W 又1，二2 ,川,匚r是W的一组基；-:r 1，二:r 2 ,川,二：n 是 W 一组基故 Vn _ ；w1 T c w,。=在W1中取基12,川r,在W2中取基1,*2,"ln , 因为Vn訓二W2，所以12,川n是Vn的一组基。又因为Vn * W1二二W2 ,所以",；2 ,川：n是V的一组基。故二可逆。证毕!注意：晶在必要性证明中?1-2J ：，: r小r 2,川,n是V的一组基是这样证明的。只要说明宀宀，川"，1，*2，川，打线性无关即可，设 “1 k2： 2 川人

13、：n =0，记=匕_：” k2j2 l|kr二r - -kr 忖r 彳 kr .2-S 2，111，kn-“所以圧三w,且x e w2，从而=0，故K =0,i =1,2,川,n，故:1,2,川，：r，：r 1,：2川 l,n 线性无关。另外要注意这种方法和维数公式的证明过程中所用的方法是一样的。晶在充分性的证明中，最后二可逆的证明方法是这样的。任意V，贝二心I： -1 - k ： 2 I I I kn二n - 心 1 k2： 2 H 丨如 n 定义.二K1 k2 ： 2 I I I kn ： n，显然是一个线性变换，而 厂.:- K1 * k22 * 丨1心宀=匕二：1k 2 AW k :，

14、n =】所以二二ee为单位变换，故二可逆。16 设L V，二2=；丁 证明：1 ker 厂-；- WV;2 V 二 kerr，V。证明：(1)任意的kern ,贝卩厂，-0 ,所以- ：-；:- | ：£ 三 V,故 ker “ 二： - ； | 隈三 V又任意的|V，则“rr22-. - - . - . - 0 ,所以-；:- - keW,故 ker ；- P V, 故 ker ；-：-；-5 V。(2)任意的：V，有二*- c ：显然-；? - kerV，所以 V kerij，rV 。又 显然 V 二:ker 厂V，故 V =kem 亠-V。设任意的用ker ；V，则;:=0,且

15、存在I ZV，使得=.（-所以;-；*-；_ -，所以：.=0 ,故 kerw - V - ：0;故V =ker.一 V。证毕！17设代B,X为同阶方阵，并且AX =XB,秩X訂，证明：在复数域上，A与 B至少有r个相同的特征根。因为AX二XB，所以AP广A0、/B1 B2'S °<0°则故 PAP -,QBQ，二0B4证明：因为秩X汀，所以存在可逆矩阵P,Q，使得X二P卩乜卩仔0乍0=1QBQ，记% A -I'Er 0、乍0) =1B、10 0丿2 0丿、AA 丿（0 010 0丿3.B 4 B 丿，所以 A =Bi,B2=0,A=0，从而,岛 JQ

16、B，焉 01-Pf_1_，ZAiA2仇 Er - A-A '九E - A =扎E P AP =“-<0凡厂'、一 0九 E n _t A4 丿从而fA 二=丸Er All丸巴亠-A同样道理fB （丸戶卩疋-B =#Er AlE- B4所以fA '与fB '有相同的r次公因式，故A与 B至少有个相同的特征根。证毕！18设A是m n阶矩阵，B是n S阶矩阵,则秩AB 秩A 秩B -n。证明：设秩（A戶r，则存在可逆矩阵P,Q,使得PAQ="Er 0<0 0丿所以 PAB = PAQQB =绘%乍0、旧30丿<0 °lB2丿2丿从

17、而秩 AB二秩PAB二秩_秩2"Bi )_(n_ r )=秩(QB ) _n+ 秩(A) 丿丿=秩 A 秩 B ?-n故秩AB 一秩A 秩B -n。19设二是V上的线性变换，WVn是子空间 ,证明：维(<j (w)+ 维(ker(b )Dw)=维w。证明：设ker ；丁 nw的维数为r,维w=m，在ker二Cw中取基；2,，；r, 扩充为W的基；仆；2,川，;m，所以二w二L二；i，二；2 ,11点F 。又；1, ；2,11), :r ker 二，因此二；1 -； ；2；r ，所以二 w 二 L 二；r 1 ,二；r .2，川，二；m 。下证：二；i，二2，川& ；m线

18、性无关。设 kr 1 二；r 1人 2二 y -2'心二；m =。，即二匕 1 ；r« 2 ；r 2 J 心打=0，故 « 计，« 22 J Ikm ；m，ker 二故心 i ；r匕 2 ；r 2 * 丨15 ；m 二匕；k? 2 I" k ；又由；i, ；2,川，；m的线性无关性知K = 0,i =1,2,|l, m从而二；r 1，二；r 2 ,11冷；m线性无关，故命题成立。证毕！20二是Vn上的线性变换，w是二的不变子空间，证明：二|w的核二ker ；d w。证明：一方面：对任意的：；wker；|w w V，则二|w- 0，从而厂，-；|w

19、=0，所以"三 ker ；丁 Clw，故二 |w的核 ker ；丁 Dw。另一方面：对任意的ker ；： Clw，贝卩:-w且;- 0。所以二 |w：；-0，从而keri-i，因此二 |w的核二 ker；丁 Dw。故二| w的核=ker ；：.- Qw。证毕！21设二与.是V的两个线性变换，如果秩-广秩 n ,贝卩；与.有 公共特征向量。证明：因为秩2亠秩 ： n，及维ker r |广秩“ j: n，维keri广秩丁 - n，所以维kerwn亠维ker广in，故维 ker "亠ker “ 广维 ker ；：.- Piker -心 n，故 ker ；Pker .。这样，存在二

20、心0且二三ker ；丁 nker从而；-.-0 = 0 故匚与有公共特征向量：。证毕！22设代B为n阶方阵，且A B A0，贝卩(1) A与B的特征向量是公共的。(2) A相似于对角形=B相似于对角形。(3) 秩 A 二秩 B。证明：(1)设:是B的特征向量,相应的特征值为，即B =:-,由A B A 0知，A 亠 BjAB= 0，即亠1 A =-、；当一-1时，:=0,矛盾！此时-1不是A的特征值。当一1时,A =-,即：是A的特征向量。人+1反之，因为A B A 0，所以E A - B AB = E，从而E A E B i=E，故 E B E A =E，即 A B BA = 0同样道理，A

21、的特征向量也是B的特征向量。(2)=:若A相似于对角形，则存在可逆矩阵T,使得TAT =|,其中gi =1,2,，n)是A的特征值。即 AT=T ，令 丁=(8,°2,川,£ )，从而'<打丿A(%c(2,5 )=(。1,5,， )，即 A(i =Mi,i =1,2,|H,n。<n由(1)知，：廿川，n也是B的特征向量，设分别为亠2,川n的特征向量，即B： i十i，i =1,2川|,n，从而,B(C(1,Ot2，,Ctn)=(Cf1，C(2，C(n )h q<瞪丿，即 BT =Tk4< 宀丿故TBT =故B也相似于对角形叫丿二：同必要性证明方

22、法(略)(3)由A B A 0，知A二-E - A B，所以秩A乞秩B同样道理秩A 秩B，故秩A二秩B。证毕!23设口是n维线性空间V的线性变换，并且 (V )=ker® )，证明(1) n为偶数。0 En ”(2)存在一组基坷,為,III, %使口关于该基的矩阵为2。10 0丿 证明：(1)由维数公式知，2维二V二n,故n为偶数。(2)设 e,e2,lll©为V的一组基，则 (v )=L("e1),|IW(q)不妨设二e，二e2，山卢e是二e1 ,二e ,川,二弓的一组基，其中，2取 (e 2 (曳),Il2(er ),eJILer设k e 亠k佥 11kvi亠

23、tei 川 te= 0，两边二作用注意到匚e庄keu, i = 1,2J H，n，得£匚e）亠上2色 11丨tr匚e =0。由口（e 2（e2）, lH,o（e的线性无关性,知i =t2 =川=tr =o则 k© © i亠k2；e2 HI k二 ei=0，从而 匕 寸2 = |l 二 k=0故仃（e 2佗）,|2G e,川,e线性无关，即存在v的一组基色,®,川,® ,0 En使得口关于该基的矩阵为2。证毕！I。0丿24 令V =CX ln ,； L V ,；f X = f' X（1）写出二关于基1,1 x,ih,i x ii xn，的

24、矩阵。（2）求A的若当标准型解：（1）1,XJH,Xnd 是 cxln 的一组基，则二 1,X,|l|,Xn=1,Xn,XnB,010川0"其中 B= 0 0 2 川0，又(1,1 + X,川,1 + X+|" + xnJL )=(1,X,川,xn)x +d+*fr(00000丿11川厂其中X=|° 1川1，故关于基1,1 + X,|,1 + X+ll|+Xn的矩阵+ 11+ 1<0 0川1A=X BX。（2）因为，E -B 二所以B的行列式因子为1,1,川1,创，B的不变因子1,1川1,盯0 1 1 B的初等因子为r，故A的若当标准型为，*。1°

25、25设二为数域P上的n维线性空间V上的一个线性变换,且二2二二，证明：1 ker ；-： -；： V;2 V = ker ；一-二；V ;3如果.是V上的线性变换,且ker和匚V都是.的不变子间，则；.证明：（1）（2）问同16题。（3）任意： V，由（2）知：八1 ：2, r kem,F；2 三：V所以；-；二 “ 5'2 -；二 X 1 亠2因为 + ker二，k er是的不变子空间。故 U kerz，所以二：1 =0，故;二- -2又三'"V，二V是.的不变子空间，知.j卢V所以；. - - -2 = . ：2。反之，- - - .；亠-.>2，因为 十

26、keritI，所以 J ，訂 i； = 0。二-2 ，由匚V，知匚空计為所以；- -2，所以任意的二二1。综上：；二。证毕！26设V是有限维线性空间，是V的非零子空间，证明：存在唯一的V的子空间 V2，使 V 二V,二 V2= V1 二V。证明：=:设m =v，v2只能是0，否则直和不成立。=:（反证）若V1 =V，则0维V = r < n，在u中取基1,2,川八扩充成 V的基12,llld1,HIn，令 V2 二 L :1,：2,川n则有 V=V1 二 V2，令 V2 =L - 1 八.2,IH,n ，则有12,川rr -1 *1,l"n仍为V的基，故V = V V；。但是V

27、2=V2，这与题意矛盾，所以假设不正确，从而命题成立。证毕！511'27设A= X 4 Y，已知A有3个线性无关的特征向量，九=2是 -35 jA的二重特征根，试求可逆矩阵B，使B JAB为对角形。解：因为A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。又，=2是A的二重特征根，所以 秩2E-A =1广11-1、r-X-2-Y<33一3注意至U 2E-A二1-X01 -10-Y0 0，知2X28用J表示元素全为的n阶矩阵,n_2,设f X = a bX是有理数域上的多项式，b=0，令A二f J , （ 1）求A的所有特征值。（2）求A的所有 特征子空间。（3） A是否可以对角化。若

28、可以，求可逆矩阵 P，使得PAP为对角行。b解：（1）由 fA（扎）= #E A =|九E aE bJ = （& a ）E ； （1 1 川 12丿二泸 -aia - nb知A的特征值为a n -1重,a nb。（2）当，a时,解 aE -A X =0,即 aE -aE -bJ X =0,即卩-bJX =0,即JX = 0所以 x1 x2 1 x 0，故 1 =1000+，n 2 =1<，川，q 2 =0b+<0 J<0 JF<1丿o当=a nb时，解 a nb E - A X = 0,即*(n -1 P+-b(n _1 p*IIIIIItX =0，解方程组得1

29、1.-b-bIII(n -叽+n-1故A特征向量为V ki i和k n ,所以A的特征子空间为Va =L 1, 2,11）, n1及 Va.nb 二 L n。（3）易知i, 2，川，n线性无关，所以A可对角化。取P二1, 2,川，n，易知P是可逆矩阵，且满足P'AP为对角行。29设V为n维线性空间，二为V上的可逆线性变换，匚一1为匚的逆变换，Iv表示恒等变换，证明：（1） ker 二 ker-Iv ， （ 2）；- Iv V =1二-Iv V。证明：（1）任取很三ker ；- J，则-1> =0，所以，从而- - 'V-,即二'Tv- 0，故二'- Iv

30、=0，所以：ker- Iv，从而 ker ；- Iv ker ；- g ， 同理 ker ；- Iv 二 ker ；二- g，故 ker ；- g 二 ker 二'- g。（2）因为二可逆，所以匚V =V=：'V，从而匚-J ViuL-lvi'V =二“7仝亠7 = Iv-o，V =；：'-lv V，故结论成立。证毕！ 注意：在有限维线性空间中，二可逆，则二为双射。但在无限维线性 空间中结论不一定成立。另外，还有 V=-V。30设A是数域P上的n阶方阵，R A =AX IX Mn P 1,N A二X Mn P |AX 4，贝S R A PIN Ai；0：= N

31、A1= N A。证明：=：设R A n N A产，由AX = 0,易知A2X = 0，显然有NA N A2。对于任意x N A，即A2X =0,所以A AX =0,从而AX N A ,又AX R A ,故由条件知AX =0 ,所以NA二NA2，故NA NA 2。 =:设 N A i=N A2，对任意的 X RAnNA，由 X NA，知 AX 二 0 由X R A ,知存在丫，使X二AY,则AX二A2Y,所以A2丫 = 0，由条件知AY -0，所以 X -0，故 R A "N A。证毕！31设二，是n维线性空间V上的两个线性变换，fi X , f2 X分别表示二和. 的特征多项式，如果

32、£ X与f2 X互素，则ker： ker f2 ；- O。 证明：因为fi X ,f2 X =1，所以存在多项式X ,v X，使得1 X fi X v X f2 X =1，从而fi vf2=1注意到f2 X是.的特征多项式，知f2 =0，所以 fi = I任意的：ker £ .,则fi :- =0，所以-=1fi :- -.=fi 厂 J 很 ii： 0，故 ker fu：。同理ker f2 -心。证毕！32 设 Wi,W2是n纟隹线性空间V的两个子空间，维 w 汕，维w二门2 , ni rt = n，则存在V的线性变换二,使ker ；丁二Wi,；V二w?。 证明：设12川

33、1，飞是Wi的一组基，i,- 2,|, n2 是 W2的一组基， 将i, 2JH ni扩充成V的一组基12,111,飞，i,llh -即n2 定义二：二=0,i=i2Mni；二j j, j =i,2,川,匕，显然这是一个线性变 换，并且ker ；丁二w,；V = w?，事实上：(i)显然 Wiker 二，任意的kerz ,则二=0,由-=ki VIII kni ：n1 liln2 n2，两边二作用，则0 - 十 1 71|程匚n2十1订11%，又：1川n2线性无关，知li =0,所以？ =« i | k® 飞 w，从而 ken二 w，故 ker ；：- w。（2）二 Vi；

34、 = L）i，匚'-2 JIL" F ,二 1 川1,二 n2 二 L >1,2l= W2 故匚V i=w2。证毕！33设V是数域F上的所有n阶对称矩阵形成的Mn F的子空间，令二 AV|trA=0?，w =氐 E| F?，（1）求证：w为 V 的子空间。（2）分 别求出-和w的一组基。（3）证明：VWw。证明：（1）只要证明.,w非空，并且对加法，乘法封闭。（证明略）-1（2）取G j （i式j畑=a» =1,其余为零 及知=0，却2 =0丿1 、100-1fa，11，*1n =04，则角1,%2,111忌,Wj是屮的一41 0b< -1>组基。

35、显然E为w的一组基。（3）任意的 A V,则 AY0E A-'0E ,其中=a11 a22 川 ann，n则0 w, A- '0 E -.，所以V w，又V二、w显然成立，故V “ w。对任意的Aw，则由B w，知B = E ；由B .，知tr B二 n，=0，所以，=0,故B = 0，即、D w - O，综上 V f w。证毕！34设二，是n维线性空间V的两个线性变换，且匚2 =-：；， kerpi=ker ， 证明：二:二。证明：任意的:V,因为二2 =；丁，所以匚2=匚，即二2v- 0从而- - - 0，故;- > - ker ；= ker ，所以 ；- - - 0

36、即- 0，故 y :=.:-。由的任意性知，二。证毕!35写出向量空间 V的ss_2个有限维子空间W|,w2,川,ws的相应维数 公 式并证明。/ s 、 S解：公式为： 维比 Wj =迟维(Wj )一 维(w, r)W2 维(W, + w2 )仃 w3 )维 Wi W2Wsj Dws证明：(数学归纳法)1) 当s = 2时，显然结论成立。2) 假设s-1时结论成立，下证当s时结论成立：、F S )、维IZ Wi 1=维！送 Wi +Ws 1 =维正 Wi 1+维(Ws 维(W1 +W2 + + Ws们 Ws )= Jy 丿ly 丿ly 丿Si送维(W )-维(Wi Wj 维(W 饨十&quo

37、t;+WS屮叫丄片维(WS)-维&W +W2知 +叫胡 W )=i 1s' 维 Wi ?-维 WiW2 -，一维 I) Wi 亠 W2 Ws2 PlWs一维 l)Wi 亠 W2 Ws 丄 n Wsi 土由归纳原理知，结论成立。证毕！36设二是n维欧式空间V上的线性变换，且匚2 =i,求证：；是V上的正交变换 二二是V上的对称变换。证明：在V中取一组标准正交基1，2,川，设二：1,：2川几 八1,：2川,n A 因为二2二i,所以A2=E，即A = A=:设匚是正交变换，所以AAT = E，从而A* = At，所以A = At，故二是V上 的对称变换。二：设二是V上的对称变换，则

38、A = AT，即A = AT，从而A为正交矩阵， 所以二为正交变换。37设J 是n维线性空间上的线性变换，且 二-匚 若二有k个 互异的特征值，.有s个互异的特征值，则二与.至少有max k,s个公共的不变子空间证明：设k _s,则max k,s=k，令、，2,川，“是二的k个互异的特征值- p ?,i =1,2J）|,k，因为；.-.；，所以 Vq是.的不变子空间，又V是CT的不变子空间，所以V=1,2,|n，k ）是6 E的k个公共的不变子空间。38设V是数域P上的n维线性空间,cci,ct2,川，召为V的一组基，V=L（M|q），= O,kP ，（ 1）证明:V2是V的子空间(2) V二

39、 V2。（3）设二是V上的线性变换，二在V的基:j,2,川，n下的矩阵是一个置换 矩阵A，则MM是的二不变子空间。（2）任意的打=V,则B =1% +02+ HI + ln=l1r/n、/n、/n、无li无liZ lili 二£ +l7色+m+l y«nl1 _nI2 _nln _ 'n<J<J< 丿)n证明：（1）证明略。" n 、 瓦li则b ：< ：-2 - : n Vnn 瓦li11亠nn' li1n亠n对任意的：v1 Av2，由圧u，知=k r L n，由v2，知nk =0,所以 k = 0，即：=0。故 V 二

40、V1 二 V2。广T1（3）1.任意的0 “1，则庐=k（%+冬+川+叫）*（%02，山,叫）+由1, ： 2,川,：n 二1,2,川，亠 A，知:二:：心，二2,IH-nT1）:/（GiS'lHen+J丿11）A ：=1,02,川,Gn4J丿所以，.三V，故v1是二的不变子空间%、zkki1hr=（旳,0（2，,5 ）Ab r=（。1,。2,Gn ）i4lknJ<kn J&in丿2.任意的 0 “2 , P =語朴2口2 + knOn =（。1,。2,£ ）:，所以 <kn .丿厂-厂1,2,n6：川* kn * V2，即飞，故V2是二的不变子空间。证毕

41、!39设n阶方阵A,B满足AB二A-B，证明：(1) 一1不是B的特征值(2)若B相似于对角形，则存在可逆矩阵P,使得PBP为对角形。 证明：(1)若，"是B的特征值，则存在，是B的属于，"的特征向 量，二=0，即 B、* ：= ：- o又因为 AB 二 A 一 B，所以 A B二 A - B：，即卩 A二 A一 ：，故:=0，这 与:-0相矛盾，从而假设不成立，故=1不是B的特征值(2)因为B相似于对角形，所以存在可逆矩阵P,使得 PBP =即 PAPPBP-E 二-P'BP，从而 PAP仏-1、h44<人-1<人n /，又因为 AB = A - B，

42、所以 P4APP1BP4AP4BP因为1=1，所以可逆，从而"一越51、1-1>n j，-n 1PAP =1 - '1,故结论成立。证毕!40设V是n维线性空间，匚是V上的线性变换，证明：存在V的另一线性变换.，使得c. -0，并且维宀VI亠维.V沪维V=n。证明：设GGIlLer是ker ；的一组基，扩充成V的一组基©,今|1,編，贝S (V)=L(<T(ey )|Q(en )且维(<i(V)=n_r，任取 aV,a = Ke “2：卅 1)+匕£ 定义二Ke kzd III k©，显然是线性变换。所以 E (V )=L(e,

43、e2,|,er )，则维 t； (V)=r，从而维(仃(V )+ 维(兀(V )= n 任意的：；eV.- . k1e1 - k2e2 krer 二 n，所以二二 0。证毕！41设A为n阶实方阵，证明：若对于任何n维实向量二0,都有TA < 0则A 的特征值的实部小于零。证明：设a bi是A的特征值，壽巧 :£，卩f Rn是A的属于a bi的特征向量， 所以 a bi I很亠i ：二 Ai* 亠i ：，从而 A 'A - = a-bj亠b i 则 A= a_：i b ：; A ： = b二：，所以：T A Ta，丁 ； 1T八-：=iT-?Ta'- 故+BtaB

44、二玄庖口+pT0)，所以玄"。证毕！42设A Mn P ,w=f A I f X百P I.X卜，求w的一组基及维数。证明：设mA X是A勺最小多项式，：mA X二m，则E,A,A2,川,Am，是w的 一组基，事实上：首先证明E,A,A2,|,Am线性无关，若E,A,A2,川,Am_线性相关，则存在 一组不全为零的实数ko,K,IH，km，使k°E KA川kmAm=O假设从右边数第一个不为零的实数为ki，令g X i=k0 &X川kjX, 则:：g X : m ,但是g A =0，这与mA X是最小多项式矛盾，从而 假设不成立，故E,A,A2,川,Am线性无关。再证明

45、w中任意元素都可由E,A,A2,IH,Am线性表出，对任意的 f X 卢 P X1，那么 mA X 除 f X P X 1 有 f X 二 mA X q X r X ， 其中 r X =0或:：r X ： ? mA X所以f A汀A是E,A,A2,川,Am的线性组合，即W中任意元素都可由E, A,A2JH, AmJ 线性表出。综上：E,A,A2,IH,Am，为W的一组基，并且维数为m。43设RlX 是次数不大于n的多项式空间(n釘)，w=f(X )| f=0,f (Xf P X，求证：w是一个线性空间并求其一组基。证明：(证明w是一个线性空间略)，下面求其一组基：取X -1,X2 -11, X

46、n -1，则这就是w的一组基，事实上：首先证明 X-1,X2-1|l|,Xn-1 的线性无关性，设 K X-1 飞 X2-1 III kn Xn-1=0 即 k1X "2X2 III knXn- k2 -11|-心=0，所以 =0，故 X-1X2-1 |X 1是线性无关的。再证明w中任意元素都可由 X-1,X2-1(l|,Xn-1线性表出，对于任意的f X w，设 f X 二30X11丨 anXn =30 a X-1 川 an Xn-1 2 山 an=31 Xan Xn -1 a| 3n，因为 f 1 =0，所以 a。0 川 3n =0即f X p X -1 III *n Xn -1

47、，故w中任意元素都可由xtx2t川,XnT线性表示。综上：X-1, X2-1,|l,Xn-1是w的一组基。44已知Mn R中线性变换T:TX =X XT,-X M. R ,求T的值域和X12X21IIIX1n 一 Xn10+IIIX2n 一 Xn2+Xn2+- X2 nIII+00解：设 X = ( Xj ),则 TX = X _ X T = X21hFlxni Xin广01、送送(xj Xjj )gj，其中剤=/,(i式j )L0丿故所有的反对称矩阵充满T的值域，所有的对称矩阵充满T的核44设Wi,W2是Vn的两个子空间，满足维 Wi W2二维WiCW2 1，证明：有w_ w2或吗二：叫。证

48、明：因为维(W| )+维(w2 )=维(W| +w2 )+维(W| Aw2 )，且维(W啟F纟维1 W?中1 所以 维w, 维w2二2维w, Plw2 1，因为维(wDwJ乞维(w )；维(W|p|w2戶维(W )所以上面两式中"兰"至少有一个"="成立。(否则，有维3门罐片1兰维(W )；维(w,riw2 )+1兰维(W2 )，贝卩2隹(Wp|w2 )+2兰维(W )+维(W )，从而2兰1，矛盾。) 所以维(wwJ二维(W 或维(wriw2 )=维(W )，即w, u w2或w w2。证毕！45设T是欧式空间Vn的一个正交变换，构造子空间M -匸0|0=飞,任意的 0V,V2 = : -T 严三 Vn /,证明：V 二 V2。证明：任意的r M,则0八0，任意的八-TV2，则：0, -T：二0,：. 口0,二10,二 n=0，所以 >01由-的任意性，知：0 V2-，所以V V2-。任意的卅三