向量基础知识及应用

1、向量基础知识及应用基本知识：1. 向量加法的定义及向量加法法则（三角形法则、平行四边形法则）；2. 向量减法的定义及向量减法法则（三角形法则、平行四边形法则）；3. 实数与向量的积入a .向量共线的充要条件：向量b与非零向量a共线的充要条件 是有且只有一个实数入，使得b =Xa 。4.向量a和b的数量积：a b =| a | | b |cos ，其中 为a和b的夹角。向量b在a上的投影：|b |cos，其中为a和b的夹角a 丄 b a b =05.向量的坐标表示：0A xi若向量a x, y，则 la |若 P1 ( Xi , yi )、P2 ( X2 , y2)，则Pi P2X2Xi,讨2

2、yi1 Pi P2 F %( X22xi)(y22yi)a bXiX2,yiy2rabXiX2, yiyaXi, yia? bXi X2yiya/bXi y2 X2 yi0aF bxi X2 + yi y2=0cos =XiX2目胡2(为向量的夹角）右 a = ( Xi,yi)；'222,Xi yi . X2 y26.向量的坐标运算及重要结论:b = ( X2, y2)7点P分有向线段PP2所成的比的RPPF2，或RPPP2P内分线段RP2时,0; P外分线段RP2时,0.8.定比分点坐标公式:xix2ii ，中点坐标公式:X-Ix22yi y2i9. 三角形重心公式及推导（见课本例

3、2）:10. 图形平移：设F是坐标平面内的一个图形,将F上所有的点按照同一方向移动同样长度（即按向量a平移），得到图形F',我们把这一过程叫做图形的平移。平移公式：X' X h 或 X X' hy' y ky y' k平移向量a = PP'= （h， k）应用:1.禾U用向量的坐标运算，解决两直线的夹角，判定两直线平行、垂直冋题例1已知向量OR,OF2,OF3满足条件OR OP2 OF3OROF2OF31，求三角形重心公式：(X1X2X3 y1 y2y3)( , 丿33证：RBE是正三角形解：令 0 为坐标原点，可设 R cos 1,sin 1

4、, R> cos 2,sin 2 , F3 cos 3,sin 3由 OR OR2OF3，即 cos 1,sin 1 cos 2,sin 2cos 3 sin 3cos 1 cos 2 cos 3 sin 1 sin 2 sin 3 、 1两式平方和为1 2cos 12 1 1 , cos 12，由此可知2为1200，即OR与OP；的夹角为1200，同理可得OR与OF3的夹角为 1200, OR7与OR的夹角为1200，这说明RnR三点均匀分部在 一个单位圆上，所以RR.R为等腰三角形例2求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的度数解：如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y

5、12的最小正角轴建立直角坐标系，设 A 2a,0 , B 0,2a，则D a,0 ,C 0,a ,从而可求：AC2a, a , BDa, 2a ,cos -AC BD2a,a a, 2aACBDT5a J5a4a24arccos4=5a25 .5 .22.禾U用向量的坐标运算，解决有关线段的长度问题2122 BC例3已知 ABC , AD为中线，求证 AD2 - AB2 AC22 2证明：以B为坐标原点,以BC所在的直线为x轴建立如图2直角坐标系，设A a,b ,C c,0 ,|,0 2，则ADb2acb2, 2AB 2AC从而b2A"2 ab2ac2 c4>12BC11AD2

6、-AB2 AC22222.2 Cc a b4BC3.利用向量的坐标运算，用已知向量表示未知向量 例4已知点O是ABC 内的一点，AOB 1500,BOC 900,设 OA a,OBb,OC c,且 a2,b1, c3,试用a,和b表示g解：以O为原点,由 OA=2 ，B 0,-1，C 3,0x轴和y轴建立如图3所示的坐标系.5,所以1 0,-1OA 1OB 2OC,即-1, 3OC, OB所在的直线为AOx 1200a<3b !c.解：以O为坐标原点，以OA所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则A 1,0 ,005 3 5所以 C5cos30 ,5sin 30，即 C ，-,2

7、2由 COA 300,同理可求BOC lOA2OB,即53 52 210 335.335 3 二 OB.310 3 -OA34.利用向量的数量积解决两直线垂直问题例6求证：三角形的三条高交于同一点分析如图，已知 ABC中，由ADOCBC, BE AC，AD BE H ,要证明CH AB,利用向量法证明CH AB，只要证得CH AB 0即 可；证明中，要充分利用好 AH BC 0 , BH CA 0这两个条件.证明： AD BC,H 在 AD 上， AH BC 0 而 AH(CH CA) BC 0, 即卩 CH BCCABC0又 BH AC,BH CHCB,BHAC0 即(CHCB) AC 0C

8、H AC CB AC 0-得：CH BC CHAC0,即CHBC AC0从而 CH BA 0 , CHAB ,CH1 AB.5.利用向量的数量积解决有关距离的问题，距离问题包括点到点的距离，点的线的距离,点到面的距离，线到线的距离，线到面的距离，面到面的距离例7求平面内两点 A(x1,y1), B(x2, y2)间的距离公式分析已知点A(xi,yd B(X2,y2)求代B两点间的距离|AB|,这时，我们就可以构造出向量 AB，那么 AB (x2 x1,y2 y1),而 | AB | | AB |，根据向量模的公式得|AB| . (x2 x1)2 (y2 y1)2，从而求得平面内两点间的距离公式

9、 为 |AB| .区X1)2yj2 .解：设点 A(xi, yi), B(x2, y2)， AB (x?yj| AB| . (X2 Xi)2 (y2 yi)2，而 | AB| | AB|点A与点B之间的距离为：|AB| .(X2%)2 (y2 yj26利用向量的数量积解决线与线的夹角及面与面的夹角问题 例 8 证明：cos( ) cos cos sin sin则 向 量分析如图，在单位圆上任取两点 代B,以 Ox为始 边，OA,OB为终边的角分别为 ，设出A,B两点的坐 标，即得到 OA,OB的坐标，贝U为向量OA,OB的夹角；利用向量的夹角公式，即可得证 .证明：在单位圆 O上任取两点 代B

10、,以Ox为始边， 以OA, OB为终边的角分别为，则A点坐标为(cos,sin),B占坐八、.T ；标为(cos , sin )；OA(cos,sin ), OB(cos,sin)，它们的夹角为，|OA|OB|1, OA OBcos cossin sin，由向量夹角公式得cos()OA OBcoscossin sin，从而得证|OA|OB|注：用同样的方法可证明cos()cos cos sin sin7利用向量的数量积解决有关不等式、最值问题2例9证明柯西不等式(2 2yi ) (X22y2 ) (xiX2yiy2)2证明：令 a (Xi，yi),b(X2, y?)(1)当a 0或b0时，abXiX2y20,结论显然成立;(2)当a 0且b0时，令为a,b的夹角，则0,a bx1x2 y1y2 |a |b | cos .又 |cos | 1|a b| |a|b| (当且仅当a/b时等号成立)|xiX2 yiy21 .x； y：x 最(/ %2)化2