万有引力天体的运动

1、第十讲万有引力天体的运动知识点击1开普勒定律第一定律（轨道定律）：所有行星分别在大小不同的椭圆轨道上围绕太阳运动。太阳是在这些椭圆的一个 焦点上。第二定律（面积定律）：对每个行星来说，太阳和行星的连线（叫矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。AS 1“面积速度”：_三二丄si nr （ 0为矢径r与速度：的夹角）At 2第三定律（周期定律）：所有行星的椭圆轨道的半长轴的三次方跟公转周期的平方的比值相等。即：T2a32万有引力定律万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的.任何两个质点之间引力的大小跟这两个质点的设M为地球的质量,g为地球表面的重力加速度.在地球表面附近（h ： ： R ）处

2、：GMmR2GM=9.8m/s 2 yR2在地球上空距地心r=R+h 处：gr =GM2 rOrg在地球内部跟离地心r处：gr =GM2lr4 r332rrgRg3行星运质量的乘积成正比，跟它们的距离的二次方成反比.-GMm, rG =6.67 10J1N m2/kg2，称为引力常量.重力加速度的基本计算方法动的能量行星的动能当一颗质量为m的行星以速度：绕着质量为M的恒星做平径为r的圆周运动:Mm2r行星的势能对质量分别为M和m的两孤立星系，取无穷远处为万有引力势能零点， 当m与M相距r时，其体系的引力势能：E-GMmr仃星的机械能：E = Ek Ep m -GG -2r2r4宇宙速度和引力场

3、宇宙速度（相对地球）第一宇宙速度：环绕地球运动的速度（环绕速度）第二宇宙速度：人造天体发射到地球引力作用以外的最小速度（脱离速度）第三宇宙速度：使人造天体脱离太阳引力范围的最小速度（逃逸速度）引力场、引力半径与宇宙半径.对于任何一个质量为 M半径为r的均匀球形体系都有类似于地球情况下的这两个特征速度如果第二宇宙速度超过光速，即2GMr :c2在这种物体上，即使发射光也不能克服引力作用，最终一定要落回此物体上来，这就是牛顿理论的结论,r值被称为引力半径，记为近代理论有类似的结论，这种根本发不了光的物体，被称为黑洞，这个临界的rg2GM2C用地球质量代入，得到rg 0.9 cm，设想地球全部质量缩

4、小到1 cm以下的小球内，那么外界就得不到这个地球的任何光信息.43如果物质均匀分布于一个半径为 r的球体内，密度为p，则总质量为M二二r33432G -兀 g P 又假设半径r正好是引力半径，那么rg3c得rg(3c8 G :)2此式表示所设环境中光不可能发射到超出rg的范围，联想起宇宙环境的质量密度平均值为10-29g/cm3，这等于说，我们不可能把光发射到1028cm以外的空洞，这个尺度称为宇宙半径.天体运动中一类应用开普勒定律的问题，解这类问题时一定要注意运动的轨道、面积、周期，但三者之间也是 有关联的，正因为如此，解题时要特别注意“面积速度”。例2 物体A由离地面很远处向地球下落，

5、落至地面上时，其速度恰好等于第一宇宙速度. 已知地球半径R=6400 km.若不计物体在运动中所受到的阻力，求此物体在空中运动的时间。分析和解：物体落至地面时其速度值为第一宇宙速度值，即：- = . Rg上式中R为地球半径，g为地球表面处的重力加速度。设A最初离地心的距离为r，则由其下落过程中机械能守恒，应有：m： 2 -gME二-gME2Rr且 GM=gR联立上三式可解得：r=2R物体在中心天体引力作用下做直线运动时，其速度、加速度是变化的，可以将它看绕中心天体的椭圆轨道运动，将其短轴取无限小。这就是我们通常所说的“轨道极限化”。物体A下落可以看成是沿着很狭长的椭圆轨道运行，其焦点非常接近此

6、椭圆轨道长轴的 两端，如图6 2所示，则由开普勒第一定律， 得知地心为椭圆的一个焦点则椭圆长半轴为a=R图62R）的圆轨道运行的周期相又由开普勒第三定律，物体沿椭圆轨道运行的周期和沿绕地心（轨道不计为 等其周期为:再由开普勒第二定律得:SoT11S ab ab, S0 = ab42天体质量（密度）1 -：ab 1ab 42二 abR 二 R 3.146400 10332】g =（21） g1）2.06 103s9.8的计算问题往往是由万有引力定律和向心力公式建立天体计算的基本方程,解题时一般要注意中心天体与运动卫星关系的建立,同时还要注意忽略微小量（次要因数）的问题，这是解决这类问题的两个非常

7、重要的因数。例3新发现一行星，其星球半径为6400 km,且由通常的水形成的海洋覆盖它所有的表面，海洋的深度为10km,学者们对该行星进行探查时发现,当把试验样品浸入行星海洋的不同深度时,各处的自由落体加速度以相G=6. 67 X 10-11N H7 kg 2。当高的精确度保持不变试求此行星表面处的自由落体加速度已知万有引力常量分析和解：解本题的关键就在于首先要建立中心天体和运动卫星，才能运用基本方程式求行星表面处的自由落体加速度，若把水视为运动卫星群，则关键是如何求中心天体的质量。以R表示此星球的半径，M表示其质量，h表示其表面层海洋的深度， R0表示除海洋外星球内层的半径，r 表示海洋内任

8、一点到星球中心的距离.贝V:R r R0 ,且R = R h,以p水表示水的密度.则此星球表面海洋水的总质量为4 3434223m R水R0 i 水水(3Rq h 3R0h h)333因R»h,略去h高次项，得 m =4二水R2hMmR2=mg表，GM(M -m)mGr2认，goG( M - m)R2依题意：g表=g0，即:M _( M-m)_( M -m)R2 一R2_( R-h)222Rh hG 4- '水 R3hR2 2h11223362将 G= 6. 67 x 10- N m/kg , p 水=1. 0X 10 kg/m , R= 6.4 x 10 m 代入得：g 表

9、=2. 7 m/s 。类型三、天体运动的能量问题要注意在轨运行的卫星的机械能，然后利用机械能的改变及功能原理来解题,这是因为卫星的运行轨道变化既要注意其变轨机理，又要符合能量原理。f的微弱阻力作用，以r表示卫星例4质量为m的人造地球卫星，在圆形轨道上运行运行中受到大小恒为轨道的平均半径，M表示地球质量，求卫星在旋转一周的过程中:(1) 轨道半径的改变量 A r= ?(2) 卫星动能的改变量 A Ek=?分析和解：因卫星沿圆形轨道运动，则1 2 GMm m"：=2 2r则卫星的机械能为GMm2rGMm _ GMmr2r(1) 设卫星旋转一周轨道半径改变量为r，则对应机械能改变量为GMm

10、 GMm GMm z 11_(2( r ：r)2r 2 r r：r11“=r= 2 r r = r r (r ' =r) rGMm=r根据功能原理：3W=A E,即-2rf二2 r，.订-，负号表示轨道半径减小。2rGMm2r2(2)卫星动能的改变量为:"EkGMm GMm2( r 衍)2rGMm21r : -rGMm .2 r =2r23GMm /4二 r f、2( () = 2- rf天体运动的于由2r2 GMm速度问题实质上就是两个问题:一个是摆脱引力场所需要的能量的问题；一个是能量的来源问题。而能量要么来源于燃料，要么来源于碰撞。例5宇宙飞行器和小行星都绕太阳在同一平

11、面内做圆周运动，飞行器的质量比小行星的质量小很多，飞行器的速率为：° ,小行星的轨道半径为飞行器轨道半径的6倍。有人企图借助飞行器与小行星的碰撞使飞行器飞出太阳系，于是他便设计了如下方案：1 当飞行器在其圆周轨道的适当位置时，突然点燃飞行器上的喷气发动机，经过极短时间后立即关闭发动机，以使飞行器获得所需的速度，沿圆周轨道的切线方向离 开圆轨道；飞行器到达小行星的轨道时正好位于小行星的前缘，速度的方向和小行星在该处速度的方向相同，正好可被小行星碰撞；川小行星与飞行器的碰撞是弹性正碰。不计燃烧的燃料质量.(1) 试通过计算证明按上述方案能使飞行器飞出太阳系.(2) 设在上述方案中，飞行器

12、从发动机取得的能量为 Ei.如果不采取上述方案而令飞行器在圆轨道上突然 点燃喷气发动机，经过极短时间后立即关闭发动机，以使飞行器获得足够的速度沿圆轨道切线方向离开圆轨道后能直接飞出太阳系采用这种办法时飞行器从发动机取得的能量的最小值用E2表示.冋Ei为多少?E2分析和解：(1)设太阳的质量为 M,飞行器的质量为 m飞行器绕太阳做圆周运动的轨道半径为R。根据所设计的方案，可知飞行器是从其原来的圆轨道上某处出发，沿着半个椭圆轨道到达小行星轨道上的.该椭圆既与飞行器原来的圆轨道相切， 又与小行星的圆轨道相切. 要使飞行器沿此椭圆轨道运动，应点燃发动机使飞行器的速度在极短时间内，由-0变为某一值U0.

13、设飞行器沿椭圆轨道到达小行星轨道时的速度为u,因为大小为U0和u的这两个速度的方向都与椭圆的长轴垂直，由开普勒第二定律可得uo R= 6 Ur(1)由能量关系，有1 2 M om 12 M ommuo -Gmu -G2 R 26R由万有引力定律,(3)解(1) (2) ( 3)三式得Uo =0V,(4), U =(5)设小行星绕太阳运动的速度为小行星的质量为M由万有引力定律G MoM2 =M(6RV26。，得 vGM6R 6R(6)可以看出V>u由此可见,只要选择好飞行器在圆轨道上合适的位置离开圆轨道,使得它到达小行星轨道处时，小行星的前缘也正好运动到该处，则飞行器就能被小行星撞击。可以

14、把小行星看作是相对静止的，飞行器以相对速度V -U射向小行星，由于小行星的的质量比飞行器的质量大得多，碰撞后，飞行器以同样的速度V - U弹回,即碰撞后，飞行器对小行星的速度的大小为V -u，方向与小行星的速度的方向相同，故飞行器相对太阳的速度为 uV V -u =2V -u或将(5) (6)式代入得u12/ 0(8)如果飞行器能从小行星的轨道上直接飞出太阳系，它应具有的最小速度为"亠 12 M 0mu2则有严2-G飞厂0得gm。1得 U21 3R 二3 0(9)可以看出5 = J3(V2 一寺10 ： 3 0 = u2(10)飞行器被小行星撞击后具有的速度足以保证它能飞出太阳系.(

15、2)为使飞行器能进人椭圆轨道，发动机应使飞行器的速度由 0增加到U0,飞行器从发动机取得的能量/C、1212112 21252(3)E1mu0 - m： 0 m ： 0 - m 0 m 01202027020140(11)若飞行器从其圆周轨道上直接飞出太阳系，飞行器应具有最小速度为亠1 2M0mU3，则有一muf-G 002R由此得 u3 = . 2G M° 二(12)飞行器的速度由 0增加到U3,应从发动机获取的能量为1 2 1 2E2 mu3 m 02 252所以旦=140.71E2122 m 02天体运动的宇宙速度问题实质上就是两个问题:(13)(14)一个是摆脱引力场所需要的

16、能量的问题；一个是能量的来源问题。而能量要么来源于燃料，要么来源于碰撞。天体运动的机械能守恒二体系统的机械能E为系统的万有引力势能与各天体的动能之和。仅有一个天体在运动时，则E为系统的万有引力势能与其动能之和。由于没有其他外力作用，系统内万有引力属于保守力，故有机械能守恒，E为一恒量，如图4-10-1所示，设M天体不动，m天体绕M天体转动，则由机械动能守恒，有-GMm 12-GMm 12Emv1mv2r-i2r22当运动天体背离不动天体运动时，Ep不断增大，而Ek将不断减小，可达无穷远处，此时 Ep =0而Ek>0,则应满足E>0,即-GMmmv2 _0 r 2例如从地球发射人造卫

17、星要挣脱地球束缚必有2GM »2Rg=11.2kmsR我们称v=11.2km/s为第二宇宙速度，它恰为第一宇宙速度为 倍。另外在上面的二体系统中，由于万有引力属于有心力，所以对mv r =恒量m而言，遵循角动量守恒mvr sin v -恒量二是v与r方向的夹角。它实质可变换得到开普勒第二定律,即行星与恒星连线在相等时间内扫过面积等。天体运动的轨道与能量若M天体固定，m天体在万有引力作用下运动,其圆锥曲线可能是椭圆（包括圆）、抛物线或双曲线。i ）椭圆轨道如图4-7-1所示，设椭圆轨道方程为2 2X-丄=1a2 b2（a>b）则椭圆长，短半轴为a、b，焦距c二v2 -b2，近地点速度v1，远地点速度v2，则有l 12 GMm 12 GMmEmv1mv22a c 2a 十cmvda _c) = mv2(a c)或由开普勒第二定律:尹心_c）v2(a c)2 2可解得W = f'(a +c)GM /(a -c) a召V2 = . (a -c)GM /(a c) a代入E得GMm2a：0ii）抛物线设抛物线方程为y = Ax2太阳在其焦点（0,4A）处，则m在抛物线顶点处能量为可以证明抛物线顶点处曲率半径GMm 11 严-4AGMm一丄A，则有mv02/ 匸二 GMm /(丄)24A得到抛物线轨道能量v0 =、8AGME