人教版数学必修一笔记

1、第一章 集合与函数的概念1.1 集合1.1.1 集合的含义与表示1.集合的性质：确定性、互异性（无重复）、无序性（杂乱无章的）2.集合分类：按集合中元素的多少分：有限集、无限集、空集 按集合中元素的性质分：数集、点集、多项式集、几何图形集3.集合的表示方法：列举法 如：A=a，b，c 描述法：文字描述法 如：B=三角形 式子描述法 如：C=x|x2+2x-304.常用数集表示方法：非负整数集 N 正整数集 N*或N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集R1.1.2 集合间的基本关系一、子集的概念 见课本P6二、子集的性质1.规定：空集是任何集合的子集；2.任何一个集合是它本身的子集，即AA3.对

2、于集合A、B、C，如果AB，且BC，那么AC（传递性）1.1.3 集合的基本运算一、并集 定义：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作AB（读作“A并B”），即AB=x|xA，或xB性质：A=A；AA=AAB=BA（AB）C=A（BC）ABA且ABB并集的概念还可以推广到n个集合并的情形.A1A2An=x|xA1或xA2或或xAn二、交集定义：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B交集，记作AB（读作“A交B”），即AB=x|xA，且xBA=；AA=AAB=BA（AB）C=A（BC）ABA且ABB交集的概念也可以推广到n个集合交的情形.A1A

3、2An=x|xA1且xA2且且xAn注意：1.要区别“或”与“且”的不同，集合的并与交从定义上看就是一字之差； 2.集合取并，越并越“大”，集合取交，越交越“小”。三、补集定义：1.全集：如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U。2.补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相当于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作CUA，即CUA=x|xU，且xA性质：CU=U；CUU=CUAA=；CUAA=UCU（CUA）=A例题： 1.设二次方程：x2-px+15=0，x2-5x+q=0的解集分别为A、B，且AB=2、3、5，

4、AB=3，试求A、B及p、q的值。解：因为AB=3 所以3是两个方程的公共根，分别代入其方程得： 32-3p+15=032-15+q=0解得p=8，q=6所以原方程分别为x2-8x+15=0，x2-5x+6=0设它们的另一根分别为和。由一元二次方程的根系关系得： 3=15 3=6 =5 =2所以A=3，5 B=2，32.已知全集U=1，2，3，4，5，6，7，8，9，AB=2，（CUA）（CUB）=1，9（CUA）B=4，6，8，试确定A，B。 解：因为AB=2 所以2为A，B的公共元素。 又因为（CUA）B=4，6，8，可知B=2，4，6，8 又由（CUA）（CUB）=1，9 所以1，9两元

5、素在A、B两集合外 从而可知A=2，3，5，7，B=2，4，6，83.若A=2，4，a3-2a2-a+7，B=-4，a+3，a2-2a+2，a3+a2+3a+7，且AB=2，5， 试求实数a的值。 分析：A中已有元素2，另一代数式的值必为5，故可求a的值分别代入B中的代数式进一步确定a值。解：由已知a3-2a2-a+7=5 即（a+1）（a-1）（a-2）=0 所以a=1或a=2 将a=1，2分别代入B中的元素a+3，a2-2a+2，a3+a2+3a+7 若a=-1得2，5，4这与条件AB=2，5矛盾 若a=1得不到2，5这也与条件AB=2，5矛盾，仅有a=2符合条件。 所以a=2为所求1.2

6、 函数及其表示1.2.1 函数的概念一、预备知识1.关于区间见课本P172.映射的概念设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。二、函数概念1.定义见课本P162.函数三要素：定义域（函数自变量x的取值范围）、值域（函数值的取值范围）、对应法则（自变量x 与函数值f（x）之间的对应法则）1.2.2 函数的表示法一、函数的三种表示方法：解析法、图像法和列表法二、复合函数若y=f（u），u=g（x），则称函数y=fg（x）是函数y=f（u）与函数u=g（x）的复合函

7、数。例题： 1.已知f（x）=2x-1，g（x）=，求f（x2）、fg（x）、gf（x）+2解：f（x2）=2x2-1fg（x）=2g（x）-1=2（）-1=gf（x）+2=g（2x-1）+2=g（2x+1）=2.下列各组中函数是否是同一函数，为什么？分别画出它们的图像。y=x-3与y=S=r2（r0）与y=x2（x0）与y=x2（xR）y=与y=x解：函数y=x-3与y=|x-3|定义域相同，值域不同，故不是同一函数。 其图像如下图所示： S=r2（r0）与y=x2（x0）的定义域与对应法则相同，因而值域也相同只是变量的字母不同，因此它们是同一函数。而函数y=x2（xR）的对应法则虽然与它们

8、相同，但其定义域不同，故不是同一函数。它们的图像如下图：y=与函数y=x的定义域不同，因而不是同一函数，其图像分别为： 3、y= y= 解：要使函数有意义，须且只须x0，1 所以D=（-，0）（0，1）（1，+）要使函数有意义，只须x2+2x-30，即x-3或x1 所以D=（-，-31，+）4、已知f（x+1）=x2+3x+1，求f（x）的解析式。 解法1（变量代替法） 另x+1=u，则x=u-1 代入已知f（u）=（u-1）2+3（u-1）+1=u2+u-1 所以f（x）=x2+x-1 解法2（定义法） 因为f（x+1）=（x+1）2+x=（x+1）2+（x+1）-1 所以f（x）=x2+x

9、-1 解法3（待定系数法） 设f（x）=ax2+bx+c则f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+c=ax2+（2a+b）x+c但f（x+1）=x2+3x+1 a=1 a=1所以 2a+b=3 b=1 a+b+c=1 c=-1所以f（x）=x2+x-15、求下列各函数的值域 y= y=2x-3+解：y=+ 而y1=0 所以y=+y1 所以y（-，）（，+）由4x-130，则已知函数的定义域为x|x 设t=，则x= 于是y=2（）-3+t=（t+1）2+3 由t0，则（t+1）2 所以y=（t+1）2+3+3= 所以函数值域为，+）1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性和最大（小）值一、单

10、调性定义：课本P28注意1：函数的单调性是针对某个区间而言的，离开了具体的区间就无所谓函数的单调性。注意2：由定义可以证明y=f（u），u=g（x），当它们的增减性相同时复合函数y=fg（x） 在其定义域上为增函数；当它们的增减性相反时复合函数y=fg（x）在其定义域上为减函数。二、最大值定义：课本P30最小值定义：设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数m满足： 对任意的xI都有f（x）m；存在x0I使得f（x0）=m那么，我们称m是函数y=f（x）的最小值。三、函数的极值与最值的区别：1.在给定区间上函数的最值是唯一的，而函数的极值不是唯一的；2.在给定区间上函数的最大值一般大于函数的

11、最小值，而函数的极大值不一定大于函数的极小值；3.函数的最值揭示的是函数在整个给定区间的性态，而函数的极值揭示的是函数在给定区间上某个点附近的性态。例题： 1、根据函数的单调性的定义证明：函数f（x）=ax2+bx+c（a0）在-，+）上是增函数。证明：任取x1，x2-，+）设x1x2因为-x1x2且a0所以-b2ax12ax22ax1+2ax2-2b即a（x1+x2）+b0又因为x1-x20所以f（x1）-f（x2）=（ax12+bx1+c）-（ax22+bx2+c） =a（x12+x22）+b（x1-x2） = a（x1+x2）+b （x1-x2）0所以f（x1）f（x2）因此f（x）=a

12、x2+bx+c（a0）在-，+）上是增函数。2、判断函数f（x）=-x3+1在（-，0）上是增函数还是减函数，并证明你的判断；如果x（0，+），函数f（x）是增函数还是减函数？解：在（-，0）上任取x1，x2，且x1x2因为f（x1）-f（x2）=（-x13+1）-（-x23+1） =（x2-x1）（x22+x1x2+x12） =（x2-x1）（x2+）2+ x12又因为x2-x10（x2+）2+ x120所以f（x1）-f（x2）0即f（x1）f（x2）故f（x）=-x3+1在（-，0）上是减函数。说明：在上述证明中，x22+x1x2+x12是不完全平方项，配方可知其是一个正数。事实上若（x

13、2+）2+ x12=0，则必有x1=x2=0，这与已知矛盾。同理可证：当x（0，+）时，函数f（x）仍然是减函数。由以上可知证明函数单调性有以下步骤：取点：设x1、x2是所给函数在给定区间两个任意值，且x1x2作差：根据已知函数的解析式作出f（x1）-f（x2）判断：判断f（x1）-f（x2）与0的大小，即比较f（x1）与f（x2）的大小结论：由函数单调性定义得出结论3、讨论函数的单调性： f（x）=（-1x1，a0） 解：设-1x1x21则 f（x1）-f（x2）=- = 由于x2-x10，x1x2+10，（x1+1）（x1-1）（x2+1）（x2-1）0 所以当a0时，f（x1）f（x2）

14、，此时f（x）为增函数 当a0时，f（x1）f（x2），此时f（x）为减函数。1.3.2 奇偶性一、定义：偶函数：课本P33奇函数：课本P35注意：1.由函数的奇偶性定义可知，定义域关于原点对称是函数具奇偶性的必要条件。 例如：f（x）=x2（x0）是非奇非偶函数。2.可以证明若函数f（x）的图像为曲线C，那么 f（x）是偶函数f（x）的图像曲线C关于y轴对称。 f（x）是奇函数f（x）的图像曲线C关于原点对称。 因此，从本质上说函数的奇偶性，反映的是函数图像的对称性，它的函数在整个定义域上的性态。3.由定义容易证明：在公共定义域上 奇函数奇函数=偶函数 偶函数偶函数=偶函数奇函数偶函数=奇函

15、数例题：1、判断下列函数的奇偶性。f（x）=+f（x）=（x-1）f（x）=f（x）=+解：f（x）的定义域为-1，1，关于原点对称。 又f（-1）=0=f（1） 所以f（-1）=f（1），且f（-1）=-f（1） 所以，f（x）既是奇函数，又是偶函数。f（x）的定义域为-1，1），关于原点不对称，故f（x）既非奇函数又非偶 函数。由已知1-x20，2-|x+2|0 可知f（x）的定义域为：-1，0）（0，1 此时f（x）= f（x）=-f（x） 所以f（x）是奇函数。f（x）的定义域为x|xR，x0关于原点对称 又f（x）+f（-x）=+ =+1 =+1 =0所以f（-x）=-f（x）故f（

16、x）是奇函数。 说明： 1.判断奇偶性宜先检查函数的定义域是否关于原点对称。 2.存在着既是奇函数又是偶函数的函数。即：f（x）=0（定义域关于原点对称） 3.如下等价定义，有时会给判定函数的奇偶性带来不小的方便。 f（x）是奇函数f（x）+f（-x）=0=-1（f（x）0） f（x）是偶函数f（x）-f（-x）=0=1（f（x）0）2、判断下列函数的奇偶性f（x）=f（x）=解：f（x）的定义域为R f（-x）+f（x）=+=0 所以f（-x）=-f（x），所以f（x）为奇函数。 分析：由于所给函数为分段函数，虽然可以用定义法判断奇偶性，但需要分段讨论，观察到每段区间上的解析式并不复杂，很容

17、易画出函数图像，直观判断出奇偶性解：画出已知函数如图所示利用函数的图像很容易判断f（x）为偶函数。3、已知f（x）是R上的奇函数，且当x0，+）时f（x）=x（1+），求当x-，0）时f（x）的解析式。解：设x（-，0），则-x（0，+）所以f（-x）=-x（1+）=-x（1-）又因为f（x）是R上的奇函数所以f（x）=-f（-x）= x（1-）综合运用1、设函数f（x）的定义域为R，且对任意的x、yR都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x0时f（x）0，f（1）=-2，求f（x）在-3，3上的最大值和最小值。分析：此题未给出具体函数的解析式，求最大、最小值可考虑利用f（x）的单调性，而欲

18、证单调性就要确定f（x1）-f（x2）的符号，而已知函数方程中只有f（x）+f（y）=f（x+y），因此又必须处理负号，也就是要先确定f（x）的奇偶性。解：令x=y=0，则f（0）=2f（0），即f（0）=0以-x代y则有f（x-x）=f（x）+f（-x）即f（x）+f（-x）=f（0）=0设x1x2，则x2-x10，此时f（x2-x1）0f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）=-f（x2-x1）0所以f（x）为减函数当-3x3时，有f（3）f（x）f（-3）因为f（1）=-2所以f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=f（1+1）+f（1）=3f（1）=-6f

19、（-3）=-f（3）=6所以当x=-3时，f（x）有最大值6；当x=3时，f（x）有最小值-62、已知f（x）是奇函数，定义域为（x|xR，x0）又f（x）在区间（0，+）上是 增函数，且f（-1）=0。则满足f（x）0的x的取值范围是（C） A.（1，+） B.（0，1） C.（-1，0）（1，+） D.（-，1）（1，+） 解：因为f（x）是奇函数所以f（1）=-f（1）=0 利用f（x）在（0，+）上是增函数，结合f（1）=0 画出f（x）在（0，+）上的图像，再利用f（x）是 奇函数，完成整个定义域上的图像。如图所示，由图像 直观得到f（x）0的解集为（-1，0）（1，+）3、设f（x

20、）在R上是偶函数，在区间（-，0）上递增，且有f（2a2+a+1）f（3a2+a+1）。求a的 取值范围。解：由f（x）在R上是偶函数，在区间（-，0）上递增知f（x）在（0，+）上递减因为2a2+a+1=2（a+）2+03a2+a+1=3（a-）2+0且f（2a2+a+1）f（3a2+a+1）所以2a2+a+13a2+a+1即a2-3a0解之得0a3练习：已知y=f（x）是偶函数，且在0，+）上是减函数，求函数f（1-x2）的单调增区间。分析：设u=1-x2，则函数f（1-x2）是函数f（u）与函数u=1-x2的复合函数。因此这是一个判断复合函数单调性的问题，需要用到复合函数单调性的判断法则

21、。解：设u=1-x2，则函数f（1-x2）是函数f（u）与函数u=1-x2的复合函数。因为f（x）是偶函数，且在0，+）上是减函数所以f（x）在（-，0）上是增函数因为当0x1时，u是减函数，且u0。如图所示：而u0时f（u）是减函数根据复合函数单调性判断法则，可得f（1-x2）是增函数。同样，当-x-1时，u是增函数，且u0。而u0时，f（u）是增函数。根据复合函数单调性判断法则，可得f（1-x2）是增函数。所以在区间（-，-1或区间0，1函数f（1-x2）是增函数。说明：确定复合函数的单调性是一个比较困难，比较容易出错的问题。确定x的取值范围时，必须考虑相应的u的取值范围。例如在上面练习中

22、x1时，u仍为减函数。但此时u0不属于f（u）的减区间。所以不能取x1这是应当特别注意的，考察u的（有时还有f（u）单调性时，画出图形帮助思考，更为有利。第二章 基本初等函数（）2.1 指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算一、指数概念的扩充回顾：在初中我们定义了指数的概念an=aaaaa（n个a相乘）其中a叫底数，n叫做指数。an称为a的n次方或a的n次幂，于是我们得到：1.正整数指数an=aaaaa（n个a相乘）并且由此我们得到：指数的运算法则aman=am+n；aman=am-n（ab）n=anbn（am）n=amn；其中m、nN*随着人们对指数认识的深化，我们又得到：2.零指数a0=1

23、（a0）注意：零的零次幂没有意义。3.负整数指数a-n=，其中nN*至此我们把指数扩充到整数范围。4.分数指数=（其中a0，m、nN*，且n1）=（其中a0，m、nN*，且n1）此时整数指数幂的运算法则对于有理数指数幂也同样适用，即：对任意有理数r、s均有下面的运算性质aras=ar+s（a0，r，sQ）；（ar）s=ars（a0，r，sQ）；（ab）r=arbr（a0，b0，rQ）于是指数的概念扩充到有理数。利用实数的理论，我们还可以得到无理指数幂的概念：设是无理数，a0，则a是一个确定的实数，并且有理指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂。二、指数运算法则aman=am+n；（am）n=a

24、mn；（ab）n=anbn。其中m、nR，a0，b02.1.2 指数函数及其性质定义：形如y=ax（其中0a1）的函数称为指数函数。定义域：xR，值域：yR+图像与性质：性质：对任意xR，ax0；过定点（0，1），即x=0时y=1；当0a1时，在R上是减函数；当a1时，在R上是增函数。例题分析1、选择题236-2+9-233=（D） A. B.9 C. D.解：原式=232-23-2+（32）-233=23-2+3-1=+=设a=，b=，c=，则a、b、c大小关系为（C） A.abc B.abc C.bac D.bca 解：因为a=，b=，c= 所以523330 所以bac设x+x-1=2，则

25、x2+x-2的值是（C） A.0 B.4 C.2 D.1 解：x2+x-2 =（x+x-1）2-2xx-1 =22-2 =22=（B） A.0 B.4 C.2 D.1 解：原式=2222=22=4（）+（-88.1）0+（0.008）=（D） A.1 B.3 C.5 D.6 解：原式=+1+ =62、填空题化简+= 解：原式= = =已知x+x-1=5，则x3+x-3的值为110 解：因为x3+x-3=（x+x-1）（x2-xx-1+x-2） =（x+x-1）（x+x-1）2-3 =5（25-3） =110化简=a-2 解：原式=（aa）（a-5）（a）13 =（a0）（aa） =（a-4）

26、=a-2（2）0.5+0.1-2+（2）-30+=100 解：原式=（）+（）-3+ =+100+-3+ =100计算+= 解法1 原式=+ =-+ = 解法 2 另x=+（x0） 两边平方得x2=5-+5+ =12 因为x0，所以x=计算： 解：另x= 则x3=2+2-+3（） 即x3=4+（-3x） 所以x3+3x-4=0 （x-1）（x2+x+4）=0因为x2+x+4=（x+）+30所以x-1=0，x=1即=13、化简：解：分析：因为x-1=（x）3-13=（x-1）（x+x+1）x+1=（x）3+13=（x+1）（x-x+1）x-x=x（x）2-1=x（x+1）（x-1）所以原式=x-

27、1+x-x+1-x-x=-x4、已知a2x=+1，求的值。 解：因为 令ax=t，则a2x=t2=+1 所以=t2+t-2-1=+1+-1=+1+-1-1=2-15、设a0，x=（a-a），求（x+）n的值。 解：因为x=（a-a） 所以1+x2=1+（a-a）2=（a+a）2 所以（x+）n=（a-a）+（a+a）n=a6、当mn0时，确定下列各组数的大小。（）m与（）n 解：（）m（）n1.4m与1.4n 1.4m1.4n（）m与（）n （）m（）n（）m与（）n （）m（）n7、根据下列等式决定m是正数还是负数？10 m=7 （）m =（）m = （）m =0.6解：10 m=71=10

28、0，且101，所以m0 （）m =1=（）0，且01，所以m0 （）m =1=（）0，且01，所以m0 同理m0。练习：比较下列各组数的大小（）0.81与（1）0.921.70.8与0.93.10.8-0.3与4.9-0.1解：因为（1）0.92=（）-0.92而指数函数y=（）x是减函数且0.81-0.92所以（）0.81（1）-0.92即（）0.81（1）0.921.70.8与0.93.1解法1：由指数函数的单调性有： 1.70.81.70=1 0.93.10.90=1 所以1.70.80.93.1解法2：因为1.70.810.8=1 0.93.113.1=1 所以1.70.80.93.1

29、0.8-0.3与4.9-0.1由指数函数的性质得：0.8-0.314.9-0.11故0.8-0.34.9-0.18、求证：指数函数y=ax，当a1时是增函数。证明：证法1 对任意的x1，x2R，且x1x2则f（x1）-f（x2）=因为a0，且x2-x10由已知1故1-0又因为0所以f（x1）-f（x2）=0即f（x1）f（x2）所以y=ax在R上是增函数。证法2 任取x1，x2R，且x1x2，则x1-x20因为0，0所以=1所以f（x1）f（x2）即y=ax在R上是增函数。9、讨论函数f（x）=的增减性（其中0a1）解：在f（x）=中另u=-x2+3x+2=-（x-）2+当a1时，y=au是增

30、函数故f（x）的增减性与函数u（x）=-x2+3x+2的增减性相同，即：当x时，f（x）=是增函数；当x时，f（x）=是减函数当0a1时，y=au是减函数故f（x）的增减性与函数u（x）=-x2+3x+2的增减性相反，即：当x时，f（x）=是减函数；当x时，f（x）=是增函数10、解下列不等式：1（a1）（0a1）解：原不等式可化为a0（a1）由于a0时，y=ax为增函数，所以2x2-7x+30解得x或x3所以不等式的解集为（-，）（3，+）当0a1时，y=ax为减函数，故由有2x2-3x+1x2+2x-5整理得x2-5x+60，2x3所以不等式的解集为（2，3）2.2 对数函数2.2.1 对

31、数与对数运算一、对数的概念定义：课本P62根据对数的定义，可以得到指数与对数间的关系：当a0且a1时，ax=N x=aN由指数与对数的这个关系可以得到关于对数的如下性质：负数和零没有对数；a1=0，aa=1显然a0且a1，a=N二、对数的运算1.运算法则由指数的运算法则我们可以得到对数的运算法则，如果a0且a1，M0，N0那么：a（MN）=aM+aNa=aM-aNaMN=naM（nR）从对数的定义可以知道，任意不等于1的正数，都可以作为对数的底。数学史上，人们经过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数。但是对于其它不等于1的正数为底的对数怎样计算呢？我们可以利用对数定义得出下列对数换底公式：

32、2.对数换底公式ab=（a0 a1，c0 c1且b0）事实上：设ab=x，由对数定义可知ax=b两边取以c为底的对数有xca=cb所以x=，即ab=有了对数换底公式：我们就可以解决利用已知对数求其它数为底的对数计算问题，因而彻底解决了对数的计算问题。另外我们利用对数换底公式还可以得出下列推论：ab=（0a1且0b1）ab=（0a1且0b1 nR）更一般地有：=ab（0a1且0b1）3.常用对数对于常用对数，它除了具有上述运算性质外，还有以下运算性质：lg10n=n，其中nR；lg2+lg5=1；若xy0，则lgxlgy，并且反之亦然。2.2.2 对数函数及其性质一、定义课本P70因为y=axx

33、=ay，利用函数和反函数的关系，我们可以看到：对数函数y=ax与指数函数y=ax互为反函数。即它们具有定义域值域互换，对应法则互逆的特点。并且它们的图像关于直线y=x是对称的。故我们可以利用指数函数的图像得到对数函数的图像：由对数函数的图像我们可以得到它有以下性质：负数和零没有对数；过定点（1，0），即x=1时，y=0；当a1时在（0，+）上是增函数；当0a1时在（0，+）上是减函数。例题分析1、求下列各式的值。81 9 100.0017 2 （）解：设81=x，则3-x=81=34，所以x=-4设9=x，则9x=，即32x=3-3，所以x=-设100.001=x，则10x=10-3，所以x=

34、-3因为7=（）-1，故7=-12=（）-1 （） =（） -1 =（2-2） = =（2）-2=2、求下列各式中的x的值。x=- x（-1）=-1 （2x）225解：x=（）=x=+1由已知有2x=5，故x=32或x=3、不查表计算 lg25+lg50lg2lg35+lg32+3lg5lg2 lg25-lg22-2解：解法1 原式=解法2 原式=原式=lg25+lg（252）lg2 =lg25+（2lg5+lg2）lg2 =（lg2+lg5）2 =1原式=（lg2+lg5）（lg22-lg2lg5+lg25）+3lg2lg5 =lg22+2lg2lg5+lg25 =（lg2+lg5）2 =1

35、另解原式=lg35+lg32+3lg5lg2（lg2+lg5） =lg35+3lg22lg5+3lg2lg25+lg35 =（lg5+lg2）3 =1原式=（lg5+lg2）（lg5-lg2）-2 =lg5-lg2-2（1-lg2）-2 =lg5+lg2-4 =1-4 =-34、选择题已知32=a，则6=（A） A. B. C. D.解：6 = = =设a、b、c是不相等的正数，且ax=by=cz，x-1+y-1=z-1，则a、b、c的关系是（B） A.a+b=c B.ab=c C.ac=b D.bc=a解：另ax=by=cz=k，则x=ak，y=bk，z=ck因为+=所以ka+kb=kc即k

36、（ab）=kc所以ab=c5、填空题233445566778=3（43+83）（32+92）=解：原式=3原式=（23+23）（32+32）=2332=6、比较下列各组数的大小0.34和0.20.71.34.7和1.93.6解：由对数函数的性质得0.340，0.20.70，所以0.340.20.7因为1.34.71.33.6 又1.93.6=，1.33.6=由对数函数的性质得3.61.93.61.30所以即1.93.61.33.6 由、得1.34.71.93.67、比较下列各组数的大小m7和n7（其中0m1，0n1，mn）20.3与0.32与20.3解：因为m7=，n7=又mn，故分以下情况讨

37、论：当mn1时，有7m7n0所以即m7n7当0nm1时，7n7m0所以0所以m7n7当m1，0n1时，7m0，7n0所以0，0所以所以m7n7在同一坐标系内作出函数y=x2，y=2x，y=2x的图像如图所示显然00.321 20.31 20.31 所以20.30.3220.38、求下列各函数的定义域y=a（x2-2x-3）（0a1）y=y=5x-2（2x-1）解：由x2-2x-3解得x-1或x3所以函数y=a（x2-2x-3）的定义域为x| x-1或x3由所以x即函数y=的定义域是（,由已知有：所以函数y=5x-2（2x-1）的定义域是x| 9、利用对数函数的图像画出下列函数的图像y=（4x）

38、y=2解：函数y=（4x）=-2+x 所以把y=x的图像向下平移2个单位可得y=（4x）的图像如图所示函数y=2=-2x，故以x轴为对称轴做y=2x的图像的对称图像就得到y=2的图像如图所示10、解下列不等式：2（2x+3）2（5x-6）x1解：由对数函数性质有：所以不等式的解集为x|x1即xx x当x1时有x，由此有x1当0x1时有0x，由此有0x所以不等式的解集为x|x1或0x2.3 幂函数幂函数1.定义：函数y=x叫做幂函数，其中是常数，对于幂函数我们只讨论=1，2，3，-1时的情形。2.性质：y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定义域RRR0，+）（-，0）（0，+）值域R0，+）R

39、0，+）（-，0）（0，+）奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性R上递增（-，0）递减（0，+）递增R上递增0，+）上递增（-，0）和（0，+）递减定点（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）（1，1）通过上表我们得到以上五个函数有下列性质：函数y=x，y=x2，y=x3，y=x和y=x-1的图像都通过点（1，1）；y=x，y=x3，y=x-1是奇函数，函数y=x2是偶函数；在第一象限内，函数y=x，y=x2，y=x3和y=x是增函数，函数y=x-1是减函数；在第一象限内，函数y=x-1的图像向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近。例题分析1、比较下列各组数的大小2303与32021618与1816解

40、：2303=（23）101=81013202=（32）101=9101因为89所以81019101说明：这是因为0，则y=x在（0，+）单调递增。=162=28=因为89，所以1故1因而16181816说明：这里使用了作商的办法来比较两个函数的大小。2、利用幂函数的图像画出函数y=的图像。 解：把函数y=，即y=x的图像向右平移2个单位，可以得到函数y=的图像，如图所示3、若a=，b=，c=，那么a、b、c的大小关系为（D）A.abc B.cab C.bca D.bac解：因为a=，b=，c=因为y=x与y=x3互为反函数所以y=x与y=x3具有相同的单调性因为y=x3在R上单调递增所以y=x

41、在R上也是单调递增函数因为所以bac4、当a2时，函数f（x）=ax和y=（a-1）x2的图像只能是（A）解：因为a2所以f（x）=ax为R上的增函数故排除B、D又因为a2时y=（a-1）x2是开口向上的抛物线所以排除C，选A5、分别指出幂函数y=x的图像具有下列特点之一时的的值，其中-1，1，2，3过原点递增；不过原点，不与坐标轴相交，递减；关于原点对称且通过原点。解：=，1，3；=-1；=1，36、已知函数f（x）=-，求证：f（x）在其定义域上为增函数；满足等式f（x）=1的实数x的值至多只有一个。分析：用定义证明用反证法证明：因为函数f（x）的定义域为R+，任取x1、x2R+，且x1x

42、2则f（x2）-f（x1）=-+（-）=+=（x2-x1）（+）0所以f（x）在R+上为增函数。假设满足f（x）=1的实数x的值至少有2个，设为x1、x2，且x1x2，则应有f（x1）=1=f（x2），这与f（x）在它的定义域为增函数的结论f（x1）f（x2）相矛盾，故满足f（x）=1的实数x的值至多只有一个。说明：本题中因为y1=在（0，+）上单调递增，y2=-在（0，+）上也是增函数，故y=y1+y2在（0，+）上单调递增。另外，一般地说至多、至少的证明题其证法常常从反面入手用反证法证明。练习：1.若是负奇数，函数y=x的反函数是它本身，求的值。解：为奇数，故y=x的反函数是y=x因为=，

43、且0所以=-12.函数y=xa，y=xb，y=xc的图像大致如图所示，且a，b，c=-1，2则a=2，b=，c=-1。解：根据y=x2，y=，y=的图像可知a=2，b=，c=-1。本章小结二、主要题型1.化简计算、2.比较大小、3.解方程、4.解不等式、5.图像变换例题1、计算2（2222）-22 n个 n重根号解：原式=22n-222 =n-2（）n =n+（）n =n+n =2n2、已知189=a，18b=5，试以a、b表示3645。分析：由18b=5得b=185，因此要求出3645首先要换底成18。还要找到45与9或5的关系及36与9或5间的关系。解：由189=a可得182=18=1-a

44、又由3645=3、求证+的值介于2与3之间。解：因为+=713+75=7（135）=765因为71，故y=7x是增函数又因为4965343，即726573所以772765773即27653亦即+的值介于2与3之间4、比较下列各组中两个数的大小3.97-2与0.5 与544与455 25与34解：因为3.97242，故3.97-24-2=2-40.50.54=2-4所以3.97-20.5因为=1所以因为544=（54）11=62511455=（45）11=102411显然62511102411所以544455因为252434所以25345、比较下列各题中m和n的大小m5n5 m0.6n0.6解：

45、若m5n50，则1mn若0m5n5，则mn1若m50n5，则m1，0n1综上可知：当m5和n5同号时，mn；当m5和n5异号时，mn由可得：当m0.6和n0.6同号时，mn；当m0.6和n0.6异号时，mn6、比较，23，32的大小解：因为=22=22=23又=33=33=32综上可知32237、已知a0且a1，解不等式aa5x解：当a1时得x2-65x即x2-5x-60解得：x-1或x6当0a1时得x2-65x即x2-5x-60解得：-1x68、填空f（10x+1）=x，则f -1（0）=2；方程2（2x+1）2（2x+1+2）=2的解集为0；已知235x=0，则x=125。解：令10x+1

46、=n，则10x=n-1，x=lg（n-1）所以f（n）=lg（n-1）令f（n）=0，即lg（n-1）=0，有n=2即f -1（0）=n=2由已知有2（2x+1）2（2x+1）+1=2所以22（2x+1）+2（2x+1）-2=02（2x+1）+2 2（2x+1）-1=0因为2（2x+1）+20所以2（2x+1）-1=0，2（2x+1）=1所以x=0由已知有345x=15x=3所以x=53=12510、选择题当a时，有同一坐标系中函数y=a-x与y=ax的图像是（A）解：由a1看y=ax图像排除C、D又因为y=a-x=（）x，而01所以y=a-x为减函数，排除B所以选A将y=2x的图像（D）再作关于y=x对称的图像可得到函数y=2（x+1）的图像。 A.先向左平行移动1个单位 B. 先向右平行移动1个单位C.先向上平行移动1个单位 D. 先向下平行移动1个单位解：由y=2（x+1）x=2（y+1）即y+1=2xy=2x所以选D3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点函数与方程有紧密的联系， 一般地设y=f（x），若令y=0，那么求自变量x的值就是解关于x的方程f（x）=0。如果解方程：f（x）=g（x），那么本质上就是求函数y=f（x）的图像与函数y=g（x）的图像的交点的横坐标。例题1、已知关于x