弹性杆件横截面上的切应力分析

1、第4章弹性杆件横截面上的切应力分析4 1扭转切应力公式.；=Mx/Ip的应用范围有以下几种，试判断哪一种是正确的。A等截面圆轴，弹性范围内加载；B等截面圆轴；C 等截面圆轴与椭圆轴；D等截面圆轴与椭圆轴，弹性范围内加载。正确答案是_A_。解：.：=M- Ip在推导时利用了等截面圆轴受扭后，其横截面保持平面的假设，同时推导过程中 还应用了剪切胡克定律，要求在线弹性范围加载。4 2两根长度相等、直径不等的圆轴受扭后，轴外表上母线转过相同的角度。设直径大的轴和直径 小的轴的横截面上的最大切应力分别为仆ax和.2max，切变模量分别为 Gl和G2。试判断以下结论的正确性。(B ) 1.1 max V

2、'<2max ；(C)假设 Gi> G2,那么有.max > -2max ；(D )假设 Gl> G2,那么有.max V -2max正确答案是C_。解：因两圆轴等长，轴外表上母线转过相同角度，指切应变相同，即1=2=由剪切胡克定律=G知Gi G2时，1 max2 max °4 3承受相同扭矩且长度相等的直径为di的实心圆轴与内、外径分别为d2、D2=d2/D2的空心圆轴，二者横截面上的最大切应力相等。关于二者重之比W1/W2有如下结论，试判断哪一种是正确的。a 1t.：432 ；B1 -321 -；C1 叮1 子；D1 一23/1 一：.2 

3、6;正确答案是D_ °解： 由 1max = -2 max 得16M x 16Mx =3nd1nd2(1 )(1)2W _d1W， A d|(?2)(1)代入(2)，得W 1 -r,3W2 一 1 一4 4由两种不同材料组成的圆轴，里层和外 层材料的切变模量分别为 G1和G2,且G1 = 2G2° 圆轴尺寸如下图。圆轴受扭时，里、外层之间无 相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中所 示的四种结论，试判断哪一种是正确的。正确答案是C_ °'fi'1A*解：因内、外层间无相对滑动，所以交界面上切应变相等=2，因GR?G图，由剪切胡克定律得交界面上:

4、习题4-5图<(»的切应变a =丸，假设扭转时截面依然保持平面，那么根据图示的关系，可以推知横截面上的切应力分布。试判断图中所示的四种切应力分布哪一种是正确的。正确答案是_A_4 - 6图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T = 3kN m。试求:1.轴横截面上的最大切应力；2 轴横截面上半径r = 15mm以内局部承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比;3.去掉r = 15mm以内局部，横截面上的最大切应力增加的百分比。3 10316370.7 MPan 0.063解:Mx T1 .1 maxVpVpT73nd16Mx4Ip442 兀r167 = 74 ndd4 -3 2=

5、6.2 %习题4-6图>2 maxMxWP1 -(-)4 *16 2'.-2 max一 .1 maxXi max41 -:-4A1 -©4=6.67%154 - 7图示芯轴AB与轴套CD的轴线重合，二者在B、C处连成一体；在D处无接触。芯轴直径 d = 66mm;轴套的外径D = 80mm，壁厚j. = 6mm。假设二者材料相同，所能承受的最大切应力不得超过 60MPa。 试求结构所能承受的最大外扭转力偶矩T。解:M x 6工轴 max3 60 10nd76-n 663卫10=3387 N m16T<<60 106MxWp2T2 <60 106T23n

6、d 116 V3n 80 1016<60 1061-(68)4801一(与=2883Nm20Tmax <T2 =2883N m =288 103N m解：由长度和质量相等得面积相等:2xR2nR?maxTsTs_. 3ndnr316Th2-R12)Ts_ 1 -n2Th 1 ' n2(1)(2)由(2 )、TsTh由13兀(2R2)34-?6-(1n)(3)式=R； r2 (1 - n °)r0r2 -R12(3)代入4333Ts(Rl -Ri2)2(1 -n2)2(1 -n2)1.1 _n234 二422 二2Th R2(1 -n )1 -n(1 _n )(1

7、n )1 n试:4 - 9图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为证明闭口圆管受扭时横截面上最大切应力max证明开口圆管受扭时横截面上最大切应力<max画出两种情形下，切应力沿壁厚方向的分布。解：1 . M x D dA nD j.瓜222Mx 28冗D2即：max2Mx= 2、nD22 .由课本8- 18式3M x2Mx>max =2"hb2-nD .；23M x2、.2nD2Mxl、"D23Mx 宀DD、壁厚均为/.,横截面上的扭矩均为 T = Mx。4 - 10矩形和正方形截面杆下端固定， 上端承受外扭转力偶 作用，如下图。假设 T = 400N m,试

8、分别确定二杆横截面 上的最大切应力。山M x400解: .amax-529 =15.4 MPaC1hb20.208 X50X502 乂10 少Mx400.bmax-229 =19.0 MPaghb20.246 X70 X352 ©0 卫4 11图示三杆受相同的外扭转力偶作用。T = 30N m,且最大切应力均不能超过 60MPa。试确定杆的横截面尺寸；假设三者长度相等，试比拟三者的重量。解： La max1616T3 16 300n 60 10'M x _ Mx'a max _3c1hbc1dbda6 = 29.4 mm60 n 10<60 1060.208d；

9、d3006 =0.02886m =28.9 mm0.208 60 106M x 3006:vcmaxl3 60 10C1hb0.246 X2dc习题4-11图3006 =0.02166m =21.66 mm2 X0.246 X60X10三者长度相同，重量之比即为面积之比。.2ndaAa 4n, 0.02942、2牛 ()0.816Adl4 0.02886dcA7dn(da)2A：二可=8(d?)n(0.029422( )8 0.02166= 0.724Aa : Ab ： A： =1 ： 0.816 : 0.7244 - 12直径d = 25mm的钢轴上焊有两凸台，凸台上套有外径 当杆承受外扭转

10、力遇矩 T = 73.6N m时，将薄壁管与凸台焊在一起, 薄壁管与轴的材料相同，切变模量G = 40MPa。试：1 分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？2.确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。解：设轴受T = 73.6N m时，相对扭转角为且 d -0 Tdx GI p1T撤消后，管受相对扭转角；21 =$0 _ ：2，此时轴、平衡。1D = 75mm、壁厚r.=1.25mm的薄壁管,然后再卸去外力偶。假定凸台不变形，管受扭矩大小相等,(1),那么轴受相对扭转角 方向相反，整个系统习题4-12图1r t吃L l- 3J49W二2 = 0TlGIp1 GI p1=M _ I

11、 p2_Ip1 IMxlMxlGI p2MxMxTp1 ' I p2納maxI p1I p2二 Ma"W4nd4nD432TIp1 ' Ip2Tp2(2)T_ DWp2I p1 I p2 2n 41212(25)4 102 =38349.5 102 32-D 26 41F)4n 75472.53275 )4Ip1、Ip2 值代入(6)得75373.6；>102管:Th max(38349.5 393922) 10 "二6.38 MPa车轴XsmaxIp2 TM x d I p2 T dI p1 2 I p1(I p1 ' I p2 )2736

12、今 393922 忙(38349.5 393922) 38349.5 102 一21.86 MPa4- 13由钢芯直径30mm和铝壳外径 40mm、内径30mm组成的复合材料圆轴，一端固定， 另一端承受外加力偶， 如下图。铝壳中的最大切应力 .a max =60 MPa，切变模量Ga = 27GPa，钢的切 变模量Gs = 80GPa。试求钢芯横截面上的最大切应力.smax。解：复合材料圆轴交界面上剪应变相同s a r = 15mmQa maxMaM a廿 a(r)r =Ga aI paG I a' pa ar'.-a maxGaI smax(r)=归 二 Gs s =Gs a

13、Wpss 2a max Wpa r Gs 芯 maxGa I paGa R心S=133MPa27 20小圆上一点A(x, y),当圆轴扭转时，A无水平位移，所以x=x (平面假设)(pA垂直位移：v =(d - x) 2L(pyy v =y (d x)2l*(p将坐标代入:(x)2 y _(d x)2 , =R2(1 4-?)(x)22(-)x (y)24L2L2-R )=0二次项系数: ；：2 21 24L2<P2L4 15关于弯曲切应力公式£苑0，所以为椭圆型方程。1.=FQS；/(blz)应用于实心截面的条件,有以下论述，试分析哪一种是正y =y"(d -.-x

14、)- 2L并于自由端截面位移有以下结论,习题4-18图正确答案是_A_(a)(d)(b)(c)习题4-19图确的。(A) 细长梁、横截面保持平面；(B) 弯曲正应力公式成立，切应力沿截面宽度均匀分布；(C) 切应力沿截面宽度均匀分布，横截面保持平面；(D) 弹性范围加载，横截面保持平面。正确答案是_B_。解：公式1； =FQS；(blz)推导时应用了局部截面的正应力合成的轴力，该正应力二那么要求弯曲正应力 公式成立；另外推导时在 Fx =0时，应用了 .沿截面宽度均匀分布假设。4 16试判断梁横截面上的切应力作用线必须沿截面边界切线方向的依据是:(A) 横截面保持平面；(B) 不发生扭转；(C

15、 )切应力公式应用条件；(D)切应力互等定理。正确答案是 D_。4 17槽形截面悬臂梁加载如图示。 图中C为形心，O为弯曲中心。 试判断哪一种是正确的。(A) 只有向下的移动，没有转动；(B) 只绕点C顺时针方向转动；(C )向下移动且绕点 O逆时针方向转动；(D )向下移动且绕点 O顺时针方向转动。正确答案是D_。4 18等边角钢悬臂梁，受力如下图。关天截面A的位移有以下论述，试分析哪一种是正确的。(A) 下移且绕点O转动；(B) 下移且绕点 C转动；(C) 下移且绕z轴转动；(D )下移且绕z 轴转动。正确答案是D_。4 19试判断以下图示的切应力流方向哪一个是正确的。4-20四种不同截面

16、的悬臂梁，在自由端承受集中力，作用方向如下图，图中0为弯曲中心。试分析哪几种情形下可以直接应用匚x =zy/lz和.=FQS；/blz计算横截面上的正应力和切应力。A仅a、b可以；B 仅b、c可以；C 除c之外都可以；D 除d之外都不可能正确答案是D_。习题4-20图N-N截面上a、b两点的铅垂方向的切应力以及腹板4 - 21简支梁受力与截面尺寸如下图。试求 I 与翼缘交界处点c的水平切应力。解：Fq = 120kN，形心C位置。180 20 90 2 160 20 10180 20 2 160 20d65.38 mmSzaSzbSzc12_74.62二 20ydy =10(74.62274

17、.6234.62 2 20ydy 二 10(34.62=巴 114 .6265.38二 20ydy =10(65.382l!14. 62Fq Sza320 18020 180 (90 -65.38)2-114.622)-114.622)2-114.622)39120 1075696 103160 20160 20 55.382 =33725128 mm4 * * * *123-45696 mm3= _119392 mm33-88632 mm336 =13.5 MPa (J)20 10 ° 33.725128 10b = 120 叮9392 10 二=21.2MPa(J) 20 103

18、3.725128 10120 X103 X88632X10"9c . .32620 1033.725128 10=15.8 MPa 3LZtikNI；： 'kNocdCb a:习题4-21图(kN)习题4-22图解：1 图a : E M A =08 _q：4：2 亠Frb 4 二0Frb 二 18 kN' Fy =0 , Fra =22 kN剪力与弯矩图如图b、c；2 .形心C位置80 20 10 80 20 60 60 20 110Iz80 20 2 - 60 20 =55.45mm3380 20 2 20 8080 20 45.45212 123260 X2032

19、0 80 4.55260 20 54.551264=7.855758 106 mm 42C18Cmax55.45 10JI z3316.2 1055.45 10一114MPa二 max7.855758 10 卫M max364.55 10- =133MPaI z3 . Szmax=80 20 45.4520 35.45 35.452=85287 10_9m3FqSz maxTHg的习题4-23图A1/1Fqa 一. 75 10菩 75 106 103750000 10亠 175 10 =224 NI zFqb 二仝 40 106 103 4125000 10亠 40 10=658 N Iz15

20、04166667 汇10工4-24由四块木板粘接而成的箱形截面梁，其横截面尺寸如下图。横截面上沿铅垂方向的剪力Fq = 3.56kN。试求粘接接缝 A、B两处的切应力。_1 3解：Iz =2汉厉“厶"？3 +(2292 127 25 =1.3329 108mm422 10385287 10 一一3 6 =11.94 MPa20 10“7.855758 10°4 切应力流如图(e)o4-23木制悬臂梁，其截面由 7块木料用A、B两种钉子连接而成，形状如下图。梁在自由端承受 沿铅垂对称轴方向的集中力F p作用。Fp = 6kN , I z 1.504 109 mm4 ； A种钉

21、子的纵向间距为 75mm,B种钉子的纵向间距为 40mm ,间距在图中未标出。试求：1 . A类钉子每个所受的剪力；2 . B类钉子每个所受的剪力。解：I =1(400 4003 -250 3003 -100 2003)12=1504166667mm4*3SzA =100 50 150 =750000 mm3AFQSzA每根A种然受剪力:1504166667 10SzB =2 100 50 150300 50 175 =4125000 mm3每根B种钉子受剪力：*12722953SzA = -12.5 25 =1.460 105mm3 2 2*39FqSza3.5610 X1.46X1025 1.35 10 工 a70.154 MPa«z*53SzB =76 25 114.5 =2176 105 mm3二竺=0.154 曲d zSzA=0.230 Mpa251加习题4-24图4-25图示两根尺寸相同的木梁，左端用垫木和螺栓将二者固结在一起，右端用直径d = 10mm的钢制螺栓拧紧。假设木梁中最大正应力不允许超过 47MPa，钢制螺栓中最大正应力不允许超过