复习三重积分了解二重的几何意义会交换二次积分的次序例1

1、复习二重积分1. 了解二重的几何意义.会交换二次积分的次序，例 1 .设 D 为闭圆域 x2 y2_R2 .那么,R2 - x2 - y2 d 二=D解：此积分表示以半径为R的半球体的体积.即1 3- R3二? R3 .2331x2例2 .改变二次积分0dx 0 f(x,y)dy的积分次序得()，x2111(A) 0 dyj0f(x,y)dx ； (B)加才対 f (x,y)dx ； (C) fdyf f(x, y)dx ； (D)佃匸 f (x,y)dx .解：积分区域为D=(x.y)|0Ex兰1 .0兰yx2.积分区域又可表示为D二(x,y)|0細辺,y沁邛所以1 x2110dx 0 f(

2、x, y)dy 二 °dy y f(x,y)dx .2. 会利用直角坐标和极坐标计算二重积分.会利用直角坐标、柱面坐标和 球面坐标计算三重积分，2例1 .计算！伙电弓d二.其中D由x=0 y=1 y=x围成D解：因为2X fj DD二(x y)|O_x釘x今釘.所以2 1 1 2ey dx2dx e-y dy .计算无法进行因为 D=(x.y)|O今M . 0<x<y.所以212y Cd 1i ix2e 今 d 二D1L0'x1 2 y1212=£e dy £ x2dx =1 0y3e dyy2y dy2=i 0怂宀诗y20 i Oe"

3、;dy2=£討令伙迸) 例2.计算k iisinydxdy .其中D由曲线y = -、x、直线y=x围成d y2解：积分区域可表示为D=(x y)|0y乞1 .y乞x乞y.于是sin y1y sin y1Idxdy dy 2 dx (1 y)sinydy=1sin1.d y0 y y01Jx丈例3.将0dx 0f(x, y)dy化成极坐标形式的二次积分 解：积分区域为D =(x, y)|0 乞xid,0乞y _ _x_x2在极坐标下DN(rj)|0 v yO岂“cos,.所以c o书f (x,y)dy = £2d8 £f (r c otS,rs i 0)r d r

4、1x-x2少J。-y dxdy其中D为x2 y2=1所围成的闭区域-y22兀1212dxdy= 0rd r =2兀rdrydr2=右|0=江_三e例5 .计算二重积分-(1 x y z)3 其中“为平面 X。y°x y 1所围成的四面体. 解：积分区域可表示为d(x.y .z)| 0 殳兰 1x-y. 0今兰1x. 0仝兰1.于是dxdydz1 _x1 乂 y-(1 x y z)310dx0 dy。3dz(1 x y z)311a12(1 x y)21-評y1 1。2(1 x)18xdx 十心)例6计算三重积分(x2 y2)dv其中为x2 y2z及z=2所围成的闭区域Q解：在柱面坐标

5、下积分区域可表示为O： 0兰日W2兀.0兰圧2.丄r2兰z兰2.22 江222于是川(x2 + y2)dv=dT0drRr2r2 rdz =2叫 r3(2 -*r2)dr =竽Q2r23例7.计算三重积分HJ (x2 + y2 +z2)dv .其中。是由球面x2"2+z2=1所围Q成的闭区域解：在球面坐标下积分区域可表示为0兰日兰2兀.0兰®兰兀.0兰r1 .于是 |, (x2 y2 z2)dv 二r4 si n d r dd=2 si n1 r4dr =-：.00o53会计算立体的体积.会计算曲面的面积.会计算质心或形心.例1.求由抛物柱面z=2-x2及椭圆抛物面 zX

6、2所围成的立体的体积 解：V =fl(2x2)(22r2)rdr =2 兀r2丄/10=兀,D2例2.求锥面z.x2 y2被柱面z2=2x所割下的局部的曲面面积 解：曲面zx2 y2与z2=2x的交线在xOy面上的投影为+y2=2xz =(所求曲面在xOy在上的投影区域为D二(x .y)|x2 y2_2x.A =、1 z? z：dxdy =、2 11 dxdy =2 二.D "D例3.求由曲线ay=x2 xy=2a(a)所围成闭区域的形心.解：闭区域可表示为DX/yH-Zaxalxyia-M .a因为2a -xa1 227 3xdxdy 二 gdx 1x2 d ax(2x2)da .

7、Daa12一 i 1 a12x4)d36a3.a59a2a .2a 2a r1 a ?2ydxdy=嘗丄x2 Vd- a(4a -4ax x2 Da2a1(2a-xx2)dxVa.dxdy 二範 1x2 dy 二Da所以1 ix d x d y27 a3 xla.dxdy 9 a22d2.ydxdy36a31 idxdya2练习三1 ,设区域 D 为 xy2<a2 .且仃 Ja2-x2-y2dxdy=jr .a=D2 .设 D 由 y2=x 及 y=x-2 所围成.那么 I 二 xyd -().D4 y22y42(A) I = £ dx Jyjydy ； (B) I=xydx

8、；1 Jx4 x2y 电(C) I = J0dx Lxxydy + . dx (/ydy ； (D) I= Jdx xydy ,3. 交换以下二次积分的顺序.并画出积分区域草图aJa2_x2e ln x22-x(1) 0dxa。 f (x,y)dy - (2) 1 dx 0 f(x,y)dy - (3)丿乂兰/化丫川丫.44 .设 D : xi兰仁 0今兰1 贝打J(x3 + y)ydb =,D5.曲面x2 y2 z2=R2(z>0)和z=|所围成的立体的体积可表为二重积分1 x 42<2 x2 I7 .利用极坐标计算积分 I = 0dx 0 , x2 - y2dy dx 0 x2

9、 y2dy .8 .计算二重积分 I i(x - y)dxdy .其中 D x2 y2<2x .D9 .计算二重积分.cos(x y)亦.D是以点(0.0),(0.二).(二,二)为顶点的三D角形区域10，计算二重积分xy 2dxdy .其中D为直线y=x和抛物线y=x2所围成的 D平面区域.11 计算二重积分.X2y2d二.其中D是圆环形闭区域(x. y)|Da2 f y2 辽 b2.12 .计算二重积分.f (x2 y2)dxdy .其中D为圆域x2 yR2 .D213，求I ="【(x2+y2+z)dv 其中0是由曲线"=；2z绕z轴旋转一周的曲面Q0与平面z=4所围立体1