函数不等式恒成立问题经典总结

1、不等式成立问题解恒成立问题的基本类型:类型2f(x) ax bx c(a0),(对于任意实数R上恒成立)(1)f(x)R上恒成立0且0;(2)f(x)R上恒成立0且0。类型2:f(x)ax2 bx c(a0)(给定某个区间上恒成立)(1)0时,f(x) 0在x上恒成立b2af(b2a0b2af( ) 0f(x),上恒成立f( ) 0f( ) 0a 0时,f (x) 0在x,上恒成立f( f(f(x),上恒成立b2a 或f( ) 0b2a 0b2af(类型3:f(x)对一切x I恒成立f (x)max °类型4:f(x)(x I)g(x)对一切xI恒成立f (x)的图象在g(x)的图象

2、的上方或f(x)ming(x)max恒成、用一次函数的性质对于一次函数 f(x)kx b, xm, n有:例1 ：若不等式2x 1m(x2 1)对满足 2 m 2的所有m都成立,x的范围。解析：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为:m(x2 1)(2x1)0,；令 f (m) m(x2 1) (2x 1),则 2 m 2 时，f(m) 0 恒成立,所以只需f(2)f(2)00即2(x ) ( x ) °,所以x的范围是x ( 22( x2 1) (2x 1) 02二、利用一元二次函数的判别式对于一元二次函数 f (x)ax2 bx c 0( a 0, x R)有

3、:(1) f (x) 0在x R上恒成立a 0 且0;(2) f (x) 0在x R上恒成立例2：若不等式(m 1)x2(m 1)x 2 0的解集是R,求m的范围。解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m所以要讨论m-1是否是0。 (1)当m-1=0时，元不等式化为 2>0恒成立，满足题意；m 1 0, m 1 0时，只需9，所以，m 1,9)。(m 1)2 8(m 1) 0三、利用函数的最值(或值域)(1) f (x) m对任意x都成立 f(x)min m；(2) f (x) m对任意x都成立 m f(x)max。简单计作：“大的大于最大的，小的小

4、于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。2 B、例3：在 ABC中，已知f(B) 4sinBsin2( ) cos2B,且| f(B) m| 2恒成立，求实数 m的42范围。解析：由2 Bf (B) 4sinBsin2( ) cos2B 2sin B 1, 0 B , sin B (0,1 , f (B) (1,3,42| f (B) m| 2 恒成立，2 f(B) m 2,即 m f (B) 2 恒成立，m (1,3m f(B) 2例4： (1)求使不等式a sin x cosx, x 0,恒成立的实数a的范围。解析：由于函a sin x cosx J2sin(x ),

5、x / -,3- ,显然函数有最大值J2 ,a <2。如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：(2)求使不等式a sin x cosx,x 一 (0,一)恒成立的实数a的范围。42解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得y sin x cosx的最大值取不到 M2,即a取J2也满足条件，所以 a 近。所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。 四：数形结合法对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。例5：已知a 0,

6、a 1, f(x) x2 ax,当x ( 1,1)时，有f(x)工恒成立，求实数a的取值范围。21 1解析：由f(x) x2 ax得x2 ax,在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函2 221211数分另在x=-1和x=1处相父，则由122及(1)2a 1得到a分别等于2和0.5 ,并作出函数22-1 V 01xy 2、及丫 ()x的图象，所以，要想使函数x2 ax在区间x ( 1,1)中恒成立，只须y 2在2221区间x ( 1,1)对应的图象在y x2 3在区间x ( 1,1)对应图象的上面即可。当a 1时，只有a 21 1才能保证，而0 a 1时，只有a 才可以，所以a -,1

7、) (1,2。 22例6：若当P(m,n)为圆x2 (y 1)2 1上任意一点时，不等式 m n c 0恒成立，则c的取值范围是()A、1 <2 c 2 1 B、V2 1 c V2 1C cV2 1 D 、c V2 1解析：由m n c 0,可以看作是点P(m,n)在直线x y c 0的右侧，而点P(m,n)在圆x2 (y 1)2 1上，实质相当于是x2 (y 1)2 1在直线的右侧并与它相离或相切。0 1 c 0|0 1 c| c 72 1 ,故选 D。11212同步练习.1 21、设 f (x) lgx xa43，其中a R,如果x (.1)时，f(x)包有意义，求a的取值范围。分析

8、：如果x (.1)时，f(x)包有意义，则可转化为1 2x a4x 0何成立，即参数分1 2x离后a(22 ), x (.1)包成立，接下来可转化为二次函数区间最值求4解。解：如果x ( .1)时，f(x)何有意义1 2x a4x 0,对x (,1)恒成立.1 2xa 1一 (2 x 2 2x) x (.1)包成立。4令 t 2x, g(t) (t t2)又 x (.1)则 t (-,) a g(t)对 t (1,)恒成立，又22,113Qg(t)在 t -,)上为减函数，g(t)max g(-)-,2243a o4f (1 ax x2)f (2 a)对于任意分析：本题可利用函数的单调性把原不

9、等式问题转化为1 ax x22 a 对于任意 x 0,1包成立，从而转化为二次函数区间最值求解。解：Q f(x)是增函数f (1 ax x2)f (2 a)对于任意x 0,1恒成立1 ax x2 2 a对于任意xx2 ax 1 a 0对于任意x问7dlg(x)min 0，又 g(x)min0,1恒成立0,1恒成立,令g(x)x2g(0), a 0ag( -), 2 a 0 即 g(x)min2, a 2ax 1 a , x 0,1,所以原1 a, a 02-a 1,2 a 0 易42, a 22、设函数是定义在(，)上的增函数，如果不等式 x 0,1恒成立，求实数a的取值范围求得a 1。3、

10、已知当x R时，不等式a+cos2x<5-4sinx恒成立，求实数a的取值范围。方法一)分析：在不等式中含有两个变量a及x,本题必须由x的范围(x R)来求另一变量a的范围，故可考虑将a及x分离构造函数利用函数定义域上的最值求解a的取值范围。解：原不等式 4sinx+cos2x<-a+5当 x R时，不等式 a+cos2x<5-4sinx 恒成立 -a+5>(4sinx+cos2x) max设 f(x)=4sinx+cos2x 贝U f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin 2x+4sinx+1=-2(sinx-1) 2 +33- -a+5>3 a<2

11、方法二)题目中出现了 sinx及cos2x,而cos2x=1-2sin 2x,故若采用换元法把 sinx换元 成t,则可把原不等式转化成关于t的二次不等式，从而可利用二次函数区间最值求解。解：不等式a+cos2x<5-4sinx可化为a+1-2sin 2x<5-4sinx,令 sinx=t,则 t -1,1,不等式 a+cos2x<5-4sinx 恒成立2t 2-4t+4-a>0,t-1,1恒成立。设 f(t)= 2t 2-4t+4-a ,显然 f(x)在-1 , 1内单调递减，f(t) min=f(1)=2-a,2-a>0 a<24、 设f(x)=x 2-

12、2ax+2,当x -1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。分析：在f(x) a不等式中，若把a移到等号的左边，则原问题可转化为二次函数区间 恒成立问题。解：设 F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a.i)当 =(-2a) 2-4(2-a)=4 (a-1)(a+2)<0 时，即-2<a<1 时，对一切 x -1,+) , F(x)0包成立；ii)当 =4 (a-1)(a+2)0时由图可得以下充要条件：0f( 1)2a丁得-3 a综上所述:1,(aa-2；a的取值范围为-3 , 1o1)(a3 01,5、当x (1,2)时，不等式(x-1) 2<loga

13、x恒成立，求a的取值范围。右边为对数函数，故可分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数,以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解a的取值范围解：设： f(x)=(x 1)2,T2： g(x) logax,则的图象为右 图所示的抛物线，要使对一切 x (1,2), f(x)<g(x)包成立即 T1的图象一定要在T2的图象所的下方，显然a>1,并且必须也只 需g(2) f故 log a2>1,a>1,1<a 2.6、已知关于x的方程lg(x 2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解,求实数a的取值范围。分析：原方程可化成lg(x 2+20x)=

14、lg(8x-6a-3),从而得x2+20x=8x-6a-3>0,若将等号两边分别构造函数即二次函数x轴上方包有唯一交点即可y= x2+20x与一次函数y=8x-6a-3 ,则只需考虑这两个函数的图象在解：令 Ti： y产 x2+20x= (x+10) 2-100, T 2： y2=8x-6a-3,则如 图所示，Ti的图象为一抛物线，T2的图象是一条斜率为定值8,而 截距不定的直线，要使Ti和T2在x轴上有唯一交点，则直线必须 位于l 1和l 2之间。(包括l 1但不包括l 2)当直线为1i时，直线过点(-20, 0)此时纵截距为 -6a-3=160,a=163;61当直线为12时，直线过点(0, 0),纵截距为-6a-3=0 , a= 2；a的范围为,1 )0 627、对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。分析：在不等式中出现了两个变量：x、P,并且是给出了 p的范围要求x的相应范围，直接从 x的不等式正面出发