微积分第二版课后习题答案

1、微积分第二版课后习题答案【篇一：微积分(上册)习题参考答案】0.11. (a)是 (b)否 (c)是 (d)否2. (a)否(b)否(c)否(d)是(e)否(f)否(g)是 (h)否是1,2,3,1,2,4,1,3,4), 3.f,1,2,3,4,1,2,1,3,1,4,2,3,2,4,3,4,2,3,4,1,2,3,4.4. a?b5. a?b615.略。16.证明：先证 a-(b-c)?(ab)惹(ac).若 x?a(b-c),则 x 蜗 a,x如果 x?c ,贝U x 蜗 a,如果x?c ,则x?b ,所以x?aa-(b-c)?(ab)惹(ac).再证 a-(b-c)惹(ac)?a(b-

2、c).若 x。?(ab)惹(ac)，贝U, x。?ab 或 x。吻 ac.如果x。吻ac,有xC?c,所以，x。?bc ,又x。？a ,于是x。?a(b-c)如果 x。锹 ac , x ? ?ab ,则有 x。？a, x。？c ,x。？b ,所以，xC?bc,于是x。?a(b-c).因此有(a-b)惹(ac)?a(b-c).综上所述，a-(b-c)=(a-b)惹(ac),证毕.1719.略。20. cda.21. a?b(1,u),(1,v),(2,u),(2,v),(3,u),(3,v);禳1镖xx?r,睚2镖错参考答案禳禳11镖镖,a?d-1,-,0,1,2,3,?a-c= 睚 0,-1,

3、-睚镖镖44错错禳1镖2=睚-1,-,0,1,2,7.镖4错xx 危 r,1x 2x3 , a?b= , a-b=xx?r,2x3.b-cb-c;(ac),因此有b,也有x?(ab)惹a2=(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3);b2=(u,v),(u,v),(v,u),(v,v)22. a=(x,y,z)x,y,z 危？.032325.略。26. (a)f不是a至U b的映射，因为a中元素4没有b中的元素对应;(b) f不是a到b的映射，因为a中的元素2有两个b内的元素a 和e对应；(c)f是a到b的一个映射；(d) f 是

4、 a 至U b 的映射。27. f1:a?b:f(x)x # 1,0y # 1,0z 10,f(y)=0,f(z)=0f2:a?b:f(x)0,f(y)=0,f(z)=1 f3:a?b:f(x)0,f(y)=1,f(z)=0f4:a?b:f(x)0,f(y)=1,f(z)=1 f5:a?b:f(x)1,f(y)=0,f(z)=0f6:a?b:f(x)1,f(y)=0,f(z)=1 f7:a?b:f(x)1,f(y)=1,f(z)=0f8:a?b:f(x)1,f(y)=1,f(z)=1共有8种映射28. (a)此映射为满射，但非单射；(b)此映射双射，其逆映射为f-1(y)=y-c ；此映射为双

5、射，其逆映射为f-1:b?a f-1(x)=(d)此映射为单射，但非满射，当然不是双射。29. f:z?a ,f(x)=2x ; f +-1 x ；2x. 2:a?z+f-1(x)=?,当偶数时.?2+?-n+1，当n为奇数时.？?231. (a) m3n (b) m £ n (c) m=n 32.g?f(a)=b,g?f(b)=c,g?f(c)=c,g?f(d)=b. g?f(x)x.33 . g?f:a?c,34 .证明：因为对x a,必有(x,y)未ab (因为b非空)使p1(x,y)=x , 所以pl为满射.同理可证p2为满射。pl为单射的充要条件是b只有一个元素；p2为单射

6、的充要条件是a只有一个元素。习题0.2xx01. .2. xx3 或 x-1. 3. x4kpx(4k+2)p,k ?.4. xx2.5.严格单调减少.6.严格单调增加.7.单调减少.8.严格单调增加.9.偶函数.10.奇函数.11.奇函数.12.非奇非偶函数.13.证明：若x11x2 ,则有 f(x1)=11,f(x2)=,所以，f(x1)1x1x2f(x2)，因此f是一对一的.f(x)=11-1的反函数为f(y尸，所以，反函数为其自身。定义域为 x,x10.yx 14. f-1(x)=-x?(0,).15 .证明：若 x11x2 ,则 f(x1)=1-x11-x2,f(x2)=,反证，如果

7、 f(x1)=f(x2)?2x11+x21+x1f(x2),即f是一对一的.2x2 ,即x1=x2矛盾，所以，f(x1)1由y=1-y1-x1-x-1得x二,因此f的反函数为f(x户，即为其自身，定义域为1+y1+x1+x1.xx?16 . f-1(x)=-x (0,1).17.略.18.提示：按奇函(偶)数定义证明.19 .证明：反证，假设f为严格单调增加的偶函数，则对 x1x2,有 f(x1)f(x2)另一方面：-x1-x2 ,所以有 f(x1)=f(-x1)f(-x2)=f(x2),矛盾20 .非周期函数.21.略22.是。例如，f(x)=11sin,g(x)=x , 在(0,+ xx

8、)皆无界，但 f(x)g(x)=sin 1在x(0,+ )有界.23.证明：对 m0 ,存在*0=上无界。24. f(g(x)=2;2x1x0)=m+1m 使 f( (0,1), m+1,所以 f(x)在(0,1) g(f(x)=2x.2骗111=25. f(f(x)=1- , f(f(f(x). =) , x ff(x)xx 砂26. f(x)=arccosu,u=v,27. f(x)=logbu+e , u= u2v2 v=cosw,w=ex+lnx. 122,wt=1+x , v=s , s=tanx. w28. f(x)=e,u=-x+2v,v=sinx.29. f(x)=cotu u

9、=e v=wt,w=,t=lnx. v 1x1.数列的极限习题1.11.不能，例如取 an=(-1),a=0,e=2,3,4,5,6,?. 2. 不能，例如取 an=1+(-1),n=1,2,3,?,a=0. 3. 能，因为对e0,必存在正整数 k,使nn1e. k4.存在一个e00,对任何n0 ,总存在n0n ,使an0-a e0. 5.提示： 利用数列极限定义.611.略。12.提示：按极限定义，可取 e= a2.13.提示：利用极限定义，可取 e= a-b.14.提示：按极限定义证明.215.提示：利用极限定义.16.反之不一定成立.17.当yn无界时，有 以下各种情况：(1) xnyn

10、极限仍为零，例如，xn=1,n2 yn=n,n=1,2,3,? ; 1 ,yn=n,n=1,2,3,? ; n(2) xnyn极限存在，但非零，例如，xn= (3) xnyn极限不存 在，例如：xn=或xn=1 ,yn=n2,n=1,2,3,? n 1n1+(-1)n,n=1,2,3,?, yn=轻月鼓 n2k+118.提示：根据数列与子数列极限之间的关系证明.11119.利用极限的定义.20. (2k+1)(-1):1,?,?.35 2k+121.利用极限的定义.22.根据夹逼定理证明.23. (1) 1. 1. (3) 0. (4) 9. (5) 0. 24. (1) 0. (2)31.(

11、3) 0. (4) 4. (5) . (6) 0. 2311a+b .(8) . (9) -. (10) 1.522 n n+125.不一定，例如：xn=1+(-1),yn=1+(-1)26. 不一定，例如 xn=(- 1),yn=(-1)nn+1 ,n=1,2,3,?. ,n=1,2,3,?.27 . xn+yn必发散。反证，因为若xn+yn收敛，则有 yn=(xn+yn)-xn与已知矛盾.28 .不一定，例如 xn=1+(-1),yn=1+(-1) n n+1yn收敛， ,n=1,2,3,?. an(-1)n=1 ,例如：an=,n=1,2,3,?. 29.必有 liman+1=a ,但不

12、能推出 lim n?n?ann+130.当pq时，为¥当p=q时，为 apbq;当pq时，为0.【篇二：微积分2习题答案】p(x)?6x3lim?3 ,贝U p(x)?21 .设 p(x)是 x 的多项式，且 lim , 2x?0x?xx ?3222 . limx?x?x)? 6x?2x?3x T x?6 ?2?3 . lim?1? e3 x?x?x3?ax?x?4?a ,则有 a? , a?4 , - 2 4 .设 lim x?1x?1 2sinx5 .设 f(x)?xsin?,则 limf(x)? 2 x?xx 1 x2?sin3x?sin x? 1 6 . lim x?033x

13、2 ?x7 .函数y?的间断点是x?1(x?1)(x?2) 18 .为使函数f?x?tanx 在点x?0处连续，应补充定义 f?0?x3 ?x?x?0在x?0处连续，则参数 k? e?3 9 .设函数 y?(1?x)?x?0?k?x?ax?010.函数f(x)?x 在点x?0处连续，则a? 2 ?e?1x?0二、单项选择题1 .设xn?0 ,且limxn 存在，则limxn n?n?x32？0？0？0？0 2 .极限lime x?11?？1不存在0 3. lim(1?x) 1?x?0x?x?1?1e；e；e?1 ；e?1?1x?limxsinx?3的连续区间是x?1x?2 ？,？2?2,?1?

14、1,?？3,?？2?2?？1?1?,x?x?15.函数y?的不连续点有 ?x?1x?14. y?2个3个4个4个以上6 .下列函数中，.当x?0时，与无穷小量x相比是高阶无穷小量的 是 ;是等价无穷小量的是 ,21?cosx x?x x sin2x7 .当x?0时，sinx与|x|相比是 高阶无穷小量 低阶无穷小量同阶但不等价的无穷小量等价无穷小量?8 .当x?0时，1?cos2x与x2相比是 高阶无穷小量同阶但 不等价的无穷小量低阶无穷小量等价无穷小量?sin3x?,x?09 .设f?x? 为连续函数，则 k =x?kx?0?130310 .函数f?x?在点x0处有定义是f?x?当x?x0时

15、极限存在的 充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件既非充分又非必要条件11 .当x?0时，下列函数中比x高阶的无穷小量是x?sinx x?sinx ln1?x ln?1?x? 12 .当 x?0 时，下列函数中为无穷小量的是 x?sin1111x?sin ？sinx ？sinx xxxx13 .当x?时，下列函数中为无穷小量的是1111x?sin ？sinx ？sinx xxxx14 .设在某个极限过程中函数 f?x?与g?x?均是无穷大量，则下列 函数中哪一个也必是无穷 x?sin大量 f?x?g?x? f?x?g?x? f?x?g?x?x?x0x?x0f?x?b , limf?x?c

16、 ,则函数f?x?在点x0处连续的充分必要15 .设 f?x0?a , lim?条件是a?b a?c b?c a?b?cf?x? gx?x2?1x1?1?16 . x?1 是 f(x)?x?1e ?0?x?1的x?1连续点跳跃间断点可去间断点无穷间断点 三、求下列极限1. lim(x?1?x)?lim x?22 1x?1?x2 x?02. lim(x?1?x)? x?3. lim(x?2x?2? x?2 x2?2x?2) 4x2?limx?x?2x?2?x?2x?22 ?lim41?2222 ?2?2xxxx x?24. lim?arctanx?arcsin?0 ?x?1?x?7(x?1)2?

17、(2x?1)2?(3x?1)2?(10x?1)25. lim (?) x?2(10x?1)(11x?1) nnn?2?2)6 . lim(2n?n?1n?2n?nnnn?2?2解记 xn?2 n?1n?2n?nnnnnnn?2?2?xn?2?2?2 因为 2n?nn?nn?nnnnnn?xn?1 ,由于lim?1 ,所以由夹逼定理,得limxn?1 即n?n?n?1n?1n?7.设 lim?2006 ,求？,？n?n?(n?1)?解原式左端?limn?n?1?1?1?n1?1?o?n?1?1?n?n?n?n?1?lim? (?1 )n?1?n?1?o?n?n?由于极限存在，故？?？1。1200

18、511?1? , ?1? ?2006 ?200620062006?四、分析题|sinx|1 .讨论极限limx?0x|sinx|sinx|?1lim?1 ,故原极限不存在。解因为lim , x?0?x?0?xxx2?12 .求y?2的间断点，并判别间断点的类型。x?3x?2x2?1x2?12?2 , lim2?解因为 x?3x?2?(x?1)(x?2),而 lim2 x?1x?3x?2x?2x?3x?2因此有间断点：x?1为可去间断点，x?2为无穷间断点。.13 .求函数y?6x?的连续区间，若有间断点，试指出间断点的类型。x解函数的连续区间为(?,0)?(0,?)，点x?0为函数的第二类无穷

19、 间断点。n?lim n?4 .讨论函数f(x)?lim?x?1?t?xt?1?tx?t tx?t 的连续性。t 令 y?x?t t?1x?txx?yx?t?x?1?解f(x)?lim?lim?1?y?y(x?1)?ex?1?lim?1?t?xt?1t?xy?0t?1?在点x?1处没有定义，是间断点，故 f(x)的连续区间为(?,1)?(1,?)，点x?1为f(x)的第二类无穷间断点。?cosxx?0在点x?0处的连续性。?x?1x?0f(x)?limcosx?1 , limf(x)?lim(x?1)?1 解?lim?5 .讨论函数f(x)?x?0x?0x?0x?0 f(x)在点x?0处连续性

20、。?a?a?xx?0?x6 .设函数 y?f?x?(a?0)cosx?x?0?x?2(1)当a取何值时，点x?0是函数f?x?的间断点？是何种间断点? (2)当a取何值时，函数f?x?在？?？，？?？上连续？为什么？1cosx1f(x)?lim?,解(1)在点 x?0 处，f(0)? , lim?x?0x?02x?22a?a?x11lim f(x)?lim?lim?x?0?x?0?x?0xa?a?x2af(x)?limf(x),所以点x?0是f?x?的跳跃间当a?0且a?1时，由于lim?x?0x?0断点。f(x)?limf(x)?f(0),则 f?x?在点 x?0 处连续。(2)当 a?1

21、时，由于 lim?又因为在(?,0)或(0,?)上，f?x?为初等函数，所以连续。 故当a?1时，函数f?x?在？?？，？?？上连续。x?0x?0?1?x?1x?0?0?x?1 7 .设函数 y?f?x?x?a1?x?4?(1)求函数f?x?的定义域；(2)讨论函数f?x?在点x?0处的极限是否存在？为什么？(3) a为何值时，函数f?x?在点x?1处连续？并求函数f?x?的连 续区间；(4)画出函数 y?f?x?的图形。解(1) df?(?,?1)?(?1,41f(x)?limx?0 ,所以 limf(x)不存在?1 , limx?0x?0?x?0?x?0x?0x?1f(x)?limx?1

22、, limf(x)?lima?a ,(3)在点 x?1 处，f(1)?a ,lim?f(x)?lim (2)因为 lim?f(x)?limf(x)?f，所以，当a?1时，lim即函数f?x?在点x?1处连续。？此时，f?x?的连续区间为：(?？,？1)?(?1,4(4)略五、证明题1 .证明方程x?7x?4在区间(1,2)内至少有一个实根。5证设 f(x)?x?7x?4 , f(x)在1,2上连续，5x?1x?1x?1x?1x?1x?1又f(1)?10?0 , f(2)?14?0 ,由零点定理知，在(1,2)内至少存在一 点？，使得f？0 ,即？5?7?4?0 ,故方程x?7x?4在区间(1,

23、2)内至少有一个实根。2 .证明：方程x?2sinx?k (k?0)至少有一个正根。证设f(x)?x?2sinx?k?c0,?)因为 f(0)?k?0 , f(k?3)?3?2sin(k?3)?0故由零点定理知，？?(0,k?3),使得f(?)?0 ,所以方程x?2sinx?k至少有一正根。3 .证明方程 x?asinx?2(a?0)至少有一个正根，并且不超过a?2证设f(x)?x?asinx?2 ,下面分两种情形来讨论：情形1若sin(a?2)?1 ,则因为a?0 ,故a?2是方程x?asinx?2(a?0)的正根，并且不超过 a?2 o情形 2 若 sin(a?2)?1 ，则因 a?0 ,

24、故 f(a?2)?a1?sin(a?2)?0,5f(0)?2?0 ,又因f(x)在0,a?2上连续，故由零点定理知，?(0,a?2),使得 f(?)?0 ,因此？是方程 x?asinx?2 (a?0)的正根,并且不超过a?2 o4 .设n为正整数，函数f(x)在0,n上连续，且f(0)?f(n),证明存在 数 a,a?1?0,n,使得 f(a)?f(a?1)。证若 n?1 ,即 f(0)?f(1),取 a?0 , a?1?1?0,1,结论成立。f(x)在0,n?1上连续，因为f(0)?f(1)?f(n?1)?f?f(0)?f?f(1)?f?f(2)?f(n)?f(n?1)?f(n)?f(0)?

25、0则n个实数f(0),f(1),?,f(n?1)全部为零或同时有正数与负数，(1)若这些数全部为零，即 f(0)?f(1)?f(n?1)?0,则结论成立。(2)若这些数中有正数与负数，即有某个f(i)?0,f(j)?0,(i?j,0?i,j?n?1)于是由零点定理可知，在 i与j之间存在一点 a (显然 a,a?1?0,n),使得f(a)?0 ,即 f(a)?f(a?1) #【篇三：微积分上册部分课后习题答案】txt>习题五 (a) 1 .求函数f x,使f ' x x 23 x且f 1 0 .解：f ' x x 2 5x 6 1 5 f x x3 x 2 6 x c 3

26、 2 1 5 23 f 1 0 6 c 0 c 3 2 6 1 5 23 f xx3 x 2 6 x 3 2 6 12 . 一曲线y f x过点(0, 2),且其上任意点的斜 率为 x 3e x ,求 f x . 2 1 解：f x x 3e x 2 1 2 f x x 3e x c 4 f 0 2 3 c 2 c 1 1 2 f x x 3e x 1 4 / 2史知f x的一个原函数为 e x,求f ' xdx . 2 2 解：f x e x ' 2 xe x f f ' xdx 2 f x c 2 xe x gx4点 作直线运动，如果已知其速度为3t 2 sin t

27、 ,初始位移为s0 2 ,求s和 t 的函 dt 数关系.解：s t 3t 2 sin t s t t 3 cos t cs 0 2 1 c 2 c 1 st t 3 cos t15 .设 In f x ,俅 f x .1 x2解：In f x ' 1 In f x arctan x c11x2f x earctan x c1 cearctan x cgt 0 116.求函数 f x,使 f 'xe 2 x5 且 f 0 0 . 1 x 1 x 2 1 1 1解：f x ex 5 f x In x 1 arcsin x e 2 x 5xc 1 x 1 x 2 2 1 1 f 0

28、 0 0 0c 0c 2 21 2x1 f x In x 1 arcsin x e 5x 227.求下列函数的不定积分x x2 / t/( d) dx (2) x a t 1 x2 1/ x m n (3) x dx (4) dx 2 1 x4 1 1 sin 2 x (5) / x 2 1 dx (6) / sin x cos x dx 1 cos 2 x/ / cos 2 x(7) dx (8) dx sin x cos x 1 cos 2 x / sin0) cos 2 sin 2x dx / cos 2 x x(9) 2 2 dx x cos x 2 cos 2 x 1 2x 1/si

29、n /e e(13) / £dx (14) / 10 x dx e x x e-x (15) / x dx (<6) ex 2 x 1 3x dx 1 x 1 x x 2 1 1 x 2 5 x (17) f dx 1 x 1 x (18) f x 1 x2 dx 1 x2 1 cos 2 x (19) / 1 x4 dx (20) / 1 cos 2 x sin2 x dx x3 x 1 x4 x2)fx 1 x 2 2 dx (22) /1 x 2 dx 1 33 5/2 2 解：(1) x 2 x 2d x x 2 x2 c 3 5 1 d t 1(/2)1 2 1 t 1 2 ca a t 1 2 n nm /x m dx m x m c m 丰 n m 丰 0 nm n< m dx in x c m n dx x c/ m0121 / x2 1 dx x 2 arctan x c x 2 x 21 x2 1 x3 (5) / x 1 2dx 3 x 2 arctan x c sin 2 x cos 2 x2 sin x cosx sin x cos x 2(6) f