广义积分习题课

1、第十一次习题课讨论题解答本次习题课主要讨论广义积分的计算及其收敛性判定。具体有三方面的内容：1 .广义积分计算2 .广义积分的收敛性判定3 .三个重要的广义积分两点说明：(1)为了判断广义积分J ：= JI f (x)dx的收敛性，我们常常将被积函数f (x)作分解f(x) = fi(x) + f2(x),使得广义积分 Ji := 11g(x)dx和J2 := 11f2(x)dx的收敛性比较容易判断。根据积分 Ji和J2的收敛性，我们可以确定积分J的收敛性。具体有如下结论：(i) 如果积分Ji和J2都收敛，则积分 (f(x)dx也收敛。(ii) 如果积分Ji和J2 一个收敛，一个发散，则积分

2、J发散。(iii) 如果两个积分都发散，则积分J收敛性尚不能确定。此时只能说分解式f(x) = fi(x) + f2(x)不管用。二.2sin x , dx cos2x ,例：广乂积分 fdx= 1f+ -dx。i x i 2x i 2xbb(2)对于正常积分，积分f f (x)dx存在意味着J|f(x)dx存在；反之不然。而对于广义积aa分情形则刚好相反：广义积分f(x)dx存在(收敛)意味着 (f(x)dx存在(收敛)，反之不然。计算下列广义积分 说明：以下广义积分的收敛性不难证明，故略去。但同学们自己作为练习应该考虑。:dx4,题 i. I = j=,其中 ba oa .(x - a)(

3、b -x)解：对于x Wa,b,我们又等式x-a b-x x-a b-x+=i,且之0,之0。受此启发,b -ab-ab-a我们作变换x-a . 2+=sin t,于 b -ab -xb -a2=cos t,且 dx = 2 sin t cost 。因止匕二/2I = 2dt=冗。解答完毕。注：值得注意的是，这个积分的值与上下限a和b无关。题2.be .dx0 1 x3解：注意x至1时01 x2由此可以判断所求无穷积分收敛。为计算积分，可以利用有理函数积分法:1 +x3 = (1 + x)(1 X + x2),（较繁琐）。另解：原式-be+ f,在其中无穷积分中引入积分变量代换x = 1/t

4、：dx11tdtt20*dt=301 x原式化为两个普通积分的和，且都在0,1区间上:原式解答完毕。题3. I0 1 x3, dxdx=0-Varctan2(x -1/2)dx0 (x -1/2)2 (. 3/2)22 ,.1.(arctan - arctan- 333, 3dx0(1x2)(1xa)其中解：将积分分成两个部分I1 :=dxo(1 x2)(1 xa)dx1 (1x2)(1xa)对积分11作变换x = 1 / y得Ii-yadyxadxdx.y2 1)(1 xa)1 (1 x2)(1xa)解答完毕。（注：积分值与参数值 a无关）题4.3x2，一一 一一、一-dx （有理函数积分或

5、者变量代换）o1 x41 x2解法一：LJL0 1 x4dx - 0 (1 2x x2)(1- ,2x x2)dx1 11二一(22)dx2 0 1 、2x x 1 - “ 2x x-be510F=(arctan*+arctanW)V222J21 解法一：令t=x(评：这变换有点怪异，很难想到。这样的特别技巧并不是很多，我 x-1 .们最好都能记住)，则 dt = (1 + 2)dx ,此外t20 时 tT -8 ,= (x-)2 =x2：1 x20 1 x4x-bedx =dt22x 1 _ 1 1/x _ dt/dx-4 = 2 = 2 -x1 x1/x t2-be-2= arcta_.-

6、t22.2O解答完毕。二、判断广义积分的收敛性。、：中dx解：该积分既有奇点 x=0,又是无穷区间上积分，是混合型的广义积分。需要分别处理。在奇点x = 0附近ln(1 x) 1 ln(1 x)以下考察无穷积分p xdx仅当p 1时，取0 A0充分小，使得p 1 ,从而而且1mxp-Jn(1 x)px.ln(1 x)二 lim ：-x一；.：x =0,这说明：1；dx 收敛， p -，1 xadx收敛;1 xp当p 41时,lim xx二1n(1 x) = lim x1- ln(1 + x)=收，xp x ,二 ),1由于 f-dx发散,1 x1 x)p xdx发散。综上，当且仅当1 ：二p2

7、时，积分Fn(1 +x) dx收敛。解答完毕。0 xppdx ,其中 p A 0。解：当u之0被积函数没有奇点，当 口 1+0(时积分fBdx收敛。i1 x -综上，当且仅当二 x:一1,且P 1十口时，积分fgdx收敛。解答完毕。o1 X题3.0.2sin xdx(第六章复习题题 2(1), p.206 )解：先考积分在奇点x = 0处的收敛性。我们将被积函数写作1一.F(XT03,可见当且仅当a-1时，积分be a为考察无穷积分一片dx ,注意无论&的符号如何，者B有1 1 x -sin x 2而积分1cos2x2xpdx收敛，当且仅当sin2 x 1;p = P -2一X X由此可见，积

8、分在点 x = 0处的收敛，当且仅当 p -2 1 ,即p 11 2xp由此可知积分.sn-dx收敛，当且仅当 p 1 1 xp综上所述，积分1心3dx收敛，当且仅当1 p 1 ,使得x至A时sin 之x 2x于是21 sin x 1 cos2x sinxsin -之=一x 2x 2x 2x由此可知积分sinxsinl|dx发散。综上可知原广义积分条件收敛。解答完毕。题6.讨论如下广义积分的绝对收敛性和条件收敛性，其中p 0 o(i)Ii2sin x ,p-pdx2 x p(xp sin x)(ii)sin x2 xp sin xdxsin x（iii） I3 = -dx0 x sin x解：

9、（i）由于被积函数为非负的，因此它收敛即为绝对收敛。当p 1/2时，根据不等式sin x1.p pp，可知积分Ii收敛。xp(xp sin x) xp(xp -1)当00均收敛。 再根据结论(i),我们可以断言，积分2 xpI2收敛，当且仅当p1/2时。再来考虑绝对收敛性。当 0 p E1时，根据不等式| sin x|sin2 x11cos2x )-2=一 一xp +sin xxp +1 2 1时，根据不等式 |sinx|,我们可以断言f |sin x 1 dx收敛。于是xp sin xxp 72 xp sin x积分I2条件收敛，当且仅当1/2p1o(iii)注意对于任意 p 0 ,1 1,

10、 p 1皿 ps1nx= 1/2, p=11 +xp+sinx0,0 p1这表明点x=0并不是被积函数的奇点。因此积分I3与积分I 2的收敛性相同，即积分I3条件收敛，当且仅当1/2 p 1o解答完毕。三.三个重要的广义积分二/2(1)计算 Euler 积分 I = Jln cosx dx。0(2)计算 Froullani 广义积分 f f (ax) - f (bx) dxx二 、（3）证明概率积分（也称 Euler-Poisson积分）e- dx=。204（证明有点长，已超出要求，可略去。但证明不超出我们所学，也不难懂。）-Z2（1）.（课本第六章总复习题 9, p.207 ）计算Euler

11、积分I = flncosxdx。 0i / 2提示：用配对法求积分值。考虑另一个积分J = Jlnsinx dx。0解：易见x =兀/2是Euler积分的瑕点。这里我们略去证明收敛性的证明（不难），只专注二/2如何求出积分I的值。我们尝试用配对法来求积分值。考虑相关积分J = lnsinx dx。不0难证明这两个积分相等，即 I =J。于是我们有二/2二/2二/2.：1/2JL2I = lncosxdx，ilnsinxdx= ln cosxsin x dx = - - ln2，ilnsin2xdx。二/2i 二lnsin2xdx=- lnsinydy。02 000020二/2对于积分 pnsi

12、n2x dx,作变量替换得0.!2显然 flnsinxdx=2 flnsinxdx。由此得002I一/2冗._ n . _.=ln 2 + f ln sin 2x dx = - ln 2 + I 22004TT于是I =-ln 2o解答完毕。2注：可利用上述Euler积分计算以下积分的值二/2I) xtanx dx07/2II) xlnsin x dx0二/22x III) -dx0 sinx二/2iv)sin2 xln sin x dx0(2)设函数f （x）在0,+尤）上连续且极限lim f （x）存在，记作f（上）。证明Froullani广义 x ）二二积分f (ax) - f (bx)

13、bdx = (f (0) 一 f () )ln 一 ,其中 a, b 为两个正数。a提示：将积分分成两部分之和 I = I1 +12,这两个部分分别为从 0到1和1到+8的积分。对于积分Il,考虑从&到1的积分,将被积函数拆开，并作适当的变量替换。对于积分I2可作类似处理。证明：我们将积分I分为两个部分I11 -二 f(ax) - f (bx) dx , I2?f(ax)-f(bx)dxo考虑1一对于任意 亦(0,1),我们有1 _ ，、_f (ax) - f (bx)-dx =- x1f (ax)x1a _, f(bx) . f(u)dx - -L dx = x a udu =b 阡(u)丁

14、丁a而 Wdu =f( ) -du = f ( )lnb a. ua uaf(0)lnb, a因此I11f (ax) - f (bx) 二J1dx = lim 0f (ax) - f (bx)dxf)1nbif(u)du 考虑I2。对于任意A 1,我们类似有ff(ax) - f(bx) dx :Ixaf (u)bAdx du。aA ubAbA而 Uu)du = f( a).dubb =ff1A)lnf f(Z)ln-, At。故A _f (ax) - f (bx) b f(u) 上一、1 b dx jdu - f (+*)ln - 因此原积分为b I =I1 +I2 =(f(0) _f (收)

15、n-。证毕。 a注1:我们可以直接对积分R -f(ax) f (bx) dx作分拆,然后分别做变量替换。然后令RT 收和rT 0 +,得到相同的结论。这样处理更简洁。注2：利用上述Froullani积分，同学们可以计算如下积分，其中 a, b为两个正数。arctan ax - arctanbxdxdx-bo2（3）证明概率积分（也称 Euler-Poisson积分）fe, Adx =。2注1:根据概率积分公式，我们立刻得到（1/2） = Jn。因为r (1/2)= fxA/2edx=2 fe-L2dt注2:下个学期我们将学习多重积分。届时我们将用更简单的方法证明概率积分公式。提示：回忆函数et

16、的定义:eim 1。令 t = 一x2,则 e-x = lim 11 n LU.2 A” x因此我们有理由期待-bee0dx =dx = limn ):：be/1 一0 .dx。（注：第二个等式的成立是需要证明的）。由于积分11-0 ndx不方便处理，所以我们考虑它的截断、n积分J1 -0 dx,这里积分上限取为 7n ,理由是这样的截断积分有一个较整齐的计算结果。于是我们有理由期待二y ne dx = lim ! 1 -n )二00 .ndx。（这不是证明，而是希望）。按以下步骤完成计算。、n , Step1.记 I n ：= / 1 - 0 -J2n 1呵，2 B2n + 1 ：(2n+1

17、)!_（注：公式（iii）称作华莱士公式即Wallis公式）Step3.证明她亘。Step4.证明a1 i1 ce, Va 0 , Vtw0,a。,aStep5.证明7十工a.,Va 1, Vte0,aox2Step6.由 Step4,5 可知 0 WemAn,Vn 1, Vx 0, Vn o 由此证明n | lim e ni-bc .0_x21 dx = 0.IStep7.证明-beL20,6dx =2解：定义In := 1 10 kdxoStep 1.作变量代换x = 4 n sin t得二/2In - n0cos2ndtn (2n)!(2n 1)! 二/2Step2.记 Jn := fs

18、inn xdx.0注意Jn还可以写作二/2cosn xdx。回忆关于积分J n公式0(2n)!(2n 1)!(2)届 L“日 J2n 2(2n 1)!由此得=J2n(2n 2)!(2n)!(2n -1)!2n 1 *2n 2nT +s。即式（i）成立。另一方面容易看出 J2n 2 :二J2n1 ：二J2nVn 1 o因此lim上知也=1 o即式（ii）成立。二 J2n1将公式（2）代入式（ii）,我们就得到lim - n j 二二2(2n)!2n +1 1(2n + 1)!_ji一,即式（iii）成立。2Step3.根据Wallis公式，我们立刻得到n; Va0, Vt0,a。at.Step4.证明1 - - ea证：当t = a时，不等式显然成立。考虑情形 t w