2015年研究生数学建模竞赛优秀选ek

1、为 90°时可以达到更大的速度。（2）增加对曲线光滑转接算法和逐点比较圆弧插补法的推导计算；分析圆弧半径的变化对算法效率的影响；在不考虑瞬时启动度及瞬时启动速度的前提下，对示例进行了计算，在保证效率最高耗时最短的前提下，得到最度为0.0752 m s2 ，总耗时为91.7090s 。度及瞬时启动速度的前提下，重新推导 S 形曲线大速度为1.26m min ，最大（3）在考虑瞬时启动加规律，分析加规律的动力学特性，对示例进行了计算分析，得到度为0.0778 m s2 ，总耗时为91.6532s 。最大速度为1.26m min ，最大（4）提出渐变加度的简化模型，采用长距离时间近似的，保

2、证了的平稳性和效率的高效性。本文主要的特色之处在于：（1）在进行插补时，与传统逐点比较插补法对比，边切割边插补点选择的正确性与精确性。，以确保（2）对不同条件下的 S 形曲线加进行详细地推导，全面地分析了不同情况下的参数条件。（3）提出了光滑转接算法，使转接处误差尽可能的缩小，并对角度、分析。速度与误差的进行了（4）采用长距离时间近似的，提出渐变加度的简化模型，简化了计算，确保了的性。；插补； S 形曲线；光滑转接：数控；优化- 3 -目录目 录. - 4 -1234问题重述与分析. - 5 -模型假设. - 6 -符号定义. - 6 -优化算法. - 7 -基于折线光滑转接的实时4.14.2

3、4.34.44.5问题分析. - 7 -改进的逐点比较插补法. - 7 -基于 S 型曲线的加. - 9 -光滑转接算法. - 13 -误差分析. - 15 -5简化条件下的曲线实时优化算法. - 17 -5.15.25.35.45.55.6问题分析. - 17 -改进逐点比较法圆弧插补. - 17 -曲线光滑转接算法. - 18 -圆弧半径的变化对算法效率的影响. - 19 -对示例的检验. - 19 -误差分析. - 21 -6实际条件下的曲线实时优化算法. - 22 -6.16.26.36.4问题分析. - 22 -实际条件下的 S 型曲线的加. - 22 -对示例的检验. - 26 -

4、误差分析. - 28 -7提高机床运行平稳性的优化模型. - 28 -7.17.27.3问题分析. - 28 -度的简化模型. - 28 -渐变加误差分析. - 30 -8模型的评价. - 30 -8.1 模型的优点. - 30 -8.2 模型的不足. - 30 -结 论. - 31 -9.1 本文的总结. - 31 -9.2 未来的展望. - 31 -9参考文献. - 33 - 4 -1 问题重述与分析随着计算机技术的高速发展，传统的业开始了根本性，各工业发达模式。在现代投入巨资，对现代技术进行研究开发，提出了全新的系统中，数控技术是，具有高精度、高效率、柔性自动化等特点，对业实现柔性自动化

5、、集成化、智能化起着举足轻重的作用。数控编程首先通过计算机组成的数控编程系统对读入的零件进行和译码等处理后通过输入装置将它们传输给系统，然后由数控系统对输入的指令进行处理和轨迹插补计算出数控机床各坐标轴方向上刀具的，进而通过机床驱动以及机床将刀具在各坐标轴方向上的出所需的工件。为刀具实际轨迹和速度，刀具行走的路线一定是一系列首尾相接的直线段，因此刀具的轨迹与工件几何形状之间肯定误差；每一机床都有对应的分辨率，刀具的方向受限制，并影响到刀具的速度、度；要求机床平稳，速度光滑、度连续等。刀具的优化则是在数控机床所提供的精度、速度、度等限制条件下，寻求对机床刀具在各坐标轴方向上的进行合理，进而优化其

6、效率。而对于曲线，算法就是在满足误差要求的条件下，通过插补的，找出若干小直线段组成刀具的轨迹，同时计算出刀具对应的在数控速度、度。零件的轮廓轨迹多种多样，很多过程中，待场合零件程序都由多个程序段组成，每个程序段包含一段直线或者一段圆弧。插补是整个数控系统中一个极其重要的功能模块之一， 其算法的选择将直接影响到系统的精度、 速度及能力等。所谓插补，就是指数据密化的过程。在对数控系统输入有限坐标点（例如起点、终点）的情况下，计算机根据线段的特征（直线、圆弧、椭圆等），运用一定的算法，自动地在有限坐标点之间生成一系列的坐标数据，即所谓数据密化，从而自动地在多个坐标轴进行脉冲分配，完成整个线段的轨迹运

7、行，以满足 精度的要求1。在深入研究数控优化的基础上，完成以下工作：1、设型线为折线，在指定误差（指在型线的法线方向上型线与刀具实际轨迹的差值的最大值）的条件下，建立实时优化算法，当相邻两折线段夹角为 90°和 135°时，讨论通过折线交点时对应各坐标度的变化；速2、设型线是由直线段和圆弧段（相切或不相切）组成的连续曲线，在指定工优化误差的条件下，不考虑瞬时启动度及瞬时启动速度，建立实时加算法，讨论圆弧半径的变化对算法效率的影响；并应用所建立的模- 5 -型对下面的路径示例进行检验；3、在第 2 问基础上，考虑瞬时启动度及瞬时启动速度，建立相对应的实时优化算法；并应用所建立

8、的模型对下面的路径示例进行检验；4、结合前 3 问，分析 S 型曲线的加的优缺点，在满足精度和速度要求的条件下，建立能提高机床运行平稳性的优化模型（如刀具在各坐标轴方向上的满足加度连续变化等）。2 模型假设1.2.3.4.5.假设刀具在插补过程中，只考虑刀具方向，刀具本身大小不计；假设刀具插补时按直线行进，在微观层面上不考虑加；假设 S 型曲线的速度问题在宏观上有效，微观上的插补只做误差分析；假设插补方案不影响计算 S 型曲线的速度问题计算时；渐变加度的增加斜率是由机床自身固有属性决定的，即不可以任意改变其大小。3符号定义符号定义Ti (i = 1, 2, V0i (i = 1, 2, S0i

9、 (i = 1, 2,J, 7), 7), 7)S 型曲线 7 个时间段S 型曲线 7 个时间段的末速度S 型曲线 7 个时间段的位移加度Am度最大值Vm速度最大值A0瞬时启动度Vs起始速度和终止速度的最小值Veq起始速度和终止速度的最大值转折点夹角- 6 -4 基于折线光滑转接的实时优化算法4.1 问题分析刀具的优化则是在数控机床所提供的精度、速度、度等限制条件下，寻求对机床刀具在各坐标轴方向上的进行合理，进而优化其效率。为了得到更实时得优化算法。，本章主要讨论基于S 型曲线的加和光滑转接由于数控机床对刀具在坐标轴方向的实行的是分别刀具行走的路线一定是一系列首尾相接的直线段，每一机床都有对应

10、的分辨率，故加工刀具的方向受限制，并影响到刀具在三个坐标轴方向上的速度、度。这里只讨论二维情况下的刀具决定的。，刀具的真实路径是由 X 和Y 两个型线是指设计的曲线或直线，而刀具实际轨迹只能是由一系列直线段组型线的近似，有一定的误差。成，是在问题一中，设型线为折线，在指定误差的条件下，相邻两折线段夹角分别为 90°和 135°时，讨论通过折线交点时对应各坐标速度的变化。目的在误差条件及其他要求条件下，使时间最短。4.2 改进的逐点比较插补法刀具实际轨迹只能是由一系列直线段组成，是型线的近似，有一定的误差。由于数控机床对刀具在坐标轴方向的实行的是分别，刀具行走的路线一定是一系

11、列首尾相接的直线段，每一机床都有对应的分辨率，任一直线段在水平面上对应的坐标增量记为Dx, Dy ，则Dx, Dy 的长度一定都是分辨率的整数倍，故上的速度、数控头才开始刀具的度。是提前将方向受限制，并影响到刀具在三个坐标轴方向路径、到达时间及对应的速度先统一算出后，刀，算法的计算量大小对优化的影响不是很大，因此这里重点是对轨迹优化及对应的速度。为了更设计刀具的方案、提高精度，需要对其进行插补运算。首先采用的是逐点比较法插补，见图 4.1。- 7 -图 4.1 逐点比较法直线插补图这里以逐点比较法的直线插补过程为例，每走一步要进行以下四个节拍，即判别、进给、运算、终点比较2：（1）判别。根据偏

12、差值确定刀具与直线的位置；（2） 进给。根据判别结果，决定 X 或Y 移动一步，并计算是否超过指定加工误差；（3） 运算。计算出刀具移动的新偏差；（4） 终点比较。偏差判别函数 Fij 为= xe y j - xi yeFij由 Fij 的数值（即偏差）就可以判别出 P 点与直线的相对位置。即：= 0 时，点 P( xi , yi ) 正好落在直线上；> 0 时，点 P( xi , yi ) 落在直线的上方；当 Fij当 Fij当 Fij时，点 P( xi , yi ) 落在直线下方。< 0当刀具由当前点( xi , yi ) 向 x 方向前进一步，到达新点 P(xi+1, yi

13、) 时，则= xe y j - xi+1 ye = xe y j - xi ye - ye = Fij - yeFi+1, j当刀具由当前点( xi , yi ) 向 y 方向前进一步，到达新点 P(xi , yi+1 )时，则Fi, j +1 = xe y j +1 - xi ye= xe y j - xi ye + xe = Fij + xe逐点比较法插补精度较高，为一个脉冲当量，改进型的精度能提高到半个脉冲当量，对于本题目而言，逐点比较插补法选取的各个点 超出误差e = 1mm 的范围。问题一考虑的是两条直线所相接成的折线段问题，因此定义逐点比较插补法终点为折线交点最近的一个点，再以这个

14、终点为起点，对另一条直线进行插补计3。算，从而得到相邻两折线段的插补计算由于刀具行进的下一个点不一定是上下左右四个点，还可以是、右上、左下、右下，对行进方向的依据也加以优化。因此这里提出改进的逐点比较- 8 -插补法。加度是分段定值是 S 型曲线的条件，为了保证相对平稳，需要考虑加度连续性，因此在保证精度的前提下，转折的次数越少越好4。图 4.2 中的红色部分为改进后的路径。图 4.2 改进逐点比较法直线插补图下面就改进的逐点比较插补法进行说明。（1）首先，根据逐点比较插补法计算路径，获得通过的所有点的集合V =v1, v2, vn。（2）从起始点起周围 8 个方向的 8 个点中属于集合V 的

15、点的个数。（3） 若只有 1 个，则这个点作为刀具的下一个目标点。以此目标点为基准，周围 7 个方向的 7 个点中属于集合V 的点的个数。（4） 若有 2 个，则比较这两个点到直线的距离，选取距离小的作为刀具的下一个目标点。以此目标点为基准， 周围 6 个方向的 6 个点中属于集合V 的点的个数（另外 2 个点）。（5） 以此类推，直到到达终点。4.3 基于 S 型曲线的加型线是指设计的曲线或直线，根据问题一要求， AO 与OB 是相邻两折线段，见图 4.3。OV0d2k 2qBV2d1k1AV1图 4.3型线示意图其中， d1 、 d2 为前后两直线的长度， k1 、k2 为前后两直线的斜率

16、，q 为折线交- 9 -点的角度。接下来计算刀具路径上的速度的变化。作为单个坐标这里采用 S 型曲线的加的，将加减速过程分为 7 个阶段，以保证速度光顺，行的平稳性5。度连续，在一定程度上增强机床运图 4.4 为刀具沿着部分）。型曲线切割时所采用的 S 型曲线（或者S 型曲线的一图 4.4 S 型曲线加描述其中，T1 为加时间， T5 为加区时间，T2 为匀区时间， T6 为匀区时间，T3 为减区时间， T7 为减区时间，T4 为匀速区区时间。ìV t + Jt63s1ïïS01 + V01t 2 + JTïS+ V t + JT0202 3ï

17、S (t ) = íS03 + V03t 4ïSt - Jt404 5ïS+ V t - JTï0505 6ïîS06 + V06t 7 - JT= V + J 2T 2， V= V + JTT ， V= V + JTT- JT 2 2， V= V，其中 V0 1s102011 203021 330403V= V - JT 2= V - JT T= V - T T J + JT 22 ，V，V2 。0504506055 607065 77则位移 S 计算公式通用形式如下：S= V T + JT 3 601s 11- 10 -S= S

18、+ V T + JTT 2 2020101 21 2S= S+V T + JTT 2 2 - JT 3 6030202 31 3S04 = S03 + V03T43S= S+ V T - J T 3 6050404 51 5S= S+ V T - JT T 2 2060505 65 6下面对 S 型曲线加规律进行具体计算如图 3 所示，设起点速度为V1 ，终点速度为V0 ，直线段长度为d ，则在这个，用 S 型加规律实现的加计算过程如下文。= minV1,V0 ，Ve = maxV1,V0 ， S = d ，加令VsAmax 。度为 J ，最大度为= (V+V )= (V+V )令DV = A

19、2J ， AV2 ， AV2max1maxs2maxe若Vmax -Vs ³ DV ，有匀区T1 = T3 = Amax JT2 = (Vmax -Vs )Amax - AmaxJ若Vmax -Vs < DV ，无匀区(Vmax -Vs )T2 = 0T1 = T3 =J 2若Vmax -Ve ³ DV ，有匀区T5 = T7 = Amax JT6 = (Vmax -Ve )Amax - AmaxJ若Vmax -Ve < DV ，无匀区(Vmax -Ve )T6 = 0T5 = T7 =J 2则S1 = AV1 ´(T1 + T2 + T3 )S2 =

20、 AV2 ´(T5 +T6 +T7 )T4 = (S - S1 - S2 )Vmax加可分为如下两种情况6：在一个，1、T4 ³ 0 ，速度能达到Vmax ；2、T4 < 0 ，速度不能达到Vmax ，又分为两种情况：，由于Vs < Ve ，(1)只有区和同速区和匀速区两种情况；- 11 -(2)，有三种情况：a)b)c)同同速区和速区和区，但没有匀区，有匀区。区和匀区；区；区，但没有匀有完整的区和t = (Ve -Vs )2 。下面进行，若Ve -Vs ³ DV ，则x+maVe -Vs < DV ，AxmaAJ ；若(Ve -Vs )= (V

21、s +Ve )t则t =J ，令St(1) 若 S £ St ，则为情况，且无匀速区；若Ve -Vs ³ DV ，有匀区T1 = T3 = Amax JT2 = (Ve -Vs )Amax - AmaxJT4 = T5 = T6 = T7 = 0区若Ve -Vs < DV ，无匀(Ve -Vs )T1 = T3 =J 2T2 = T4 = T5 = T6 = T7 = 0(2) 若 S > Sta) 若Ve = Vmax ，则为若Ve -Vs ³ DV ，有匀情况，有匀速区； 区T1 = T3 = Amax JT2 = (Ve -Vs )Amax -

22、AmaxJ()()æV +VT + T + TöT = S -se1 223 Vç÷4eèøT5 = T6 = T7 = 0若Ve -Vs < DV ，无匀区T1 = T3 =(Ve -Vs )J 2()()æV +VT + TöT = S -se13 2V4ç÷eèøT2 = T5 = T6 = T7 = 0情况。b) 若Ve < Vmax ，则为t1 =(Vmax -Vs )(Vmax -Ve )J ， t2 =Jt3 = (Vmax -Vs )t4 = (V

23、max -Ve )Amax - AmaxAmax - AmaxJJ- 12 -则S1 = AV1 ´t1 + AV2 ´t2 S2 = AV1 ´ t3 + AV2 ´ t2S3 = AV1 ´t3 + AV2 ´t4若 S < S1 ，同速区和区，但没有匀区和匀区。令Vl = Ve ，Vh = Ve + DV ，用二分法求出所能达到的最大速度Vm(Vm -Vs )(Vm -Ve )T1 = T3 =T5 = T7 =(Vm -Vs )JJT4 = (S - 2´ AV1 ´J ) Vm(Vm -Ve )J

24、- 2´ AV2 ´T2 = T6 = 0区，有匀若 S < S2 ，同速区和区，但没有匀区。令Vl = Vs + DV ，Vh = Ve + DV ，用二分法求出所能达到的最大速度VmT1 = T3 = Amax JT2 = (Vm -Vs - DV )Amax(Vm -Ve )T5 = T7 =J 2T4 = (S - AV1 ´(Vm -Vs )J ) VmJ ) - AV2 ´(Vm -Ve )Amax - AmaxT6 = 0若 S < S3 ，同速区和区，有匀和匀区。令Vl = Vs + DV ，Vh = Ve + DV ，用二分

25、法求出所能达到的最大速度VmT1 = T3 = T5 = T7 = Amax JT2 = (Vm -Vs - DV )T6 = (Vm -Ve - DV )AmaxAmaxT4 = (S - AV1 ´(Vm -Vs )J )J ) - AV2 ´(Vm -Ve )Amax - AmaxAmax - AmaxVm若V1 £ V0 ， T1 到T7 即为所求，反之T1 与T5 互换， T3 与T7 互换， T2 与T6 互换。路程的分段情况相关数据均已得出，可以根据不同情况区分 S 型曲线的类型，进而得到最优的方案。4.4 光滑转接在问题一中， 所示。算法型线为折线

26、，由两条直线段所，其夹角为q ，如图 4.5- 13 -OV0dO2S2qSOkB122V2O1d1Sk1AV1图 4.5光滑转接示意图AO 段和OB 段理论上来讲经过O 点转接，若不在 AO 段到 0，而以速度V0 转接，在转接过程中，经过 S 时的速度视为匀速，速度大小为V0 ，且会使当前点O1 与转节点O 的距离S1 小于转接速度V0 在一个插补周期T 内的位移 S = V0T 。即如果继续在当前段插补下一步，下一插补点将超过终点O2 ，因此需在线段OB 上计算实际转节点O2 7。设点O1 的坐标为O1 ( x1, y1 ) ， O 的坐标为O(x0, y0 ) ， O2 的坐标为O2

27、( x2, y2 )，B 的坐标为 B ( x3 , y3 ) ，若OB 不是水平或者竖直线段，则转节点的横纵坐标应满足以下条件ì( x)()22- x+ y - y= S22121ïï y - y 2í 20 = kx - x 2ï20x0 )( x2 - x3 ) < 0ï(î其中k 为OB 的斜率。O2 点的坐标。可以特别的，若OB 为水平线段，则有ì y= yï20ïxS= x ±í21y - yï21ï(x0 )( x2 - x3 ) &l

28、t; 0î若OB 为竖直线段，则有ìx= xï20ï yS= y ±í21x - xï21ï()()y - yy - y< 0î2023确定O2 ( x2, y2 )后，以O2 为直线段OB 的起点进行下一段直线插补。下面分析q 分别为 90°和 135°时，折线交点对应的速递变化。- 14 -BBSaSb135VbVa90OAOA图 4.6 不同角度下光滑转接示意图在经过 AO 时速度变化为 S 型曲线或 S 型曲线的一部分最终转接前的速度为Va 和Vb ，在等精度情况下（这里

29、考虑偏离型线的程度作为精度评判的依据），Sb > Sa ，由于转接是在一个插补周期T 内进行的，因此两者转接的时间相等，可以得出Va < Vb 8。因此，当q 分别为 90°时，通过转折点时速度的变化为：以 S 型曲线来直到速度为Va ，再以Va 匀速行进一个插补周期T 时间，再以 S 型曲线来。当q 分别为 135°时，通过转折点时速度的变化为：以 S 型曲线来度为Vb ，再以Vb 匀速行进一个插补周期T 时间，再以 S 型曲线来根据Va < Vb ，当q 分别为 135°时刀具切割耗时更短。4.5 误差分析直到速。对于实时差。的误差分为两种，

30、分别是逐点比较的误差和光滑转接的误逐点比较插补法的误差分析由于刀具的方向为竖直、水平、斜45 三种情况，理想状况下直线段完全贴合这三种情况误差则最小，因此当直线的斜率为 0，±1或者不小，反之与之相差越大则误差越大9。时误差最光滑转接算法的误差分析在上述算法中，实际上牺牲了两段直线段的连接点O 处的部分精度，该插补算法的主要理论误差在于两直线段的连接点O 处的误差。如图 4.7 所示，假设相邻两直线段的夹角为j ， OO¢ = OO2 ，O ¢插补周期内所经过的位移为O1O¢ = SOjeSS2 O 2S1O1图 4.7 直线光滑转接路径示意图- 15

31、-根据正弦公式，三角形OO1O2 的面积为S = 1 × S × S × sin jD122同时面积还可以表示为S = 1 × e × SD2所以e = S1 × S2 ×sin jS根据余弦定理得cos(p -j )S 2 = S 2 + S 2 - 2S S121 2即()cos(p -j ) +()2S = SS cos p -j- S - S2222111因此e = S1 ×sinj éS)()ùúûcos(p -j ) +(2S cos p -j- S - S222

32、êë111S在一个插补周期内进行转接，4.8 所示。S1S 的不同进行不同角度的，如图4S1/S0.10.30.50.70.93.532.521.510.50050100/度150200图 4.8 角度不同时的误差图随着j 角度的增大，折线的夹角减小，可以看出，折线夹角越大则误差越小。- 16 -e/误差250.10.30.50.70.9V020151050050100/度150200图 4.9 速度不同时的误差图如图 4.9 所示，对于不同速度，经过 S 距离耗费一个插补周期，速度越大，S 距离越长，因此误差e 越大10。通过上述的误差也可以得出以下两点结论：当q 分别为

33、90°和 135°且S1 S 不变时，j 值对应的 90°和45°，此时q 为1)135°时误差更小。2) 当误差相等的情况下，q 为 135°时可以达到更大的速度。5 简化条件下的曲线实时优化算法5.1 问题分析实时优化算法分为基于 S 型曲线的加和光滑转接控度及瞬时启动速度，S 型制算法。在本问题中，简化条件即不考虑瞬时启动曲线加与 4.3 节一致。并对实例进行具体的计算与分析。5.2 改进逐点比较法圆弧插补逐点比较法的圆弧插补过程与直线插补过程大体相似。下面以第一象限圆弧为例导出其偏差计算公式11。- 17 -e/误差图 5.1

34、 逐点比较法圆弧插补图偏差判别函数 Fij 为() ()F = x - x+ y - y2222iji0i0由 Fij 的数值（即偏差）就可以判别出 P 点与圆弧的相对位置。即：= 0 时，点 P( xi , yi ) 正好落在圆弧上；> 0 时，点 P( xi , yi ) 落在圆弧的外侧；< 0 时，点 P( xi , yi ) 落在圆弧的内侧。当 Fij当 Fij当 Fij当刀具由当前点( xi , yi ) 向 x 负方向前进一步，到达新点 P(xi+1, yi ) 时，则= ( x)2-1- x + y - y = F - 2x +1F222i+1, ji0i0iji当刀

35、具由当前点( xi , yi ) 向 y 方向前进一步，到达新点 P(xi , yi+1 ) 时，则()2F= x - x + y +1- y = F + 2 y +1222i, j +1i0i0iji下面就改进的逐点比较圆弧插补法进行说明12。（1）首先，根据逐点比较圆弧插补法计算路径，获得通过的所有点的集合V =v1, v2, vn。（2）从起始点起周围 8 个方向的 8 个点中属于集合V 的点的个数。（3） 若只有 1 个，则这个点作为刀具的下一个目标点。以此目标点为基准，周围 7 个方向的 7 个点中属于集合V 的点的个数。（4） 若有 2 个，则比较这两个点到圆弧的法向距离，选取距离

36、小的作为刀具的下一个目标点。以此目标点为基准，V 的点的个数（另外 2 个点）。（5）以此类推，直到到达终点。周围 6 个方向的 6 个点中属于集合5.3 曲线光滑转接算法如图 5.2 所示，基于和 4.4 节中分析的同样的接点O2 。，需在圆弧上计算实际转- 18 -O cBq 1q 2SO1S1O 2AS2O图 5.2 插补过程中当前段和圆弧段转接设点O1 的坐标为O1 ( x1, y1 ) ，O 的坐标为O(x0 , y0 ) ，O2 的坐标为O2 ( x2 , y2 )，。转接点的横、纵坐标应满足以下条件ì( x)()22- x+ y -y= S2ï2121

37、7;()2 + ( y)2 = R2x - x- yïî2c2c其中 R 为圆弧的半径，圆心Oc 的坐标为( xc , yc ) 。解上面的二次方程组可得到O2 点坐标。由于是二次方程组求解，因此得到 2组解，可根据O2 在圆弧上这一条件来确定唯一解。确定O2 ( x2, y2 )后，以O2 为圆弧段的起点进行下一段圆弧插补13。5.4 圆弧半径的变化对算法效率的影响下面以不同半径的圆弧为例，分析圆弧半径的变化对算法效率的影响BBSaSbAAOO图 5.3圆弧半径不同时转接示意图这里设当半径变化时，圆弧在O 点的切线与 AO 的夹角不变。同理，在经过 AO 时速度变化为 S

38、 型曲线或 S 型曲线的一部分最终转接前的速度设为Va 和Vb ，在等精度情况下（这里考虑偏离型线的程度作为精度评判的依据）， Sb > Sa ，由于转接是在一个插补周期T 内进行的，因此两者转接的时间相等，可以得出Va < Vb 。因此，当半径大时，曲率小，在相同条件下耗时更短，算法效率更高14。5.5 对示例的检验对下面的问题中给出的路径示例进行检验。为了得到最优的方案，在满足 S 型曲线的前提下，应使时间尽可能的缩- 19 -短，求得最短时间为7min T = åTit =1同样的，以节点 1 为起点，顺时针行进，由题意知，速度最大值Vm 为为 0.6 m s2 ，

39、加度 J 为 300 mm s3 ，由起始1.26 m min ，度最大值 Amax速度和终止速度的相等可知Vs = Ve = 0.13m s ，总路程 S 为1.9371m，经过节点 2的速度大小不能超过 0.19 m 在求解上述问题时，需进行 S 型曲线的判别15：s 。a) 同速区和区，但没有匀区。区和匀区；b) 有完整的区和V = 0.13m s ，当V-V > A2J 时，有完整的由于起始与终止速度semaxsemax区，当V-V£ A2J 时，没有匀区和区和匀区。maxsemax对于完整的 S 型曲线不同阶段的时间为T1 = T3 = T5 = T7 = Amax

40、JT = (V -V - A2J )A2msmaxmaxT = (V -V - A2J )A6memaxmaxT4 = (S -(Vm +Vse )´(Vm -Vse )对于整的 S 型曲线不同阶段的时间为J )Amax - AmaxVm(Vm -Vs )(Vm -Ve )T1 = T3 =T5 = T7 =JJT4 = (S - 2´(Vm +Vse )´ (Vm -Vse )J ) VmT2 = T6 = 0的问题归结为一个约束问题，即求如下非线性规划问则把路径优化题的最优解7min T = åTit =1ì0.13 £ Vm &

41、#163; 1.26s.t. ï0 < A£ 0.6ímax£ 0.19ïVî sec其中，Vsec 是第一次经过节点 2 时的速度大小，Vsec 可以通过 4.3 节求得，根据Vm和 Amax 的不同，第一次经过节点2 时的速度可能会在 S 型曲线的前四段任意一段，Ti (i = 1, 2, 7) 为 S 型曲线的 7 个阶段时间。- 20 -通过T 分别为进行编程计算，求得最大速度Vm 、最大度 Amax 和总时间= 1.26 m minìVmï A= 0.0752 ms2ímaxïT

42、 = 91.7090 sî此时得到 7 个阶段的位置、时间和末速度为表 5.1示例优化的相关数据S010.0013S020.0013S030.0058S041.9106S051.9151S061.9151S071.9165T10.2506T20T30.2506T490.7068T50.2506T60T70.2506V010.0116V020.0116V030.0210V040.0210V050.0116V060.0116V070对应的速度变化曲线见图 5.40.040.02001020304050t/s607080901000.020.01000.10.20.3t/s0.40.50.

43、60.020.01091.791.891.992t/s92.192.292.3图 5.4示例的速度变化曲线图图 5.4 中，第一幅为总的 S 型曲线，第二幅为阶段的速度放大图。阶段的放大图，第三幅为5.6 误差分析逐点比较插补法的误差分析逐点比较插补法的误差对于折线和曲线相接的情况而言，直线部分与第 4.5- 21 -v/ m/sv/ m/sv/ m/s节一致，圆弧部分的插补和直线部分实际上都是在走短线，只是两种方式插动过程中的步进距离和速度有差异，到终点的精确度都是一样的16。光滑转接算法的误差分析圆弧插补的误差分析和第 4.5 节一致，转接示意图见图 5.4O ¢jeSOS2OS

44、12O1图 5.4 曲线光滑转接路径示意图可以将曲率变化看做j 的角度变化，其他条件不变的情况下，曲率越大j 越大，可以得出一致的结论17：1) 半径越小，曲率越大，则误差越小。2) 对于不同速度，经过 S 距离耗费一个插补周期，速度越大， S 距离越长， 因此误差e 越大。6 实际条件下的曲线实时优化算法6.1 问题分析本问题是在在第 2 问基础上，实际条件即考虑瞬时启动度及瞬时启动速度，完善第五章中的实时优化算法，对路径示进行检验。需要对S型曲线的推导进行相应的调整，并与第 5.5 节的结果进行比较。6.2 实际条件下的S 型曲线的加由于瞬时启动度及瞬时启动速度，原模型需要进行相应的完善，

45、对描述见图 6.1。于新的 S 型曲线的加- 22 -图 6.1 改进 S 型曲线加描述其中，红色的为考虑瞬时启动度及瞬时启动速度后的 S 型曲线，T1 为加区时间， T2 为匀速区时间， T6 为匀区时间， T3 为减区时间， T7 为减区时间， T4 为匀速区时间， T5 为加减区时间。在第 4.3 节中的 S 型曲线的情况，这里主要瞬时启动中已经考虑了起点速度和终点速度不为 0度的问题进行算法的。ìV t + A t22s0 1ïïS01 +V01t 2 + (ïS+ (+ V tï0202 3+V tS (t ) = ïS&#

46、237;0303 4+ V t -ïSï0404 5ïS+ V t - (0505 6ïïîS06 + V06t 7 - (与 4.3 节中的S 型曲线相比，位移S 计算公式通用形式不变，主要不同在于 7 个时间段的各节点速度变成为V = V + A T + JT 2 201s0 11V02 = V01 +( A0 + JT1 )T2+( A + JT )TV = V- JT 2 203020133V04 = V03- 23 -V= V - A T - JT 2 205040 55V06 = V05 -( A0 + JT5 )T6-(

47、 A + JT )TV= V+ JT 2 207060577其中 A0 为瞬时启动度。同样的，设起点速度为V1 ，终点速度为V0 ，直线段长度为d ，则在这个规律实现的加计算过程如下文18。，用 S 型加= minV1,V0 ，Ve = maxV1,V0 ， S = d ，加令VsAmax 。度为 J ，最大度为()= (V+V )= (V+V )令DV = A- A22J ， AV2 ， AV2max01maxs2maxe若Vmax -Vs ³ DV ，有匀区T1 = T3 = ( Amax - A0 )JT2 = (Vmax -Vs )Amax -( Amax - A0 )J若V

48、max -Vs < DV ，无匀区(Vmax -Vs )T2 = 0T1 = T3 =J 2若Vmax -Ve ³ DV ，有匀区T5 = T7 = ( Amax - A0 )JT6 = (Vmax -Ve )Amax -( Amax - A0 )J若Vmax -Ve < DV ，无匀区(Vmax -Ve )T6 = 0T5 = T7 =J 2则S1 = AV1 ´(T1 + T2 + T3 )S2 = AV2 ´(T5 +T6 +T7 )T4 = (S - S1 - S2 )Vmax加可分为如下两种情况19：在一个，1、T4 ³ 0 ，速度能达到Vmax ；2、T4 < 0 ，速度不能达到Vmax ，又分为两种情况：，由于Vs < Ve ，有三种情