数学建模竞赛阅卷中的问题 (1)(1)

1、数学建模竞赛阅卷中的问题王慧 徐金辉 马师摘要本文主要讨论的是数模竞赛中试卷的优化分配、成绩预处理和对教师评阅效果的定量评价问题，在充分理解题意的基础上，建立了合理的模型，并设计了相应的算法，从而有效地解决了上述问题，为竞赛提供了一个良好的阅卷环境。1、试卷的分发问题。根据题意要求，首先设计了一种随机分配算法，使其在满足基本条件的前提下实现较好的均匀性。在算法设计时，采用计算机软件随机编号、排列组合和移位搜索相结合的思想，即对500份试卷进行随机编号，并将其分成25个数据包组合，每个数据包含20份不同编号的试卷，然后将25个数据包重复3次分给20个阅卷教师，每次进行移位搜索以避免重复以及达到较

2、好的均匀性。然后，为了对随机分配结果进行均匀性评价，又设计了两两逐一比对的评价算法，计算出任意两位阅卷教师评阅同一份试卷的次数，从而得出本次任务单的均匀性。2、评分的预处理问题。首先选取一份均匀性好的任务分配单，任务单中包含了教师的编号i及其需要评阅的75个试卷编号n。然后，利用MATLAB软件自带的库函数随机产生一组均值为70、方差为15并服从正态分布的数据作为评分成绩的模拟数据s，并将数据s通过计算搜索教师编号i与试卷编号n对应，从而得出500份试卷的初始成绩。为了使合成的试卷分数更加公正合理，采用归一化算法对不同阅卷教师的初始成绩进行标准化处理。这里的归一化处理是对编号为i的教师的75个

3、成绩的归一化。然后再对编号为n的试卷的三个标准化成绩求几何平均得到该份试卷的标准成绩。3、教师评阅效果的评价。经过评分的预处理后可得教师i评阅试卷n的标准化成绩以及试卷n的标准成绩，然后求取方差，通过方差的大小来评判教师的评阅效果。关键词：排列组合； 移位搜索； 计算搜索； 归一化； 方差一 问题重述众所周知，数学建模问题无处不在，我们身边的生活、工作中随处可见各式各样的数模问题。数模竞赛之后都要经过阅卷的过程，除了几十名教师参与繁重的评阅试卷的工作外，许多管理工作都有很强的技术性。比如试卷的分发、教师评分的预处理、对每位教师评阅效果的评价等。这些做得好坏，直接影响着评阅的合理性和公正性，我们

4、追求最优、最准确的评阅效果。一次竞赛通常试卷有几百份，评阅前已将试卷打乱编号。每份试卷就是一篇科技论文，评阅教师需要综合考虑各方面情况给出一个成绩。每份试卷应有三名不同的教师评阅，所给出的三个成绩合成该试卷的最后成绩。各位教师对自己所在单位的试卷应该回避，但这件事比较容易处理，我们这里就不考虑这个原因，也就是假设教师都没有本单位的试卷。试卷的随机分发 考虑有500份试卷由20名阅卷教师评阅的情况。每份三人评阅就共需要1500人次，每人阅卷75份。提前编写程序，让试卷随机地分发到教师的任务单中。注意让每份试卷分给每位教师等可能，另外任何两位教师交叉共同评阅一份试卷的情况也尽量均匀，即尽量不要出现

5、交叉次数过多或过少的情况。再编写一个程序，对一次分发的任务单进行均匀性的评价。然后可以在多次生成的任务单中选出一个评价比较好的来使用。请给出两个程序的算法或框图，并选出一个好的分配任务单供使用及对它的评价。评分的预处理 全部阅完之后，就要进行成绩的合成了。但是，每个人见到的卷子不同，实际评分标准也不完全相同（尽管评阅前已经集体开会、讨论，统一评卷标准），大家的分数没有直接的可比性，所以不能简单地合成，需要预处理。比如，可能出现一份试卷的两位评阅教师都给出70分的评价，但是其中一个70分是他给出的最高分，另一个则是他的最低分，能认为这个试卷就应该是70分吗？！请设计一个成绩预处理的算法把教师给出

6、的成绩算得标准化成绩，然后用三个标准化成绩就可以直接合成了，使得合成的成绩尽量地公平合理并且为后面对教师评阅效果的评价提供方便。教师评阅效果的评价 阅卷全部结束之后，组织者要对所聘请的教师有一个宏观的评价，哪些教师比较认真，对评分标准掌握得也好，看论文又快又准，因此给出的成绩比较准确，是这次阅卷的主力。下次再有类似的事情一定还请他们来，甚至于在下一次阅卷后合成成绩的时候给他们以更大的权值。这些除了在日常的生活工作中会有所感觉外，大家给出的成绩也会说明一些问题。请制定一个方法，利用每人给出的成绩，反过来给教师的评阅效果给出评价。18 二 问题分析2.1问题一的分析针对问题一，首先需要设计一个随机

7、分配算法将500份试卷随机、均匀地分配给20位阅卷教师。在算法设计时，采用了计算机软件随机编号以保证任一份试卷分配给任一位教师的概率是相等的，采用排列组合方法使得每位教师分配到75份不同的试卷且每份试卷有三个不同的教师评阅。另外，为了得到较好的均匀性，即任意两个教师交叉评阅一份试卷的数量不能过大也不能过小，需要设计一个好的算法或对随机分配结果不断修正，使其满足均匀性要求。本文采用的是对500份试卷的三次分配进行移位搜索的算法以达到良好的均匀性。其次，为了对生成的任务单进行均匀性分析，需要对任意两个教师的试卷号逐一比对并统计其交叉的次数，根据交叉次数可以对本次任务单的均匀性作出评价。2.2问题二

8、的分析针对问题二，由于不同教师对试卷的评判标准不同，这将会对成绩的公正性与合理性造成一定的影响。为了避免这种情况的出现，就需要对成绩进行预处理。本文通过采用归一化方法对成绩进行标准化处理，可以得出试卷的标准化成绩。由于每份试卷是由3位不同的阅卷教师共同评阅，因此对于任意一份试卷的标准成绩可由这份试卷对应的三位评委标准化成绩的几何平均求得。通过对成绩的标准化处理，在很大一定程度上解决了试卷成绩的公正性与合理性问题。2.3问题三的分析针对问题三，假设所有阅卷教师对任意一份试卷的评阅时间相等且不受其它外界因素的影响，因此，只有根据教师对试卷的评阅成绩来合理评价教师的评阅效果。设计的算法是计算教师评阅

9、的标准化成绩与标准成绩之间的偏离程度，并采用方差之和来表示某位阅卷教师本次阅卷的整体偏离程度，从而可以对阅卷教师的评阅效果作出一个合理的评判。三 模型假设1、计算机产生的伪随机数认为完全随机。2、评阅试等概率性：每份试卷分发给每个阅卷教师的概率是相等的，不存在某阅卷教师一直评阅优秀答卷，另一个阅卷教师一直评阅较差答卷。3、评阅委员的独立性，每位评委对试卷的评阅不受外界任何因素的干扰。比如他评委所给出的成绩，自己的疲劳程度等。4、所给出的成绩服从正态分布。四 符号说明i阅卷教师编号n试卷编号教师i对第j份试卷的评阅成绩教师i 75次评阅成绩的最大值教师i 75次评阅成绩的最小值编号为i的教师对第

10、j份试卷的标准化成绩第j份试卷的标准成绩第i位教师评阅成绩相对于标准成绩的方差之和开平方教师m与教师n的交叉数（m,n值为120）五 模型建立与求解5.1 试卷的随机分发根据题意要求，需首先给出一种试卷的随机分配方式，使其在每位阅卷教师评阅75份试卷且每份试卷需有三位不同教师评阅的基础上，任意两位教师共同评阅一份试卷的情况尽量均匀。因此，本文设计了一种随机分配算法，使其在满足基本条件的前提下实现较好的均匀性。在算法设计时，采用计算机软件随机编号、排列组合和移位搜索相结合的思想，即对500份试卷进行随机编号，并将其分成25个数据包组合，每个数据包含20份不同编号的试卷，20份试卷对应分配给20位

11、阅卷教师，然后将25个数据包重复3次分给20个阅卷教师，每次进行移位搜索以避免重复分配给同一个教师并使其达到较好的均匀性。随机分配模型示意图如图5.1所示：图5.1 随机分配模型示意图在随机分配示意图中，第一列存放教师编号，共20行，表示20位教师。第一行表示对数据包进行175次顺序分配，每25次完成对500份试卷一次完全分配。n表示不同的试卷编号，即对应不同的试卷。虽然教师编号没有随机排列，但500份试卷的编号是随机排列的，因此每一份试卷分到每个教师的概率是等可能的，且概率如式（5-1）： （5-1）根据模型示意图，可得编程的具体算法实现框图，如图5.2所示：图5.2 试卷随机分配算法框图通

12、过随机分配算法求得一次的任务单如表一：表一 随机分配任务单教师编号试卷编号11493021184701553684051449429422326250020337914084951144723254102231204135463404333603194188312424426445919035642711651804452951053506945734865474648757253381117633914046441372774973843739239138716816914884833614904654471312053238720792923264523674551004414862793

13、241018220034528834414630866315198113663111134463462711094383524141244417119312397269416861914613336396294953862272253572584241446813943038027312530639818719715104119469133273095953435406164494324713171208181731361441741135101281411581412701634851812173831112241283546451923712805632911019547641719920

14、27513821733841246644224527472特别说明：由于数据较多，只列出了前五列和后五列数据。根据上述的随机分配算法可生成多份教师的试卷分配任务单，但是需要从中选取一份均匀性较好的任务单，就需要对任务单的均匀性进行分析。因此，试卷随机分配完后，还需设计一个算法对任务单中任意两位教师的交叉数进行统计，从而得出其均匀性。在算法设计时，需要对任意两位教师(m，n)的75份试卷的编号进行比对判断，如果试卷号相等一次则教师m、n交叉一次，将其交叉数存放在中。交叉矩阵A第一列存储教师编号，最后两列存储交叉次数的最大值和最小值，以便于对所取试卷分配任务单的均匀性评价。除去第一列与最后两列得到

15、的是一对角矩阵。算法的具体实现流程图如图5.3所示：图5.3 均匀性评价算法流程图5.2 评分的预处理 本节首先需要利用MATLAB软件自带的库函数normrnd对20位教师随机产生一组均值为75，方差为15的正态分布的随机数，即20位教师对应每份试卷的分数（这里采用百分制）。但是在MATLAB中的库函数normrnd是一个连续性函数，其产生的数值为小数，且根据均值与方差的不同，其部分数值有可能会大于100，所以首先需要对产生的随机数进行整数化处理，然后对于有可能大于100的数值，直接用100进行替换。其具体算法框图如图5.4。图 5.4 正态分布随机数产生框图随机产生的成绩表二所示：表二 随

16、机产生服从正态分布的成绩表教师编号成绩(20*75)1647176607868656175872746178525395673168633686252685058354356764816895836477526683635645066837461715454576857275749480738567647488541786174808677918587947536545673478929777966814574636758661088938052708098894756116157579790395659767112806988817150698349561393799294836871836

17、7631484808778725537799085155999717173596852916916945977786763596264651745547161834248509889188872787544676568535219746236734497858860722053416490686367407468特别说明：由于数据量大，只给出了前五列与后五列的数据。以上完成正态分布随机分数的产生。在评阅试卷时，不同的教师可能对出现的同一份试卷的看法不同相应给出的分数也会不同。例如，对于同一份试卷，一位教师可能会给出他所评阅的75份试卷中的最高分数，而另外一位教师却给出他所评阅的75份试卷中的中

18、等或最低成绩。因此需要给出一种针对教师评阅成绩的预处理方法。即对每位教师给出的实际成绩进行标准化处理进而计算出每份试卷的标准成绩。用表示第i位教师对第j份试卷的评阅成绩。i的取值范围是从120，即教师的编号，j表示教师所评阅的试卷编号。由于每位教师需评阅75份试卷，所以j的编号是从175。对于第i位教师，在其评阅的75份试卷中必将存在一个最高分与最低分，在算法找出最高分与最低分的同时，第i位教师对第j份试卷的标准化成绩采用归一化算法进行标准化，算法的具体实现采用式（5-2）的数学表达式： （5-2） 其中i的取值范围：120，j的取值范围：175，i、j均为整数。 任意一份试卷（设试卷编号为n

19、）由3位不同的教师评阅，通过教师所分配试卷编号矩阵查找所对应试卷编号的标准化成绩，采取几何平均的方法得到第j份试卷的标准成绩（其具体算法框图如图 5.5），数学表达式为公式（5-3）： （5.3） u、v、w是表示三个不同教师的编号，u、v、w的取值范围：120。图 5.5 500份试卷标准成绩算法框图图5.6 500份试卷标准分散点图结果如上图5.6所示，可以看出，500份试卷的标准成绩集中分布在40-70之间（即均值大约为55），且服从正态分布，但是5.2节中随机产生的正态分布的成绩均值是70。这里偏差产生的原因是在对教师所给试卷成绩进行归一化处理时，将教师所给试卷最低成绩（大多数为大约为

20、30，如图 5.7所示）归一化0分，所以将所有试卷的成绩均值拉低。图 5.7 20位教师评阅试卷给出的最高分与最低分散点图5.3 教师评阅效果的评价 阅卷全部结束之后，竞赛组织者要对所聘请的教师给一个宏观的评价，哪些教师比较认真，对评分标准掌握得也好，看论文又快又准，因此给出的成绩比较准确，是这次阅卷的主力。对于这些，根据以上算法中得出的成绩也会说明一些问题。假设所有阅卷教师对任意一份试卷的评阅时间相等且不受其它外界因素的影响，因此，只有根据教师对试卷的评阅成绩来合理评价教师的评阅效果。设计的算法是计算教师评阅的标准化成绩与标准成绩之间的偏离程度，并采用方差之和来表示某个阅卷教师本次阅卷的整体

21、偏离程度。另外，由于方差之和数值较大，因此算法实现时对其开平方处理（具体算法框图如图 5.7）。算法具体实现的数学表达式如式（5-4）： （5-4）、可由式（5-2）、（5-3）求得。图 5.7 教师评价算法框图图 5.8 教师评价直方图的数值直接体现了教师对试卷评分的一个合理程度和准确性。由图5.8可以看出，编号为1的教师所评阅试卷给出的成绩与标准成绩的偏差最小（值越小，说明该教师评阅成绩越合理），所以他对他所分配的75份试卷的评阅成绩最合理。六 模型的评价本文充分考虑了试卷分配过程中可能出现的两位教师重复评阅相同试卷所出现的交叉性问题，并提出了一种试卷能得以尽量均匀分配的方法。同时也充分考

22、虑了评卷过程中由于评委的原因出现的“不公平”现象，引入了标准化算法，对每位评委给出的试卷进行了标准化处理。利用对每位教师所评阅试卷的成绩进行了稳定性分析，以此标准可以判定该教师的评阅效果。充分应用了MATLAB、EXCEL等软件对数据的运算及处理。七 模型的推广与改进模型在建立时，主要运用了随机分组分配的思想对数据进行处理，此模型的思想是好的。但是在实现过程中由于此模型的随机程度太高，很难满足均匀性条件。此模型在实际生活中有一定的用武之地。比如说，公交车每条线路上司机的分配问题，大型竞赛评委评分公正性问题等。模型在运算过程中计算量较大且均匀性欠佳，有待对模型进行进一步改进。参考文献1 卢开澄，

23、卢华明.组合数学M.北京：清华大学出版社，2002.2 苏金明，王永利.Matlab7.0使用指南M.北京：电子工业出版社，2004.3 胡运权.运筹学（第五版）M.北京：清华大学出版社，2005.4 韩中庚.数学建模方法与应用M.北京;高等教育出版社，2006.5 姜启源，谢金星.数学模型（第三版）M.北京：高等教育出版社，2003.6 卓金武.Matlab在数学建模中的应用M.北京：北京航空航天附 录附录一（hit.m)luan=randperm(500)%1-500打乱随机排列number=zeros(20,76)%记录老师及试卷编号P=zeros(1,500)Q=zeros(1,500

24、)for i=1:5 P(i)=luan(i+495)endfor i=6:500 P(i)=luan(i-5)endfor i=1:12 Q(i)=luan(i+488)endfor i=13:500 Q(i)=luan(i-12)end for j=2:26 %前25*20分配 for i=1:20 number(i,1)=i%第一列为试卷编号 number(i,j)=luan(20*(j-2)+i)%20循环 end end for j=27:51 for i=1:20 number(i,j)=P(20*(j-27)+i) end end for j=52:76 for i=1:20 n

25、umber(i,j)=Q(20*(j-52)+i) end end xlswrite('E:number.xls',number)附录二（a.m）number=xlsread('E:number.xls')%读入第一列为教师编号，其余列为试卷号（75份试卷编号）20*76A=zeros(20,23)%a记录均匀性数据，第一列为教师编号，A（i,j+1）表示教师i与教师j之间的交叉次数，对角for i=1:20 A(i,1)=number(i,1)%第一列教师编号存储 for m=2:76 for n=1:20 for j=2:76if(number(i,m)=n

26、umber(n,j)&i=n)%判断不同教师所阅试卷号是否相同A(i,n+1)=A(i,n+1)+1elseA(i,n+1)=A(i,n+1)end end end end endfor i=1:20A(i,22)=min(A(i,2:21)%最小值A(i,23)=max(A(i,2:21)%最大值 endxlswrite('E:A22jiaocha.xls',A)附件三（s.m）l=normrnd(70,15,20,75)%产生均值为75，方差为15的正态分布随机数n=round(l)%将得到的随机数整数化for i=1:20for j=1:75 if n(i,j)>100%随机数中有大于100的数，用100进行代替 n(i,j)=100 endendendB=zeros(20,76)for j=2:76for i=1:20 B(i,1)=i B(i,j)=n(i,j-1)endendxlswrite('E:score.xls',B)%第一列存储教师编号，其余75列存储随机数，即分数附件四（com.m）score=xlsread('E:score.xls')%读入第一列为教师编号，其余列为教师打分（75份试卷成绩）2