二项式定理典型例题

1、二项式定理典型例题-典型例题一例1.说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r的取值，得到了有理项.类似地，(“2十3；3)100的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r的取值，得到共有17页系数和为3n.典型例题四例4说明：问题(2)中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决.这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决.典型例题五例5典型例题六例6说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解.此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求29C10+28

2、C；0+27C；o+2C；0+10的结果.仔细观察可以发现该组合数的式与一、10.、(1+2)的展开式接近，但要注意：(1+2)10=C00+C；o2+C2o22+C9029+C；0210=1+2M10+22C20+.一+29c90+210C10=1+2(10+2C20+28C90+29C10)1所从而可以得到：10+2C；0+28C90+29C；0=(310-1).2典型例题七例7利用二项式定理证明：32n七-8n9是64的倍数.分析：64是8的平方，问题相当于证明32n“8n9是82的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形32n虫=9n*=(8+1)n卡，将其展开后各项含有8k，与82的倍

3、数联系起来.解：322-8n-9=9n1-8n-9-(81)n1-8n-9=8n*+Cn+8n+cn；82+cn+8+1-8n-9=8n卡+C1n书8n+.一+cni82+8(n+1)+1-8n-9=8n+C；*8r+cn；82=(8n*+C；噂8n/十十C；)64是64的倍数.说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数.典型例题八展开2x分析1:用二项式定理展开式.解法1： 2x5327= C；(2x)5 -02x2C5(2X)432x2C52(2x)3G2x2C；(2x)233 c4M C5(2x)3 52752180135405

4、243=32x-120x-7-行xx48x732x10分析2:对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开.解法2:2x/5F10/,3、.3232x10C5(4x)c5(4x)(-3)c5(4x)(-3)C3(4x3)2(-3)3C；(4x3)1(-3)4C5(-3)532x101512963(1024x-3840x5760x-4320x1620x-2437)=32x5-120x2180135405243+4710xx8x32x说明：记准、记熟二项式（a+b）n的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件.对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便.典型例题九例9若将（x+

5、y+z）10展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）.A.11B.33C.55D.661010分析：（x+y+z）看作二项式（x+y）+z展开.解：我们把x+y+z看成（x+y）+z,按二项式展开，共有11“项”，即10（x+y+z）10=（x+y）+z10=£C：°（x+y）10"zk.k=0这时，由于“和”中各项z的指数各不相同，因此再将各个二项式（x+y）10”展开,不同的乘积C1l0(x-y)10±zk（k=0,1，10）展开后，都不会出现同类项.卜面，再分别考虑每一个乘积G0(x+y)10&zk(k=0,1，10).其中每一个乘积展

6、开后的项数由（x+y）10"决定，而且各项中x和y的指数都不相同，也不会出现同类项.故原式展开后的总项数为11+10+9+1=66,应选D.典型例题十例1011若x+1-2的展开式的常数项为<xJn,八,.，1、-当x>0时，把三项式x+-2转化为xXJ2n&-1=I；当x<0时，同理x2I=(1)nJ-x2n长然后写出通项，令含x的哥指数为零，进而解出n.2n(. x>0).x的取值范围是11解：当x>0时x+2I=Vx一，其通项为<xJ<JxJTt=C2n('反)2n(一小)=(一1)rC2rn(Vx)2n/r,令2n-2

7、r=0,得n=r,，展开式的常数项为(-1)nC2n；117132n当x<0时，x+-2I=(-1)n|V-x-=I,'xJIv-xj同理可得，展开式的常数项为(-1)nC无论哪一种情况，常数项均为(-1)nC2n.令(1)nCnn=20,以n=1,2,31；逐个代入，得n=3.典型例题十一1-1年例11Jx+3=的展开式的第3项小于第4项，则x的取值范围是17X)分析：首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项，再根据题设列出不等式即可.解：使口x+=)有意义，必须xA0；3x依题意，有T3<丁4,即C1o(Vx)81f-1<Cw(Vx)73x109.10981弋x

8、:二,213213.x解得0<x<8-5/648.9典型例题十二.,应填：0<x<85/648.9例12已知(xlog2X+1)n的展开式中有连续三项的系数之比为1：2：3,这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为112,求x的值.解：设连续三项是第k、k+1、k+2项(kwN+且k>1),则有=1：2：3n !(k -1)(n -k 1)!n!k !(n -k)!n!(k 1)(n -k -1)!=1 ：2：3.1(n -k)(n -k 1)1k (n -k)：二1： 2：3. k(k - 1)'k(n-k)_1'k_1.(n-k)(n-k+1)-

9、2n-k+1-2一k(k1)_2(k1)_2k(n-k)-3(n-k)一3=n=14,k=5所求连续三项为第5、6、7三项.又由已知，Cxl0g2x=112,即xl0g2X=8.两边取以2为底的对数，(log2x)2=3,log2x=±J3,x=2或x=2巧.说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项，根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解.典型例题十三例13(1+2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.分析：根据已知条件可求出n,再根据n的奇偶性；确定二项式系数最大的项.解：丁6=C；(2x)5,T7

10、=C；(2x)6,依题意有C；25=C；26=n=8.，(1+2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5=C；(2x)4=1120x4.设第r+1项系数最大，则有cr 2rC； 2r 之 C2r 15 <r <6.r=5或r=6(rw0,1,2，8).系娄最大的项为：T6=1792x5,T7=1792x6.说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时中间两项的二项式系数最大，n为偶数时，中间一项的二项式系数最大.(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得.典型例题十四例14设f

11、(x)=(1+x)m+(1+x)n(m,nwN+),若其展开式中关于x的一次项的系数2和为11,向m,n为何值时，含x项的系数取最小值？并求这个最小值.分析：根据已知条件得到x2的系数关于n的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨最小值问题.解：Cm.+C：=n+m=11.-2.21CmCn(rm110 -2mn22 99r 4211=n-11n55=(n)22，n=5或6,m=6或5时，x项系数最小，最小值为25.11o9911说明：一次函数y=(x)2+的对称轴方程为x=,即x=5.5,由于5、6距24211o995.5等距离，且又n=N+,5、6距5.5最近，所以(n)2十的最小值在门=5

12、或门=624处取得.典型例题十五例15若(3x1)7=a7x7+a6x6+a1x+a0,求a+az+i+a?;(2)a+a3+a5+a7；(3)80+22+24+%.解：(1)令x=0,则a0=_1,令x=1,则a7+a6+a1+a0=27=128.a1+a2+a7=129.(2)令x=-1,贝Ua7+%a5+a4a3+a2a+a0(4)，口17由得：a1+83+85+87=1128(4)7=825622+/日由得：2a。a2a4a61(a7a6-a5a4a3a2a1a0)2+(-a7+a6-a5+a4-a3+a2-a+a0)=1128+(T)7=与128.2说明：(1)本解法根据问题恒等式特

13、点来用“特殊值”法.这是一种重要的方法，它适用于恒等式.(2)一般地，对于多项式g(x)=(px+q)n=a0+a1x+a2x2+anxn,g(x)的各项的系数和为g(1):一一，1g(x)的奇数项的系数和为g(1)+g(1).2,、1g(x)的偶数项的系数和为g(1)-g(-1).2典型例题十六例16填空：(1)2303除以7的余数；(2)5555+15除以8的余数是.分析(1)：将230分解成含7的因数，然后用二项式定理展开，不含7的项就是余数.解：230-3=(23)10.3=(8)10-3=(7 1)10 -3= G0)710 - C10 79- C1907 - Cw -3=7C1c0

14、79-Ci1078Ci90-2又.余数不能为负数，需转化为正数3023除以7的余数为5应填：5分析(2)：将5555写成(56-1)55,然后利用二项式定理展开.解：555515=(56-1)5515_C05655-C15654，C5456C5515-C5556.C5556C5556.C5515容易看出该式只有-C；+15=14不能被8整除，因此5555+15除以8的余数，即14除以8的余数，故余数为6.应填：6.典型例题十七nn1一一111、例17证明:求证：对于nN+,1+1<1+knJ<n+1jn,1,1+-I展开式的通项,nTr11n(n-1)(n-2)(n-r1)rr!r

15、r-1一)n-n1111+I展开式的通项<n+1；(n 1)Arr! (n 1)r112r-17)(1-；厂(17)-r!n1n1n1一,由二项式展开式的通项明显看出Tr平<中，nn-1r1、r1、所以1+1|<1+，.<nJ<n+1J说明：本题的两个二项式中的两项为正项，且有一项相同，证明时，根据题设特点，采用比较通项大小的方法完成本题证明.典型例题十八25例18在(x+3x+2)的展开式中x的系数为().A.160B.240C.360D.800分析：本题考查二项式定理的通项公式的运用.应想办法将三项式转化为二项式求解.解法1：由(x2+3x+2)5=(x2+3

16、x)+25,得Tk1=C：(x2Gx)5”2k=C；2k(x2+3x)5”.再一次使用通项公式得，Tr书=C；2kC鼠3rx10a，这里0EkE5,0<r<5-k.令102kr=1,即2k+r=9.所以r=1,k=4,由此得到x的系数为C；-243=240.解法2：由(x2+3x+2)5=(x+1)5(x+2)5,知(x+1)5的展开式中x的系数为C>常数项为1,(x+2)5的展开式中x的系数为C5424,常数项为25.因此原式中x的系数为C；25+C；24=240.解法3：将(x2+3x+2)5看作5个三项式相乘，展开式中x的系数就是从其中一个三项式中取3x的系数3,从另外

17、4个三项式中取常数项相乘所得的积，即C53C：24=240.，应选B.典型例题十九例19已知a'的展开式中X3的系数为9,常数a的值为<x4分析：利用二项式的通项公式.解：在a_Jx'的展开式中，<x巩r通项公式为T7 =C；'a 1；.=C9(-1)ra9Cr：23一一一93根据题设，r9=3,所以r=8.代入通项公式，得T9=ax.216，一一一99根据题思，一a=一,所以a=4.164，应填：4.典型例题二十例20求证：13C：+32C；33C；+(1)n3n=(2)n4234.、2.、2.一(2)若(2x+Y3)=a0+a1x+a2x+a3x+a4x

18、,求(a0+a2+a4)一(a1+a3)的值.分析：(1)注意观察(1+x)n=1+C：x+C：x2+C：xn的系数、指数特征，即可通过赋值法得到证明.(2)注意到(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(aoa1十a2a3+a4)，再用赋值法求之.解：(1)在公式(1+x)n=1+C：x+C2x2+C：xn中令x=3,即有(1-3)n=1+C：(-3)1+C；(-3)2+C：(-3)n=1-3C；32C；-(-1)n3n等式得证.(2)在展开式(2x+$3)4=%+ax+a2x2+a3x3+a4x4中，令x=1,得a0+a+a2+a3+a4=(2x+y/3)

19、4；令x=-1,得a0-a1+a2a3+a4=(2+J3)4.原式=(a°aa2a3a,)(为-aa2-a3a4)=(2+J3)4-(-2+，3)4=1.说明：注意“赋值法”在证明或求值中的应用.赋值法的模式是，在某二项展开式，如(a十bx)n=a0+ax+a2x2+anxn或(a+b)n=C0an+C1an,b+Cl2an-b2+C|bn中，对任意的xwA(a,bwA)该式恒成立，那么对A中的特殊值，该工也一定成立.特殊值x如何选取，没有一成不变的规律，需视具体情况而定，其灵活性较强.一般取x=0,1,1较多.一般地，多项式f(x)的各项系数和为f(1),奇数项系数和为1 ,.一，

20、1,.一ff(1),偶次项系数和为一f(1)+f(-1).二项式系数的性质22CO.C1.C2.CnOnTXC°.C2.C4.1.35.nn_1nCnCnCn=2及C|CnCn=CnCnCn=2的TiE明/j/tJis赋值法应用的范例.典型例题二十一例21若nWN+求证明：32n书24n+37能被64整除.分析：考虑先将32n书拆成与8的倍数有关的和式，再用二项式定理展开.解：32n3-24n37_2n2_=332-24n37=39n1-24n37=3(81)n1-24n37=3端8n1C：18nC：18nC；18C：；-24n37=38n+C1+8n+C；+8n/+.,+(n+1)

21、8+1_24n+37=38n+d+8n+C：由8n,+C：；82+(8n+9)-24n+37=3828nJ1+C1+8n+C：#8n二十一+C：；+3,(8n+9)_24n+37=3648nJ1+Cn+8T+C；+8n“十十64,.8n。d+82,C；+8n：,均为自然数，上式各项均为64的整数倍.原式能被64整除.说明：用二项式定理证明整除问题，大体上就是这一模式，先将某项凑成与除数有关的和式，再展开证之.该类题也可用数学归纳法证明，但不如用二项式定理证明简捷.典型例题二十二2例22已知(x3+3x2)n的展开式各项系数和比它的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)

22、求展开式中系数最大的项.分析：先由条件列方程求出n.(1)需考虑二项式系数的性质；(2)需列不等式确定r.解：令x=1得展开式的各项系数之和为(1+3)n=22n，而展开式的二项式系数的和为C0+C：+C；+C：=2n,，有22n_2n=992.n=5.(1);n=5,故展开式共有6,其中二项式系数最大的项为第三、第四两项.2T3=C"x3)3(3x2)2=90x6,222T4=c3(x3)2(3x2)3-270xy.(2)设展开式中第r+1项的系数最大.210:：；4rTt=C5(x3)5(3x2)r=C53rxk,C；3r之C；3rC；3r_C；13r1八，即/6-r，.3-rr+179解得7WrM9.rwN,22.r=4,即展开式中第5项的系数最大.226T5=C54(x3)1(3x2)4=405x3说明：展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项是两个不同的概念，因此其求法亦不同.前者用二项式系数的性质直接得出，后者要列不等式组；解不等式组时可能会求出几个r,这时还必须算出相应项的系数后再比较大小.典型例题二十三例23求证：(1)C：Cm+CnC：+C；Cm=C*.；02244nnnlnl*（2）Cn3Cn3Cn+3Cn=24-2（n=