方阵的逆矩阵

1、数数=线线性性代代1. 3 方阵的逆矩阵方阵的逆矩阵1.3 方阵的逆阵1101,?n nn nnaa aaxbxa bABBAIAxbxBb常数有唯一解，对于方阵是否存在使若是，则方程组有唯一解定义定义1.7(1.7(逆矩阵逆矩阵) ),n nn nAABBA可逆矩阵逆矩阵逆对于方阵若存在方阵使则称，并称 为 的，简称为阵.n nAB = BA =I .AB = BA =I .数数=线线性性代代单位阵单位阵 I : 对角阵对角阵: ）；（0.,11 nnddddD nddD1111)0(,11 kIkkI）（I -1 = I数数=线线性性代代1.3 方阵的逆阵若方阵若方阵A为可逆矩阵为可逆矩阵

2、,那么那么A的逆阵是否只有一个呢的逆阵是否只有一个呢?定理定理1若方阵若方阵A可逆可逆,则则A的逆阵唯一的逆阵唯一证证: 设B,C都为A的逆矩阵,则由逆矩阵的定义可得:B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=CB=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C111,nA AA AI 由于可逆阵的逆矩阵是唯一的,所以我们以A来表示方矩A的逆阵 这样有 1272373172.31AB-1例 对于方针，有矩阵B=即方阵A的逆矩阵为:A数数=线线性性代代可逆矩阵也称为非退化矩阵非退化矩阵(或非奇异矩阵或非奇异矩阵),若方阵A不存在逆矩阵,则称它为退化矩阵退化矩阵(或奇异矩阵奇异矩阵)121324341100

3、00bbbbbbABIbb1.3 方阵的逆阵12341100AbbBbb并非任何方阵都可逆，例如就不可逆，因为对任何同阶方阵，有数数=线线性性代代1.3 方阵的逆阵定理定理2 2(1)(1)若若A A可逆可逆, ,则则A A-1-1也可逆也可逆, ,且且( (A A-1-1) )-1-1=A;=A;(2)(2)若若k(0)R,Ak(0)R,A可逆可逆, ,则则kAkA也可逆也可逆, ,且且( (kA)kA)-1-1=k=k-1-1A A-1-1; ;(3)(3)若若A,BA,B为同阶可逆阵为同阶可逆阵, ,则则ABAB也可逆也可逆, ,且且( (AB)AB)-1-1=B=B-1-1A A-1-

4、1; ;(4)(4)若若A A可逆可逆, ,则则ATAT也可逆也可逆, ,且且( (A AT T) )-1-1=(A=(A-1-1) )T T; ;1(0)niin12 例 试证:A=为可逆阵.1111112211nnnnI1122数数=线线性性代代1.3 方阵的逆阵213)(, 0AAIAIAIAA且可逆，证明：满足若方阵22223()()()()IA IAAIAAIAIAAAAAI 12()IAIAIAA所以可逆,且 例例证证:例例2,.AA AIAA若方阵 满足 -证明： 可逆，并求 的逆证证:21()(),A IAIA AAAAAIA=I(已知条件)所以 可逆 且数数=线线性性代代1.

5、3 方阵的逆阵例例设设A为为n阶方阵且满足阶方阵且满足 证明证明A可逆可逆,并并求求20,aAbAcI1,( , ,0)Aa b cc为常数 且22,:00,aAbAcIaAbAcIabcAccabAcc -1由 有 又因故有 (-I)A=I 所以A可逆,且A-证I例例2,nAIAAA若 阶矩阵且则 不是可逆的.111,:.AAAAAA AI22若 可逆,在A两边同时左乘 的逆 得 A=A与已知相矛盾 故A必证不可逆.数数=线线性性代代证证 (1)IIAA2)( IIAA )(21)(211IAAA 且且可可逆逆，所所以以IAIA )(21AAIAI211)( 且且可逆，可逆，所以所以 (2)

6、2)(IAIA IAA22O 所以，A+I 和和A-2I不同时可逆不同时可逆. 为什么？为什么？(1) A和和I - A都可逆，并求其逆矩阵；都可逆，并求其逆矩阵；例例 设方阵设方阵A满足满足A2 - A - 2I =O, 证明：证明：(2) A+I 和和A-2I不同时可逆不同时可逆.数数=线线性性代代 例例 BIABB ,2设设 .321 1AIAA 可逆且可逆且：证明证明22123321AAAIA 22123BIBI 222212323BBIBI 221212323BBIBI I .3211AIAA 可可逆逆且且证证数数=线线性性代代1.3 方阵的逆阵例例若若A,B,CA,B,C是同阶矩阵

7、是同阶矩阵, ,且且A A可逆可逆, ,证明下列结论中证明下列结论中(1),(3)(1),(3)成立成立, ,举例说明举例说明(2),(4)(2),(4)不成立。不成立。（1 1）若）若 AB=AC,AB=AC,则则 B=CB=C（2 2）若若 AB=CB,AB=CB,则则 A=CA=C（3 3）若若 AB=0, AB=0, 则则 B=0B=0（4 4）若若 BC=0, BC=0, 则则 B=0B=0解解：1111(1),210(2),011 101ABACAA ABA ACA AIIBICBCBC若等式两边左乘以有由于A可逆,所以于是有 即 113 设A=数数=线线性性代代1.3 方阵的逆阵213011 111013,011 111ABC