非线形粘弹性流体的稳定化有限元方法研究

1、2002年10月第39卷第5期四川大学学报(自然科学版)JournalofSichuanUniversity(NaturalScienceEdition)Oct.2002Vol.39No.5文章编号:049026756(2002)0520823207非线形粘弹性流体的稳定化有限元方法研究潘璐1,游雄2(1.四川大学数学学院,成都610064;2.南京农业大学理学院,南京210095)摘要:对遵循OldroydB型粘弹性动问题,提出了一种基于流线迎风Petrow2Galerkin方法和最小二乘法相结合的稳定化有限元方法.这种方法有效地解决了以往粘弹性流体研究过程中出现的由于应力方程对流控制占优引

2、起的拟振动现象和有限元空间组合不匹配产生的不稳定现象.近似应力,速度和压力分别是Pk连续的,Pk+1和Pk的(k0).假定连续问题满足充分光滑且小的解,则由不动点定理可得近似问题解的存在性及误差分析.关键词:非线性形粘弹性流体;稳定化有限元方法;误差估计中国分类号:O242.21文献标识码:A1引言我们的研究遵循OldroydB.2之一.,此问题的模型包括质量守恒方程、,14.采用基于2G方法)和最小二乘法相结合的稳定化有限元方法,这种方法间组合不匹配而出现的不稳定现象.我们在现有文献基础之上首次将有限元空间的应用推广到了任意阶,即解决了Pk2连续应力,Pk+12连续速度,Pk2连续压力,k0

3、的情况.假定连续问题满足充分光滑且小的解,则由不动点定理可得近似问题解的存在性及误差分析.2问题的提出我们考虑R2中具有Lipschizian边界的有界连通开集的流体.使用以下记号:对标量函数p,其梯度 p,( p)i记为p,i,对向量函数u,其梯度张量 u,( u)ij=ui,j,对向量函数u,其散度是标量 .u=ui,i,且令u. =ui)i=,对张量函数,其散度是向量 .,( .ij,j.dxi+(u. )+(, u)-2d(u)=0,in) .d(u)+ p=f,- .-2(1-in问题P:.u=0,inu=0,on=0时,问题退化为协旋转Maxwell问题,当=1时,问题退化成上对流

4、Maxwell方程.对这两类方程都已有大量的文献专门研究,因此本文中只考虑(0,1)的情况.3有限元逼近设D是可测区域,记(p,q)D=收稿日期:2002203222作者简介:潘璐(1977-),1999级硕士研究生1pq(标量),(u,v)DD=)u.v(向量),(,DD=(:)(张量),D824四川大学学报(自然科学版)第39卷.D是相应的范数,D=时可省略下标,定义空间如下:T=(ij);ij=ji;ijL();1i,jN;12X=(i);iH0();1iN;Q=qL();q=0;假设<R2是多边形区域,我们给定了一簇正则一致部分Th,Th由三角形K构成, =K,KTh,且存在正常

5、数v0,v1使得v0hhKv1pK.这里hK是K的直径,K是包含于K中的最大球的直径,记h=maxKThhK,记hmax为的直径.设Pk(K)是K内次数小于等于k的多项式,定义有限元空间如下:Th=TC( )4;|KPk(K)4KTh,Xh=X;|KPk+1(K)4KTh,KQh=qQ;q|Pk(K),KTh.问题(P)通常有限元离散为(Ph):求(h,uh,ph)Th×Xh×Qh,使得()+(uh. )+()-2(d(uh),)=0,Th,h,h,h, uh),()(d(uh),d()-(ph, .)=f,Xh,h,d(uh)+2(1-(q, .uh)=0,qQ(3.1)

6、(3.2)(3.3)有限元格式(3.1)-(3.3):(.1成有限元方程的解呈现非物理特性的拟震动.(即不满足B2B条件)的不稳定现象,.用SUPG方法解决对流控制方程,.×H1()4×H1()4,定义算子B:令(u,)=(u, ),+h()+B(u,. )( .u,).2(3.4)记h(u. ),定义算子A:u=+A(u,(u,p),(,q)(3.5)(d(u),(,d()+4(1-)(d(u),d()=(,u)-2u)+2)+2(q, .u)+6h2(- .-2(1-) .d(u)+ p, q),-2(p, .KTh-2(1-) .d(u)+ p, q)”6代替通常最小

7、二乘法的“是待定正常数.SUPG方法体现在算子B(.)中,最小二乘法体现在算子A(u,.)中.算子A(u,.)的引出6KTh2(- .与一般的“完全”的稳定化方法不同,它加入了稳定项中对稳定性贡献最大的一项,即用“hKTh) .d(u)+h(- .-2(1-) .d()+ q)” p,- .-2(1-u,.),B(.)后,对原问题可提出新的有限元格式.引入算子A(Ph):求(h,uh,ph)Th×Xh×Qh,使得KTA(uh,(uh,uh,f,+h,ph),(,q)+B(h,h)+(h, uh),u)=26h2 q.h(3.6)4解的存在性和误差分析首先回忆一下有限元空间及

8、索伯列夫空间的一些性质.若(,u,p)Hk+1()4×Hk+2()2×(Hk+1()L2 , u, p分别是,u,p的Pk,Pk+1,Pk0(),设插值函数,我们有以下插值不等式:(a)u- u hk+1|u|1,2C(b)- C hk+1|(c)p- pC hk+1|p|k+2,2;k+1,2;k+1,2;第5期潘璐等:非线形粘弹性流体的稳定化有限元方法研究k+1,2;k+1,2.825(d)|- |+h|- |1,2C hk+1|(e)|- |0,4+h|- |1,4C h(2k+1)/2|(e)式是因为对每个KTh,我们有|- |0,4,K+hK|- |1,4,K2k

9、+1)/2Ch(K|2,2,K,这里C是与有限单元K无关的常数.由Jensen不等式:令I是离散集,且rp1,我们有:(aI6|a|r)1/r(aI6|a|p)1/p,(4.7)可以得到(e).下面,我们列出要用到的反不等式.引理1令k0,是整数,且Wh=,|kPk(K),KTh,令r和p是实数,且1r,p+,令l0,m0是整数,且lm,那么存在一个常数C+C(v0,v1,l,r,m,p,k),使得WhWl,r()Wm,p(),|m,pChl-特别的,对一致剖分,pQh,Th,我们有:h2KTm-2max0,1/r-1/p|l,r622 .d(h)D1d(h)K,(4.8)(4.9)h2KT6

10、h22 .d(h)D2hK.h引理2令m0是整数,)Wm+1,2()m,q+,p<0( p+,mp>2.(),则引理3()u,H,i=-uu+und,i=1,2.这里n是的外法.ii线单位矢量.)C1(由Green公式,我们可以得到,对(u, )2×C1( )4×C1( )4有:(u. ),)=-( .u,)-(u. ),)为了证明问题(Ph)的存在性和相应的误差估计,引入一个映射:Th×Xh×QhTh×Xh×Qh,(1,u1,p1)(2,u2,p2)=(1,u1,p1).(4.10)这里(2,u2,p2)h×X

11、h×Qh,且满足:)=-(A(u1,(u1,u1)+2f,+2,u2,p2),(,q)+B(2,1, u1),KT6h q.2h2222,u,p)|d(u)|2+h定义范数+4(1-|(u. )|+h,u,=|KTh6(4.11)h| p|.22)/2),=min(1/4D1,1/4D2)时,D1,D2是逆不引理4.1(正则性)当h< h0=min(1/2,2(1-等式(4.8)(4.9)右端的常数.映射是良定义的且有界.证明由(3.4)和Green公式可得:)=h(u. ),(u.),B(u,u,(4.12)于是)A(u,(,u,p),(,u,p)+B(u,22222)-4(

12、1-h)|2+(4(1-h)|d(u)|+|( u. )|-h| p|624KTh-6h2| ,|2-KTh222222h| p|-6h| .d(u)|+6h| p|.64KTKTKThhh)/2),=min(1/4D1,1/4D2),由逆不等式(4.10)(4.11)可得到因为h<min(1/2,2(1-826四川大学学报(自然科学版)A(u,(,u,p),(,u,p)+B(u,第39卷2(,u,p)h,u,.4h,(,由此可知有限维空间内的映射是良定义的.(, u)可看成是 u的线形组合,令u,=1/2h,u1,).0,0)h,u,我们有|(1 u1,u1)|C|1|0,|u1|1,

13、2(|+h在(4.11)式中令(,q)=(2,u2,p2),并由以上得到的正则性有(2,u2,p2)h,u1,C(|1|0,|u1|1,2+|f|),映射的有界性得证.引理4.2(连续性)满足引理1的条件时,映射在Th×Xh×Qh上是连续的.证明在下面的讨论中,C和Ci,iN是与h,M,C3都无关的正常数.令(2,u2,p2)=(1,u1,p1),(h0时有2,2,q2)=(1,1,q1)我们现在要证明的是当h(h,(2-2,u2-2,p2-q2)h,1,1,u1,1,1,p1,q1)1(,q)(,u,p)111111lim(h,1,1,u1,1,p1,q1)=0现有)=-

14、()+2A(f,+1,(2,2,q2),(,q)+B(1,2,1, 1),1由上式和(4.11),并由A(1,.)和B(1,.)的双线性性质,我们可以得到A(1,(2-2,2-u2,q2-p2),(,q)+B1,-2=A(u1,(2,u2,p2),(,q)-2,p2,(,)+).+B(u1,2,1,2,u1,u1)-(1, 1),1(4.13)KT6h2 q.h记=u=u1-p=p1-q1,1-1,1, =u=p=q2-p2,2-2, 2-u2, =h(u1- =h(u). .1). 在(4.13)式中令= ,= u,q= p,由正则性2 , u, ph,1,A(u1,( , u, p)-A(

15、 , u, p)2,u2,p2),(1,(2,u2,p2),(4).+B(u1, )-B(u1, )+( u1)-( 2,2,1, u1),1, 1),1考虑(4.14)右边各项A(u1,( , u, p)-A( , u, p)2,u2,p2),(1,(2,u2,p2),(4.14)(|Chu|1,2| |0,22|+|d(u2)|)|(4.15)这里Ch依赖于剖分Th.下面考虑项:()=()+(), u1)-( u1- 1, u1),1, 1),1, u1),1, u1)-(1, 1),111因为(1, u1)-(1, 1)=(1, (u1-1)+(1-1, 1),根据(, u)的定义,(,

16、 u)C|u|1,2,所以:(),)C u1)-( |+h| |1,2).(4.16)1, u1),1, 1),1(1,u1,1,1)(|11其中u|+(|u|1,2+|1(1,u1,1,1)=|1|0,|u1|1,|1|0,|1|1,)|1|1,当(1,1,q1)(1,u1,p1)时,10(1,u1,p1)是Th×Xh×Qh中的固定点.下面估计最后一个B:B(u1, )-B( )=-( +(1/2) .(u1- )2,1,2,2,(u2-1). 1)2+h(u1. ) )-( )2,(u1. )1. )2,(1. )右端第一项|(u. ) +(1/2) .u )Ch|u1

17、,2| |.2,(2|(4.17)第5期潘璐等:非线形粘弹性流体的稳定化有限元方法研究827这里Ch依赖于剖分Th.对于第二项,我们可以写成:( -(u1. ) )1. )2,(1. )2),(u1. )=( )-(u1. )u. ) ).1-u1). )2,(1. )2,(最后,的连续性可由(4.15)(4.16)(4.17)及下列等式得到|(u. ) )|C|u|0,| |0,2,2,(1. )2|1,2|(1. )|(u1. )u. ) )|C|u1|0,4|u|0,4| |1,4.2,(4.18)(4.19)引理得证.定义球Bh:令C3为给定常数,3(2k+1)/2Bh=(,q)Th&

18、#215;Xh×Qh,|-|Ch,|d(-u)|C3h(2k+1)1/2,|q2p|C3h(2k+1)/2.引理4.3(不变球)假设问题(P)有一个连续解(,u,p)Hk+1()4×Hk+2()2×(Hk+1()2k+1,2uk+2,2,pk+1,2C0.当满足引理4.2的条件时,且M足够小,L0(),记M:=max存在一个非空球BhTh×Xh×Qh,使得(Bh)<Bh.证明注意到有限元空间性质(a-e),当0<hh03)时,(=( , u, p)h,此时球Bh非空.C连续解(,u,p)满足下面的相容关系:)A(u1,(,u,p)(

19、,q)+B(u,u1,+ q).1u),1KTh上式减去(4.11)式得到)A(u,-u1,-uu2,),)+B(2,)-B()+(,u,u1,u1)-(, u),u1).1, u1),(4.20)令 =-u=u-u2,p=p-p2.2, = -u= u-u2,p= p-p2.2,在(4.24)式中取=,=u,q=p,因为 =- +,所以A(u1,( , u, p),( , u, p)+B(u, , )=A(u1, , u, p),(- ,u- u,p- p)+B(u, ,- )+A(u1,( , u, p),(,u,p)+B(u1, ,)将(4.20)式代入上式并由正则性可得:2( , u,

20、 p)h,u1,A(u1,( , u, p),(- ,u- u,p- p)+B(u1, ,- ).4+B(u1,)-B(u,u1,)+( u1)-(, u), u1).1, u1),现在假定hh00,minh0, h0,我们令(1,u1,p1)Bh,为了证明结论,分析上面不等式的右端5项.引入记号:=- ,u=u- u,p=p- p.A项:A(u1,( , u, p),(,u,p)(4.21)C(| |+|d( u)|+|下面对|u1|作出估计:KT62h q|)(|d(u)|+|u1|+|hKT6h q|).2h(4.22)|+hu1 |CMhk+1(1+(C3hk+M),u1|=|(4.2

21、3)这里用到了索伯列夫嵌入定理:H1()<L4()和H2()<L()及不等式(d),则由上面不等式可得:k+13k2(4.24)A(u1,( , u, p),(,u,p)C1Mh(1+(Ch+M)(| |+|d( u)|+6h q|)KTh828四川大学学报(自然科学版)第39卷项:)(, u)-(|(u1|1, u1),C(|0,|d(u-u1)|+|-u1|,(4.25)1|u|1,+|-1|0,4|d(u-u1)|0,4)|-1+2/估计上式中的|1-|0,4,利用逆不等式:(见引理1,取m=1=0,r=2)|h|0,pCh|h|0,2则p| |0,4Ch-1/2| |0,2

22、Ch1/2(| |0,2)Chk(C3+Mh1/2).1-1-1-|0,2+|-由不等式(d)可得:| |0,4+| -|0,4Chk(C3+Mh1/2).1-|0,41-同理利用u的插值,得到|u1-u|1,4Chk(C3+Mh1/2).(4.26)(4.27)利用以上公式及|u1|(4.23)可得|(, u)-(u1)|1, u1),(4k+3)/2(C3M+h(2k-1/2)(C3+Mh1/2)2)(1+(C3Mhk+M)C2h+C3h(2k-1)/2(C3M+h(2k-1)/2(C3+Mh1/2)2)| u1|)B的第一项由B的定义(3.4)和连续解u的性质.u)C|(u1.)(-1,

23、4|B(u1, , |, |0,4,由不等式(d),(4.23)和4.)1/2k31/21)/(M+Chk)|B(u1,h(u1. ) |+h(C+Mh)| |).<W1,4()及H2()<L()可得:(2k+1)/23(|B(u1,u1,)-B(u,u1,)CCMh|+| u1|+| |).u1|+|然后利用(4.23)式(4k+3)/232(1+(C3hk+M)B(u1,u1,)-B(u,u1,)C5CMh+C6MC3h(2k+1)/2(| u1|+| |),(4.28)(4.29)(4.30)的线形性质,B的定义(3.4)和嵌入定理:H1()<L4(),2()BB(.,

24、u1,(4.31)| |,| u1|h1/2(u. ) |及|d(u)|都可由C( , u, p)h,u1,控制,由以上各式,最后可得,22( , u, p)hh,u1,8(4k+3)/2M(C2(C3M+h(2k-1/2(C3+Mh1/2)2)+C5C3M)(1+(C3hk+M)+C7(C1Mhk+1(1+(C3hk+M)+C3h(2k+1)/2(C3M+h(2k-1)/2)(C3+Mh1/2)2)C4Mh(2k+1)/2(1+(M+C3h)+hk(C3+Mh1/2)C6MC3h(2k+1)/2) , u, ph,u1,.这个不等式是下面这种形式的:a2c+ab.222a=( , u, p)

25、h,u1,则由2ac+a+b/4,可得ac+b/2.(4.32)去掉(4.32)式中h的高次项,利用上面的不等式,可得(2k+1)/21/21/41/2331/2( , u, p)h,u1,C8hhM(M+C)(1+(C+M)+(1+h1/2)M(1+M)+(1+h1/2)MC3+h1/2C32).取C3=/2MC h1max式右端h(2k+1)/2)2,所以(,此时因为hhmax=( , u, p)始终都在球Bh中.因为M足够小,上不等MC之前的参数总可可以小于1.由以上证明我们可得(Bh)<Bh.定理证毕.3最后我们可以引出定理:定理4.1假设问题(P)有一个连续解(,u,p)Hk+1()4×Hk+2()2×(Hk+1()L20()记第5期潘璐等:非线形粘弹性流体的稳定化有限元方法研究829k+1,2,uk+2,2,pk+1,2,M:=max)/2),且M足够小,问题(Ph)有一个解(当剖分满足h< h0=min(1/2,2(1-h,uh,ph)Th×Xh×Qh,满足(2k+1)/2|-.h|+|d(u-hh)|+|p2ph|CMh(4.33)C是与M,h无关的常数.且这个解在(,u,p)的邻域内是唯一的.证明由引理4.1,引理4.2和引理4.3和Brouwer