2.1-柱坐标系和球坐标系下的计算法ppt课件

1、 三重积分的计算续）三重积分的计算续） 1. 利用柱坐标系计算利用柱坐标系计算 2. 利用球坐标系计算利用球坐标系计算1 练习：用投影法计算练习：用投影法计算zdxdydz其中其中 由由 224zxyz及 围成。围成。224xyxyDzdxdydzdxdyzdz2222:4,44,22,xyzxyxx 222 422 211|16 () 22xyxyxyDDzdxdyxydxdy22400164(16)23dr rdr4解解222:4xyDxy一、在柱坐标系下的计算法一、在柱坐标系下的计算法的的柱柱面面坐坐标标就就叫叫点点个个数数，则则这这样样的的三三的的极极坐坐标标为为面面上上的的投投影影在

2、在为为空空间间内内一一点点，并并设设点点设设MzrrPxoyMzyxM,),( .,sin,coszzryrx xyzo),(zyxM),(rPr规定：规定：,0 r,20 . z3圆柱面圆柱面为常数为常数 半平面半平面为常数为常数z平平 面面),(zyxM),(rPrzxyzo如图，柱面坐标系中的体积元如图，柱面坐标系中的体积元,dzrdrddv drxyzodzdr rd dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf r 为常数然后再把它化为三次积分来计算然后再把它化为三次积分来计算积分次序一般是先积分次序一般是先 z 次次 r 后后 4 aadzddI 2020

3、 ada03)(2 .105a 222zyx , z 222:220)( zyxDazdxdyyxdzI或或 zadddz02200 .105a dzza040|412 5例例2. 2. 计计算算,zdxdydz其中：x2+y2+z2 1, 且z0.解：解： 是上半球体是上半球体, ,它在它在xyxy面上的投影区域面上的投影区域是单位圆是单位圆x2+y2 1.x2+y2 1.令 x=rcos, y=rsin , z=z,则平面 z = 0 和球面 即0 z .12r且0 r 1, 0 2,1010202rrdzzdrdzdxdydz.4)1 (212102drrr,101222rzzyxz和的

4、柱面坐标方程分别为6其中由x2+y2=2z及z=2所围成.例例3. 3. 求求.)(22dxdydzyx解：一般解：一般, ,假设假设的表的表达式中含有达式中含有x2+y2,x2+y2,则可考虑用柱面坐则可考虑用柱面坐标积分标积分. .令x=rcos, y=rsin, z=z, ,212rz 且221r z 2, 0 r 2, 0 2., 2)(21, 222zyxzz的柱面坐标方程分别为则xzyx2+y2=2zx2+y2=4 或 r=2o2221rz 或720202212222)(rrdzrdrddxdydzyxdrrr)212(22203316)1212122064drrr注：常用的二次曲

5、面有注：常用的二次曲面有, 球面球面, 椭球面椭球面, 柱面柱面. a(x2+y2)=z(旋转抛物面旋转抛物面), ax2+by2=z(椭圆抛物面椭圆抛物面), a2(x2+y2)=z2(圆圆锥面锥面).8练习练习1,:,)(22222 zyxzdvzyx 解解将将 投到投到 xoy 面得面得 D: 122 yx1, 10 ,20 zrr 2010122222)()(rrdzzrdrddvzyx103)343(24103 drrrr注注 若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体、圆锥体或旋转体时，通常情况下总是考圆锥体或旋转体时，通常情况下总是考虑使用柱坐标来计算。虑

6、使用柱坐标来计算。9二、在球坐标系下的计算法二、在球坐标系下的计算法的球面坐标的球面坐标就叫做点就叫做点，个数个数面上的投影，这样的三面上的投影，这样的三在在点点为为的角，这里的角，这里段段逆时针方向转到有向线逆时针方向转到有向线轴按轴按轴来看自轴来看自为从正为从正轴正向所夹的角，轴正向所夹的角，与与为有向线段为有向线段间的距离，间的距离，与点与点点点为原为原来确定，其中来确定，其中，三个有次序的数三个有次序的数可用可用为空间内一点，则点为空间内一点，则点设设MrxoyMPOPxzzOMMOrrMzyxM ),(10Pxyzo),(zyxMr zyxA .cos,sinsin,cossin r

7、zryrx规定规定:,0 .20 为为常常数数r球球 面面为为常常数数 圆锥面圆锥面为常数为常数 半平面半平面0,r 11如图，球面坐标系中的体积元素为如图，球面坐标系中的体积元素为,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf然后把它化成对然后把它化成对 的三次积分的三次积分 , r具体计算时需要将具体计算时需要将 用球坐标系下的不等式组表示用球坐标系下的不等式组表示 积分次序通常是积分次序通常是 后后次次先先r12 例4 计算dvz2其中 由2222Rzyx围

8、成.,0 ,0 ,20:Rr Rdrrrdddvz022220202sincos02205sincos5ddR5350142cos|5315RR 解：1352200coscos5Rdd 解解用球坐标用球坐标az ,cos ar 222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar dxdydzyxI)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 14解解 由由锥锥面面和和球球面面围围成成，采采用用球球面面坐坐标标， 由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar由由三三重重积积分分的的性性质质知知 dxdydzV

9、,15 adrrddV202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a 注注:若积分区域为球体、球壳或其一部分若积分区域为球体、球壳或其一部分被积函数呈被积函数呈222zyx 而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单通常采用球坐标。通常采用球坐标。16,0 ,40 ,20:Rr Rdrrrdddvx0222240202sinsincos)122532(515R 例7 计算dvx2其中其中 由由222yxRz围成围成.22yxz与与17注注: :选择合适的坐标系是计算三重积分的关键选择合适的坐标系是计算三重积分的关键(1).区域由平面围成

10、,常选择直角坐标系;一般的:(3).区域由球面锥面围成,被积函数形如 常选择球面坐标系.)(222zyxf(2).区域由圆柱面围成,被积函数形如 常选择柱面坐标系;)(22yxf18补充：利用对称性简化三重积分计算补充：利用对称性简化三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的奇偶性奇偶性“你对称，我奇偶你对称，我奇偶”19 dvzyxfI),(对对 若若关于关于 xoy 面对称面对称时时当当) ,(),()1(zyxfzyxf 0 I时时当当),

11、(),()2(zyxfzyxf 1),(2 dvzyxfI 0,),( | ),(1 zzyxzyx 若若关于关于 xoz 面对称面对称时时当当),(),()1(zyxfzyxf 0 I时时当当),(),()2(zyxfzyxf 20 2),(2 dvzyxfI )0,( | ),(2 yzyxzyx 若若关于关于 yoz 面对称面对称时时当当),(),()1(zyxfzyxf 0 I时时当当),(),()2(zyxfzyxf 3),(2 dvzyxfI 0,),( | ),(3 xzyxzyx 21思考题思考题31.( , , ),Rxyf x y z若 为 中关于 面对称的有界闭区域，为上的连续函数 则 ; 0),(,_),(dvzyxfzyxf为为奇奇函函数数时时关关于于当当z 1),(_),(,_),(dvzyxfdvzyxfzyxf为为偶偶函函数数时时关关于于当当z2.1面面上上方方的的部部分分在在为为其其中中xy 2222,(0,0)hzdxdydzzxyRzh hR 其中 由锥面与所围的练习闭区域。2222222222:1()2xyxyxyhhxyRDDDxyRdxdyzdzhhxydxdyR解：先一后二 原式2222